WYTRZYMAŁOŚĆ
MATERIAŁÓW
prowadzący
prof. dr hab. inż. Kazimierz WÓJS
Wykład 10
Opracował
Andrzej Sitka
ZGINANIE PROSTE
ZGINANIE PROSTE
WYTRZYMAŁOŚĆ
MATERIAŁÓW
prowadzący
prof. dr hab. inż. Kazimierz WÓJS
Wykład 10
Opracował
Andrzej Sitka
ZGINANIE PROSTE
ZGINANIE PROSTE
WPROWADZENIE
Działanie odrzuconej w myśli części pręta
zastępujemy
siłą wypadkową W
i
parą sił o
momencie M
0
(rys.1a).
Wypadkową
W
rozkładamy
na
dwa
prostopadłe kierunki:
•
kierunek normalnej do przekroju (składowa
normalna N),
•
kierunek styczny (składowa styczna T),
rys.1b.
Dowolny przestrzenny układ sił można
zredukować do jednej siły wypadkowej i do
jednej pary sił
WPROWADZENIE
Wektor M
0
rozkładamy na dwie prostopadłe
składowe:
• składową M
g
styczną do przekroju
poprzecznego,
•
składową normalną M
s
do przekroju
poprzecznego.
Moment M
s
powoduje skręcanie pręta.
Moment M
g
powoduje zginanie pręta.
Rys. 1. Rozkład wektora głównego W na składową normalną N i
tnącą T oraz momentu głównego M
0
na moment gnący M
g
i
skręcający M
s
z
W
M
0
y
x
0
z
W
N
y
x
0
T
z
M
g
M
0
y
x
0
M
s
c
)
ROZKŁAD WEKTORA SIŁY I MOMENTU
a)
b)
•
Zginanie czyste
- jeżeli w danym przekroju
układ sił zewnętrznych sprowadza się do jednej
składowej M
g
(rys.2a).
•
Zginanie z udziałem sił poprzecznych
–
przy zginaniu czystym występuje równocześnie siła tnąca
T (rys.2b).
•
Zginanie proste (płaskie)
– występuje, gdy
siła tnąca (poprzeczna) T oraz para sił powodująca
zginanie
pręta
działają
w
jednej
płaszczyźnie
zawierającej
osie
główne
centralne
przekrojów
poprzecznych pręta (rys.2c).
RODZAJE ZGINANIA
z
M
g
=|M
y
|
T
y
x
0
c
z
M
g
y
x
0
a
M
z
M
y
b
z
M
g
y
x
0
M
z
M
y
T
T
y
T
z
Rys. 2. Typowe przypadki zginania: a) zginanie czyste, b)
zginanie z udziałem sił poprzecznych, c) zginanie proste
(płaskie)
RODZAJE ZGINANIE
Jeżeli siły czynne (obciążenia) działające na pręt zginany
leżą w jednej płaszczyźnie, to płaszczyznę tą nazywamy
płaszczyzną zginania
.
Zginanie
proste
•
Siłą normalną N
w danym przekroju
poprzecznym belki nazywamy rzut na kierunek
normalnej, wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych
działających na część belki odciętą tym przekrojem.
x
N
x
N
dx
normalna
zewnętrzn
a
x
N
x
N
dx
normalna
zewnętrzn
a
Rys. 3. Określenie znaków
sił normalnych N:
a)rozciągających (+), b)
ściskających (-)
Siła normalna N
będzie dodatnia, jeżeli ma zwrot
zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej danego
przekroju belki.
SIŁA NORMALNA
•
Siłą tnącą T
w danym przekroju poprzecznym
belki nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju
wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających
na część belki odciętą tym przekrojem.
SIŁA TNĄCA
x
T
x
T
dx
x
T
x
T
dx
Rys. 4. Określenie znaków
sił tnących T
Siła tnąca T
będzie dodatnia, jeżeli ma wycięty w
myśli element belki siła ta będzie się starała obrócić
zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
•
Momentem gnącym M
g
w danym przekroju
belki nazywamy sumę momentów (względem środka
ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych
działających na część belki odciętą tym przekrojem.
MOMENT GNĄCY
x
M
g
M
g
y
0
x
M
g
M
g
y
0
Rys. 5. Określenie znaków
momentów gnących M
g
Moment gnący M
g
będzie dodatni, jeżeli wycięty w
myśli element belki stara się wygiąć wypukłością do
dołu.
Zginanie czyste
można zaobserwować
w przypadku zginania belki pryzmatycznej
obciążonej jak na rys.6. Część CD tej belki jest
obciążona tylko momentem gnącym.
Belka poddana czystemu
zginaniu
Rys.6. Belka obciążona siłami poprzecznymi P w sposób
symetryczny
Belka poddana czystemu zginaniu
P
P
A
C
D
B
a
b
a
M
g
T=P
T=-P
T=0
M
g
=
P
a
Na
pryzmatycznym
pręcie
o
przekroju
prostokątnym na jego powierzchni bocznej narysujmy
siatkę utworzoną z linii równoległych do osi pręta
oraz linii obwodowych leżących w płaszczyznach
przekrojów poprzecznych pręta (rys.7a).
Rys. 7. Część CD belki z naniesioną
siatką: a) przed obciążeniem,
b),c) po obciążeniu
Belka poddana czystemu zginaniu
a’
d
c
b
a
b
’
c’
d’
z
y
x
M
g
M
g
z
D
C
a)
b
b
h
oś
obojętna
z
y
c)
b)
M
g
M
g
D
C
z
d
c
b
b’
c’
d’
a’ a
warstwa obojętna
Analiza części CD belki po odkształceniu pozwala na
sformułowanie następujących spostrzeżeń:
1. Krzywizna belki na odcinku CD jest stała i belka
wygina się w kształt koła.
2. W tych warunkach płaskie przekroje prostopadłe
do osi belki przed odkształceniem pozostają
płaskie i prostopadłe do do zakrzywionej po
odkształceniu
osi
belki
(
hipoteza
płaskich
przekrojów
).
Przekroje
te
ulegają
zatem
względnemu obrotowi.
3. Wskutek obrotu przekrojów wzdłużne elementy
belki (włókna) doznają odkształceń.
Obserwacje i hipotezy
4. Przyjmujemy założenie o braku nacisków włókien
na
siebie
(barak
naprężeń
w
kierunku
prostopadłym do osi belki), a więc jednoosiowy
stan naprężenia.
5. W takich warunkach włókna doznają tylko
rozciągania lub ściskania (część włókien ulega
wydłużeniu, a część skróceniu).
6. Między tymi włóknami musi być warstwa, która nie
ulega ani wydłużeniu, ani skróceniu –
warstwa
obojętna
– której wydłużenia są równe zeru.
Obserwacje i hipotezy
ANALIZA NAPRĘŻEŃ W PRĘCIE
ANALIZA NAPRĘŻEŃ W PRĘCIE
ZGINANYM
ZGINANYM
Warunki geometryczne
a’
d
c
b
a
b’
c’
d’
z
y
x
M
g
M
g
z
D
C
b
e’
e
f’
f
Przetnijmy płaszczyzną
a,b,c,d
i
a’,b’,c’,d’
pręt
przedstawiony na rys. i wyodrębnimy przekroje b-d
oraz b’-d’ o długości ds i rozpatrzymy jego zachowanie
się po obciążeniu.
Rys.8. Zmiany geometrii elementu
belki zginanej
Warunki geometryczne
a)
b)
d’
ds
b’
d
b
c’
c
d
ds’
z
+z
d’
d
0
b’
e’
e
e’
e
Warunki geometryczne
Odkształcenie włókna e-e’ o początkowej długości
ds, leżącego w odległości z od warstwy obojętnej można
wyznaczyć z zależności:
(1)
d
h
ds
'
d
ds
(2)
Wydłużenie właściwe w przyjętych wcześniej
warunkach jednoosiowego rozciągania wyraża się
wzorem:
z
d
d
d
z
ds
ds
ds
'
(3)
Związki fizyczne
W
zakresie
stosowalności
prawa
Hooke’a
po
podstawieniu (3) :
(4)
z
E
E
W przypadku włókna ściskanego odkształcenie jest
ujemne i powyższy wzór np. dla włókna f-f’ przyjmie
postać:
z
E
(5)
Związki fizyczne
Z zależności (4) i (5) wynika, że naprężenia są
proporcjonalne do odległości od osi obojętnej i
jednakowe w całej szerokości belki.
Rys. 9. Rozkład naprężeń w pręcie
zginanym
Warunki równowagi
Przetnijmy w myśli część belki CD poddaną
czystemu zginaniu przekrojem poprzecznym i po
odrzuceniu np. lewej części pokażą się siły
wewnętrzne.
b)
M
g
M
g
D
C
z
d
c
b
b’
c’
d’
a’ a
warstwa obojętna
Warunki równowagi
Warunki równowagi elementu:
y
d
A
z
x
y
z
M
g
Rys. 10. Część belki w równowadze
0
)
(
)
(
)
(
A
A
A
ix
dA
z
E
dA
z
E
dA
P
(6)
Warunki równowagi
Moduł Younga E i promień krzywizny są różne od
zera, to:
(7)
0
)
(
A
dA
z
Mamy
jeszcze
trzy
warunki:
0
iy
P
0
iz
P
0
x
M
(8)
(9)
(10)
Warunki równowagi
Rozpatrzmy następujący warunek:
Z rys. 10 wynika, że:
(11)
0
)
(
A
g
y
dM
M
M
dA
z
dM
(12)
Z równań (11) i (12) otrzymamy związek między
M
g
i :
)
(
2
)
(
2
)
(
A
A
A
g
dA
z
E
dA
z
E
dA
z
M
(13)
Warunki równowagi
Uwzględniając,
że
gdzie:
I
y
– momentem bezwładności
(14)
(15)
lub
(16)
y
A
I
dA
z
)
(
2
równanie (13) można napisać w
postaci:
y
g
I
E
M
y
g
I
E
M
1
El
y
–
sztywność
zginania
Warunki równowagi
Podstawiając zależność (16) do prawa Hooke’a,
dla włókna rozciąganego (4) otrzymamy zależność
naprężenia od obciążenia i geometrii przekroju
poprzecznego belki:
Ostatni warunek równowagi:
(17)
(18)
z
I
M
y
g
0
)
(
)
(
)
(
A
A
A
z
dA
z
y
E
dA
y
z
E
dA
y
M
Warunki równowagi
Ponieważ moduł Younga E oraz promień krzywizny
są różne od zera, to:
Jest to moment zboczenia (dewiacji) przekroju
poprzecznego względem osi y oraz z, (główne osie
bezwładności przekroju poprzecznego)
(19)
(20)
0
)
(
A
dA
z
y
0
)
(
A
yz
dA
z
y
D
Warunki równowagi
Po podzielmy momentu bezwładności I
y
przez
odległość od włókien skrajnych |z
max
|, otrzymamy
wskaźnik wytrzymałości na zginanie
(21)
max
z
I
W
y
y
Wskaźniki wytrzymałości na zginanie dla przekroju:
32
3
d
W
y
6
2
h
b
W
y
kołowego
prostokątnego
Warunek wytrzymałości na zginanie
Naprężenia w pręcie zginanym są największe we
włóknach skrajnych. Na podstawie tej zależności
możemy
napisać warunek wytrzymałości na
zginanie
w warunkach czystego zginania:
Warunek ten można również stosować w belkach
zginanych siłami poprzecznymi ale tylko wtedy,
kiedy w przekroju poprzecznym występuje
maksymalny moment gnący M
gmax
:
(22)
dop
y
g
W
M
max
dop
y
g
W
M
max
max
(23)
w pozostałych przekrojach materiał nie jest w pełni
wykorzystany.
Belki o równej wytrzymałości
Jeżeli potrafimy tak zaprojektować belkę,
aby w każdym jej przekroju naprężenia
maksymalne
były
równe
naprężeniom
dopuszczalnym, to mówimy, że jest to
belka o
równej wytrzymałości
.
Warunek
wytrzymałości
belki
o
stałej
wytrzymałości na zginanie w każdym przekroju
określonym współrzędną x ma postać:
(24)
dop
g
x
W
x
M
)
(
)
(
Belki o równej wytrzymałości
h
b
x
l
P
a)
b
)
x
b
h
h
x
P
c)
x
d
P
d
x
Rys. 11. Belki wspornikowe o
równej wytrzymałości
Z zależności (24) można wyznaczyć wymiary
belki:
•
dla belki o przekroju kołowym
(25)
(26)
a więc
Belki o równej wytrzymałości
32
)
(
)
(
3
x
d
x
W
3
)
(
32
)
(
dop
g
x
M
x
d
•
dla belki o przekroju prostokątnym (o zmiennej
wysokości h)
(27)
(28)
a więc
Belki o równej wytrzymałości
6
)
(
)
(
2
x
h
b
x
W
dop
g
b
x
M
x
h
)
(
6
)
(
Linia ugięcia belki
A
W
P
x
w
(x
)
C
C’
B
B’
x
l
M
g
(
x)
Rys. 12. Schemat belki wspornikowej zginanej
siłą poprzeczną
Linia ugięcia belki pokrywa się z jej warstwą
obojętną, a więc równanie linii ugięcia można
zapisać na podstawie (16):
Obierając jako oś x nieodkształconą oś belki,
wyznaczymy postać linii ugięcia przez wyznaczenie
rzędnych w(x) tej osi.
(29)
Linia ugięcia belki
y
g
I
E
x
M
)
(
1
Krzywizna 1/ linii w(x) wynosi:
Odkształcenia powinny się mieścić w zakresie
proporcjonalności, dlatego:
(30)
Linia ugięcia belki
2
3
2
2
2
1
1
dx
dw
dx
w
d
1
2
dx
dw
(31)
zatem
2
2
1
dx
w
d
Po porównaniu (29) i (31) równanie różniczkowe
linii ugięcia belki przybierze postać:
Całkując równanie (32) względem zmiennej x
uzyskujemy zależność służącą do wyznaczenia kąta
ugięcia w postaci:
(32)
Linia ugięcia belki
(33)
y
g
I
E
x
M
dx
w
d
)
(
2
2
C
dx
I
E
x
M
dx
dw
y
g
)
(
Równanie
linii
ugięcia
uzyskujemy
po
powtórnym całkowaniu względem zmiennej x:
Stałe całkowania C i D wyznaczymy z warunków
granicznych. Mamy dwa rodzaje tych warunków i
wynikają one z:
• sztywności podpór (warunki brzegowe),
• ciągłości belki (warunki ciągłości).
(34)
Linia ugięcia belki
D
dx
w
Przykład 1.
Belka pokazana na rys. jest obciążona siłą P i
obciążeniem ciągłym q=P/2l. Przyjmując, że przekrój
poprzeczny belki a x b ma byćstały wyznaczyć wymiary
tego przekroju, jeśli b=2a. Dane jest naprężenie
dopuszczalne na zginanie
dop
i długość l.
A
A
x
D
B
C
P
y
x
q
l
l
l
z
y
a
b
Warunki
równowagi:
Reakcje:
0
x
ix
A
P
0
ql
B
P
A
P
iy
0
5
,
2
2
l
ql
l
B
Pl
M
iA
P
ql
P
P
A
375
,
0
125
,
1
P
ql
P
B
125
,
1
25
,
1
5
,
0
Ekstremalne momenty gnące w punktach A, B, C,
D belki:
Maksymalny
moment
gnący
M
c
=0,375Pl
0
A
M
Pl
Pl
l
A
M
B
25
,
0
2
max
375
,
0
g
C
M
Pl
Al
M
0
D
M
Wskaźnik wytrzymałości
Warunek wytrzymałości na zginanie (dla b
= 2a):
6
2
ab
W
z
dop
z
C
a
Pl
ab
Pl
W
M
3
2
max
5625
,
0
6
375
,
0
Wymiary przekroju poprzecznego belki:
3
5625
,
0
dop
Pl
a
3
5625
,
0
2
dop
Pl
b