1

Prognozowanie procesów 

ekonomicznych c.d. 

Średnie błędy predykcji ex-

post

2

Średni błąd predykcji

•  gdzie   t = 1,……,m  jest okresem 

empirycznego sprawdzania 
dokładności prognoz.

• Jeśli predykcja była nieobciążona to  

û ≈ 0.

3

• Jeśli  û ≠ 0, to okres empirycznego 

sprawdzania dokładności prognoz 

można podzielić na kilka podokresów, 

aby przekonać się, czy nadzieja 

matematyczna błędów predykcji jest 

stacjonarna, czy też wykazuje 

określone tendencje (np. wzrostu).

• Udział obciążenia prognozy w średniej 

wartości wielkości prognozowanej   , 

jeśli  û ≠ 0  jest równy:

4

Wariancja predykcji

• Empiryczna wariancja predykcji 
•    
• Pierwiastek kwadratowy z powyższej 

wariancji jest empirycznym średnim 
błędem predykcji.

5

Współczynnik Theila

• I, a więc pierwiastek kwadratowy z      

jest przeciętnym względnym błędem 

predykcji w okresie weryfikacji prognoz.

• Współczynnik Theila można rozłożyć na 

trzy składniki o określonej interpretacji.

•  

6

Współczynniki Theila

• Gdzie S jest odchyleniem 

standardowym obserwacji y

t  , 

r jest 

współczynnikiem korelacji między y

t 

 

oraz y

tp   

w okresie weryfikacji prognoz

7

•         informuje jaka część ogólnych 

rozmiarów błędów predykcji jest 
wynikiem obciążenia predykcji,

•         odzwierciedla rozmiary błędów 

wynikających z niedostatecznej 
elastyczności predykcji,

•          jest miernikiem błędów 

wynikających z niedoskonałej 
predykcji punktów zwrotnych.

8

Punkty zwrotne.

• Punkty zwrotne występują w 

okresie t

1  

, jeżeli zrealizuje się 

jedna z następujących par 
nierówności.

•                          oraz  
•        
•                      ↓ oraz 

9

Inne mierniki dokładności 

prognoz

 ex-post

• Błąd prognozy 

• Błąd absolutny
•  
• Względny błąd prognozy
• Średni absolutny błąd prognoz 

10

Średnie błędy prognoz 

c.d.

• Średni względny błąd prognoz  

•   
• Średni kwadratowy błąd prognoz
•       
• Względny średni kwadratowy 

błąd prognoz 

11

Główne cele prognozowania 

ekonomicznego.

• Obszary zainteresowania prognozami – 

państwa, przedsiębiorców, organów 

władzy samorządowej, organizacji 

społecznych – to przede wszystkim: 

• PKB, lub stopa wzrostu PKB,

• Stopa bezrobocia,

• Poziom inflacji,

• Wzrost wynagrodzeń, 

• Popyt konsumpcyjny,

• Rezerwy walutowe.

• Prognozy powyższych wielkości służą 

podejmowaniu optymalnych decyzji .

12

Tablica 1. Wartości 

realizacji oraz prognozy i 

reszty (przykład).

13

Przykład c.d.

• Wartość û wynosi 0,01, a więc jest 

bliska zeru i wskazuje na brak 

obciążenia predykcji.

• Empiryczna wariancja predykcji        

wynosi 4,18, a więc empiryczny średni 

błąd predykcji jest równy 2,044.

• Współczynniki Theila są równe: I

2

 = 

0,003834,    

•  

•                                     

•                                    I = 0,0619.

•

 

14

WIELORÓWNANIOWE  MODELE  

EKONOMETRYCZNE

• Zmienne endogeniczne – zmienne 

objaśniane przez równania modelu.

• Zmienne egzogeniczne – zmienne, których 

wartości określane są poza modelem.

• Zmienne endogeniczne i zmienne 

egzogeniczne mogą być opóźnione, bądź 
nieopóźnione.

• Opóźnione zmienne endogeniczne i 

wszystkie zmienne egzogeniczne tworzą 
zbiór zmiennych z góry ustalonych.

15

Postacie modelu i zmienne 

endogeniczne

• Postać strukturalna modelu jest zapisem 

związków istniejących między zjawiskami 

ekonomicznymi (opis struktury).

• Postać zredukowana modelu jest zapisem 

jednokierunkowych związków między zmiennymi 

endogenicznymi i zmiennymi z góry ustalonymi.

• m – liczba nieopóźnionych zmiennych 

endogenicznych

•

  -  liczba zmiennych endogenicznych 

nieopóźnionych  występujących w danym 

równaniu,

• m2

  -  liczba zmiennych endogenicznych 

nieopóźnionych  występujących  w pozostałych 

równaniach modelu.

16

Zmienne z góry ustalone

• k – liczba zmiennych z góry 

ustalonych występujących w 
modelu:

•   k1 

  -  liczba zmiennych z góry 

ustalonych występujących w 
danym równaniu modelu,

• k2  - liczba pozostałych zmiennych 

z góry ustalonych.

•               

       

17

Strukturalna postać 

modelu:

18

Zapis macierzowy

• m  -  zmiennych endogenicznych Y

1

 ,………., Y

m  

  

• k  -   zmiennych z góry ustalonych  Z

1

 , …….., Z

k  

• β – jest macierzą o wymiarach [ m x m] 

parametrów przy zmiennych endogenicznych 

nieopóźnionych,

• Y – jest wektorem [m x 1] zmiennych 

endogenicznych,

19

• Γ – jest macierzą parametrów o 

wymiarach [m x k] stojących przy 
zmiennych z góry ustalonych,

• Z – jest wektorem zmiennych z 

góry ustalonych o wymiarach      
[k x 1] ,

• ε – jest wektorem składników 

losowych o wymiarach [m x 1].  

20

Klasyfikacja modeli 

wielorównaniowych

• Budowa macierzy β jest kryterium 

klasyfikującym modele ekonometryczne 

wielorównaniowe. 

• Jeżeli β jest macierzą diagonalną o jedynkach 

na głównej przekątnej i zerach w pozostałych 

miejscach to model jest modelem prostym. 

• Jeżeli macierz β jest macierzą trójkątną ( lub 

może być po przestawieniu równań lub 

zmiennych) to model jest modelem 

rekurencyjnym. W modelu rekurencyjnym 

powiązania między nieopóźnionymi zmiennymi 

endogenicznymi są jednokierunkowe.

21

• Jeżeli macierz β jest macierzą 

dowolną to model jest modelem o 
równaniach współzależnych, o 
wielokierunkowych powiązaniach 
między zmiennymi endogenicznymi.

•

           postać strukturalna modelu,

•

  

postać zredukowana modelu.

22

• Jeżeli macierz β   jest nieosobliwa, to 

mnożąc lewostronnie równanie 
postaci strukturalnej przez macierz 
odwrotną do macierzy β  mamy:

23

• Zależności między wektorami 

składników losowych obydwu postaci 
modeli:

24

• Zależności między macierzami 

parametrów obydwu postaci modelu:

• lub