Metoda najmniejszych
kwadratów
W praktyce laboratoryjnej często
spotykanym problemem jest sprawdzenie
przewidywanej teoretycznie zależności
funkcyjnej zachodzącej pomiędzy dwiema
wielkościami fizycznymi, a także wyznaczenie
parametrów określających tę funkcję.
Metoda najmniejszych
kwadratów
Wykonując n-krotny pomiar wielkości fizycznej
Y=f(X) dostajemy zbiór n par ( ) gdzie
( i=1,2, ... ,n ).
Zbiór otrzymanych punktów możemy
powiązać relacją liniową postaci: y= A + Bx
gdzie:
A= B=
O tej prostej mówi się, że jest dopasowana metodą
najmniejszych kwadratów lub że jest prosta regresji
zmiennych x i y.
i
i
y
x ,
xy
x
y
x
2
y
x
xy
N
2
2
x
x
N
Metoda najmniejszych
kwadratów
Przykład:
W wyniku pomiarów wartości x i y
uzyskano następujące wyniki:
Za pomocą metody najmniejszych kwadratów
wyznaczyć równanie y=A+Bx wiążące te dwie
zmienne.
5
,
5
;
5
,
4
;
4
,
3
;
4
,
2
;
3
,
1
Metoda najmniejszych
kwadratów
= 5(1+4+9+16+25) –
225= 50
A= = =
2,7
B= = =
0,5
y = 0,5x + 2,7
2
2
x
x
N
xy
x
y
x
2
50
)
68
)(
15
(
)
21
)(
55
(
y
x
xy
N
50
)
21
)(
15
(
)
68
(
5
Metoda najmniejszych
kwadratów
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
Linear Regression for Data1_B:
Y = A + B * X
Parameter Value Error
-----------------------------------------
A
2,7 0,33166
B
0,5 0,1
----------------------------------------
Y
X
Wykres prostej regresji zmiennych x i y.