dr M. Chrzanowska

Wykład 5

Badanie własności składnika losowego 

w modelu ekonometrycznym

1

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Założenia MNK dotyczące 
struktury stochastycznej modelu 
ekonometrycznego



Założenie 1: elementy macierzy   są 

ustalonymi liczbami rzeczywistymi (nie są 
losowe);



Założenie 3 :                ,



Założenie 4 :    

gdzie  I

n

  jest macierzą  jednostkową 

stopnia n.



Założenie 5 (dodatkowe): 

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

2

0

ε 

)

(

E

n

I

ε

2

2

)

(

D





)

,

(

N

~

2

n

I

0

ε



Zakłócenia założenia 4



Przypuśćmy, że nie jest spełnione  

Założenie 4 ,  czyli :   .

 ( MNK – estymatory pozostają zgodne i 

nieobciążone, ale nie są n



Możliwe są wówczas następujące 

przypadki:

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

3

Zakłócenia założenia 4



I przypadek  -  macierz wariancji i kowariancji 
zakłóceń losowych (macierz wariancji i kowariancji 
składnika losowego)  jest macierzą diagonalną, ale 
wariancje zakłóceń   nie są stałe, czyli 
najefektywniejsze  w klasie estymatorów liniowych)



Gdzie                          i



Wówczas składnik losowy ma niejednorodną 
wariancję czyli model jest heteroskedastyczny 
(składnik losowy jest heteroskedastyczny)

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

4

Ω

ε

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

)

(

D











































































n

n

























h

i

h

i





dla





n

I

Ω 

Zakłócenia założenia 4



II przypadek  -  macierz wariancji i kowariancji 
zakłóceń losowych   jest macierzą o stałych wariancjach, 
ale kowariancje zakłóceń losowych są różne od zera,tj.



W tym przypadku wszystkie zmienne losowe  ε

i    

mają 

taką samą wariancję, innymi słowy model jest 
homoskedastyczny z autokorelacją składnika 
losowego.

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

5

n

i

i

,...,

2

,

1

   

,

const 

)

(

D

2

2











h

i

h

i



 ,

0

)

,

cov(





















































1

1

1

1

)

(

D

3

2

1

3

1

2

2

1

1

1

2

1

2

2

















n

n

n

n

n

n



























ε

2

)

,

cov(









s

i

i

s





ρ

s  

jest współczynnikiem 

korelacji pomiędzy 
składnikami losowymi, 
odległymi o  s  okresów,  
nazwany jest 
współczynnikiem 
autokorelacji.

Zakłócenia założenia 4



III przypadek  

-  model 

heteroskedastyczny z autokorelacją 
składnika losowego; żaden z warunków:

                    , 

 

    nie jest spełniony

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

6

n

i

i

,...,

2

,

1

   

,

const 

)

(

D

2

2











h

i

h

i



 ,

0

)

,

cov(





Uwaga



Niespełnienie założeń o 

homoskedastyczności powoduje, że 
estymatory są nadal nieobciążone i zgodne, 
ale nie są najbardziej efektywne.



W praktyce oznacza to, że oszacowane 

błędy standardowe estymatorów nie sa 
optymalne (najmniejsze z możliwych). 

7

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Uwaga



Heteroskedastyczność występuje modelach 

oszacowanych na podstawie danych 
przekrojowych.



Autokorelacja występuje zazwyczaj w 

modelach opartych na szeregach 
czasowych.

8

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Uwaga



Zaburzenie sferyczności zakłóceń jest na 

tyle częstym zjawiskiem, że powstaje 
pytanie jak silna jest autokorelacja czy 
heteroskedastyczność

9

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Wniosek



Przy niewielkim zaburzeniu  utrata 

efektywności oszacowań jest nieznaczna, 



przy silnych procesach autokorelacji lub 

hetroskedastyczności może istotnie 
podwyższać błędy standardowe 
estymatorów, pogarszając tym samym 
efektywność oszacowań.

10

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Konsekwencje zastosowania KMNK 
przy heteroskedastyczności lub 
autokorelacji



Estymator MNK jest nadal nieobciążony, 

ale



Wariancja resztowa jest obciążona i w 

przypadku autokorelacji dodatkowo 
niedoszacowana.



W rezultacie testy hipotez oparte na 

statystykach t − Studenta i F  są 
niepoprawne, co prowadzi do błędnych 
wniosków wyprowadzanych na ich 
podstawie.

11

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Wniosek



Należy zawsze sprawdzić, czy w modelu nie 

występuje autokorelacji lub 
heteroskedastyczność.



Jeśli w modelu występuje autokorelacja czy 

heteroskedastyczność należy zamiast 
KMNK stosować UMNK.

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

12

Przypadek 1 

heteroskedastyczność

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

13

Testowanie 
heteroskedastyczności



Test Golfelda-Quandta;



Test Breuscha-Pagana;



Test White’a

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

14

Test Golfelda-Quandta

Testowanie stałości wariancji zakłóceń   
realizuje się zgodnie z następującym 
schematem:



uwzględniając wyżej opisane tendencje, 
podzielić próbę na takie podpróby, dla 
których można się spodziewać, że wariancje 
zakłóceń losowych będą się istotnie różniły,



wyznaczyć wariancję zakłóceń losowych w 
poszczególnych podpróbach,



testować, czy różnice między wyznaczonymi 
wariancjami są statystycznie istotne.

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

15

Testy heteroskedastyczności
Test Golfelda-Quandta



Stosowany w przypadkach, gdy 

znana jest cecha wywołująca 

niejednorodność wariancji. Innymi 

słowy Test Goldfelda-Quandta nie 

może być stosowany jeśli wariancja 

błędu losowego jest zależna od 

więcej niż jednej zmiennej, 

(nie ma wówczas prostego sposobu 

pogrupowania obserwacji)

16

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

17

Testy heteroskedastyczności
Test Golfelda-Quandta



Jest najprostszym testem testującym. 



Stosujemy go jeśli jest możliwe podzielenie 

obserwacji na dwie grupy taki sposób, że dla 
prawdziwej hipotezy alternatywnej, wariancje 
błędów losowych w tych dwóch grupach są 
różne 

17

Test Golfelda-Quandta 
Algorytm postępowania



Wybieramy z próby losowej dwie podpróby; na 
podstawie każdej z podprób szacujemy parametry 
strukturalne modelu ekonometrycznego i 
obliczamy wariancje resztowe.



Numerujemy podpróby tak, aby              ,   gdzie

         - wariancja resztowa w modelu oszacowanym 

na podstawie i -tej podpróby, i=1,2.



Formułujemy hipotezy:

gdzie         -  wariancja zakłóceń losowych w 
modelu oszacowanym na podstawie i - tej 
podpróby ,  i=1,2.

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

18

2

e

2

2

e

1

S

S 

2

e

i

S

2

2

2

1

0

:

H







2

2

2

1

1

:

H







2

i



Test Golfelda-Quandta 
Algorytm postępowania



Sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka   

   o rozkładzie F- Snedecora          dla ustalonego  α  i  

 z liczbą stopni swobody r

1

=n

1

-k,    r

2

=n

2

-k,   gdzie 

n

1

  -  liczba obserwacji w pierwszej podpróbie,

n

2

  -  liczba obserwacji w drugiej podpróbie,

k  -  ilość parametrów strukturalnych w modelu.



Prawostronny zbiór krytyczny jest postaci                 
       , 
gdzie  F

kryt

 to wartość  odczytana z tablic rozkładu  

F – Snedecora  dla ustalonej wartości ustalonego  α 
i liczbą stopni swobody r

1

, r

2.

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

19

2

e

2

2

e

1

S

F

S



α

r

,

r

2

1

F











,

F

Z

kryt

kryt

Test Golfelda-Quandta 
Algorytm postępowania



Jeżeli wartość  F

*

  statystyki   należy do 

zbioru  krytycznego  Z

kryt

 , to odrzucamy 

hipotezę  H

0

  o homoskedastyczności 

zakłóceń losowych na poziomie istotności  
α , na rzecz hipotezy  H

1

;  stwierdzamy 

heteroskedastyczność zakłóceń losowych.



Jeżeli  F

*

  nie należy do zbioru  Z

kryt

 , to nie 

ma podstaw do odrzucenia hipotezy  H

0

.

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

20

Testy heteroskedastyczności
Test Breuscha Pagana (BP)



Jest stosowany w sytuacjach, gdy wariancja 

zależy od kilku zmiennych

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

21

Testy heteroskedastyczności
Test Breuscha-Pagana

i

n

n

i

x

x

x

y





















...

2

2

1

1

0

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

22



Za pomocą KMNK szacujemy 

równanie postaci:

n

e

n

i

i







1

2

2







Wyznaczamy wariancję resztową 
korzystając ze wzoru



Konstruujemy nową 
zmienną:

2

2





i

i

e

p 

Testy heteroskedastyczności
Test Breuscha-Pagana

i

k

k

i

u

z

z

z

p



















...

2

2

1

1

0

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

23



Szacujemy model pomocniczy:









n

i

i

i

p

p

ESS

1

2

)

ˆ

(



Na podstawie równania regresji 
pomocniczej wyznaczamy sumę kwadratów 

ESS, 

gdzie

:

Testy heteroskedastyczności
Test Breuscha-Pagana

k

H













...

:

2

1

0

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

24



Definiujemy statystykę testową

: 

BP=0,5·ESS

2

1



k





Statystyka testowa ma rozkład             o k-1 
stopniach swobody



Formułujemy hipotezę zerową

:

(

zaburzenia

 

losowe są homoskedastyczne

)

Testy heteroskedastyczności
Test Breuscha-Pagana



Jeżeli                     odrzucamy hipotezę 

o homoskedastyczności. W modelu 
występuje heteroskedastyczność

.



Niska wartość statystyki testowej 

może być zarówno efektem braku 
heteroscedastyczności, jak i źle 
wyspecyfikowanej alternatywy.

2

1





k

BP



METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

25

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

26

TEST BREUSCHA-PAGANA



Regresja pomocnicza sprawdza silę związku 

miedzy kwadratem reszt a wektorem 
zmiennych z

i

. Jeżeli wariancja rzeczywiście 

zależy od zmiennych zawartych w macierzy 
Z  to wyjaśniona suma kwadratów regresji 
pomocniczej będzie duża i statystyka 
wpadnie do obszaru krytycznego wskazując 
na heteroscedastyczność składnika 
losowego.

26

Testy heteroskedastyczności
Test White’a



Jest stosowany w sytuacji, gdy nie 

wiemy, która ze zmiennych  
objaśniających wywołuje 
heteroskedastyczność



Sprawdza, czy postać regresji jest 

poprawna

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

27

Testy heteroskedastyczności
Test White’a



Jest stosowany w sytuacji, gdy nie 

wiemy, która ze zmiennych  
objaśniających wywołuje 
heteroskedastyczność



Sprawdza, czy postać regresji jest 

poprawna

28

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

29

HETEROSKEDASTYCZNOŚĆ- 
TEST WHITE’A

29

UWAGA



Uwzględnienie heteroskedastyczności 

wymusza znajomość macierzy . W 

praktyce modelowania brak jest 
jednoznacznych wzorców do stosowania. 
Zatem eliminacja heteroskedastyczności 
jest możliwa tylko w przypadku znacznego 
poziomu tego zjawiska.

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

30

Przypadek 2 Autokorelacja

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

31

Wykres reszt spełniających 
założenia KMNK

32

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Zaburzenia składnika 
losowego -autokorelacja



Najczęściej spotykaną formą autokorelacji jest 

autokorelacja dodatnia. Dodatnio skorelowane 

zaburzenia losowe nie zachowują sie całkowicie 

chaotycznie. Jeśli w okresie t błąd losowy był 

dodatni, to prawdopodobieństwo, że w okresie 

t + 1 będzie on także dodatni jest wyższe niż 

prawdopodobieństwo, że w okresie tym będzie 

on ujemny. 



Autokorelacja dodatnia występuje często w 

modelach szacowanych na szeregach 

czasowych.  Spowodowana jest ona zwykle 

rozciągnięciem na dłużej niż jeden okres 

skutków zdarzeń losowych wpływających na 

poziom zmiennej objaśniane

33

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Zaburzenia składnika 
losowego



Rzadziej spotykaną formą autokorelacji 

jest autokorelacja ujemna. W takim 
przypadku prawdopodobieństwo 
wystąpienia po dodatnim błędzie 
losowym ujemnego błędu jest wyższa niz. 
prawdopodobieństwo wystąpienia 
dodatniego błędu.



UWAGA

Autokorelacja ujemna zdarza się 
wyjątkowo w modelach ekonomicznych 
szacowanych na szeregach czasowych

34

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Zaburzenia składnika 
losowego-korelacja dodatnia

35

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Zaburzenia składnika 
losowego-korelacja ujemna

36

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

37

Autokorelacja - testy



Durbina Watsona



Breuscha-Godfreya



Ljunga-Boxa 



Berenblutta – Webba



Walda

Dla modeli z opóźnioną zmienną objaśnianą:



h Durbina



LM

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Test Durbina Watsona



Jest jednym z najpopularniejszych testów 
weryfikujących nieskorelowanie czynników 
losowych. Statystyka DW jest standardowo 
umieszczana na wydrukach z wynikami 
pochodzącymi ze pakietów ekonometrycznych. 



Podstawową zaletą statystyki DW jej jest prostota 
i fakt, że istnieją tablice wartości krytycznych dla 
tej statystyki w próbach skończonych. 



Jej wadą jest to, że ma ona niestandardowy 
rozkład



Test Durbina-Watsona ma tę wadę, że pozwala 
jedynie na badanie autokorelacji pierwszego 
rzędu

38

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Test Durbina Watsona

Aby poprawnie stosować ten test, 

rozpatrywany model ekonometryczny musi 
posiadać następujące własności:



model ma wyraz wolny,



składnik losowy ma rozkład normalny,



w modelu nie występuje opóźniona zmienna 

objaśniana jako zmienna objaśniająca.

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

39

Test Durbina-Watsona

Weryfikuje się jeden z dwóch zestawów 

hipotez.



(A) 

     

(B)  



Sprawdzianem hipotezy  H

0

  jest statystyka  

która ma rozkład Durbina – Watsona na 

przedziale <0,4>

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

40

0

:

H

0

:

H

1

0









0

:

H

0

:

H

1

0













 

















n

i

i

n

i

i

i

e

e

e

1

2

2

2

1

W

-

D

d

Test Durbina-Watsona



Z tablic rozkładu  Durbina – Watsona  

odczytuje się dwie wartości krytyczne:  
wartość dolną    d

l

    i   wartość górną  d

u

,    

które zależą od ustalonego poziomu 
istotności  α,  liczebności  próby losowej  n  
i liczby  k-1 ( k ilość parametrów 
strukturalnych w modelu)

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

41

autokorelacja                                brak                                      
autokorelacja
dodatnia             ?                     autokorelacji                   ?            
ujemna 

0

d

L

      

d

U

2

   4-d

U

           

4-

d

L         

4

Wady testu Durbina-Watsona



Test daje tylko odpowiedzi poprawne tylko 

w przypadku, gdy zmienne objaśniające są 

stałe w powtarzalnych próbach a nie 

losowe, co jest często spotykane.



Test jest bardzo czuły na założenie 

normalności rozkładu zaburzeń lososwych i 

zawodzi, gdy zaburzenia nie mają tego 

rozkładu

42

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Test h-Durbina

43

Odpowiedź Durbina na zarzut, że test DW 
jest zbyt skłonny nie wykrywać 
autokorelacji, gdy regresorem jest 
opóźniona zmienna objaśniana.

(Nerlove, Wallis 1966)





)

1

(

ˆ

1

2

1

















 



t

y

Var

n

n

DW

d



Wysokie wartości d świadczą o autokorelacji. 

d~N(0,1).

43

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Test Breuscha-Golfrey’a 
mnożnika Lagrange’a (LM)

44







X

y

Szacujemy podstawowe równanie 
regresji:

...i drugie pomocnicze równanie, w 
którym składnik losowy uzależniamy 
dodatkowo od jego P poprzednich 
wartości:

P

t

P

K

t

K

t

K

t

t

x







































...

2

2

1

1

'

0





T

X

jeżeli nie ma autokorelacji, poprzednie 
wartości nie objaśnią bieżącej 

wniosek: R

2

 pomocniczego modelu powinno 

być niewielkie

~

2

nR

LM

)

(

2

P



UWAGA! 
test 
asymptotycz
ny

44

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Test Breuscha-Golfrey’a

p

H













...

:

2

1

0



Formułujemy hipotezę zerową (w 

modelu nie występuje autokorelacja):

2

nR

LM

2

p





Weryfikujemy hipotezę zerową za 
pomocą statystyki  LM



Statystyka LM ma rozkład 

45

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Test Breuscha-Golfrey’a

2
p

LM







Jeżeli                 odrzucamy hipotezę zerową. 
W modelu występuje autokorelacja.

46

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4

Test Breuscha-Golfrey’a
UWAGI



Test BG nie nakłada żadnych ograniczeń 

na zmienne objaśniające.



Istotną wadą testu jest brak wskazówek 

co do wyboru wartości rzędu 
autokorelacji (wartości p). Niekiedy jest 
to ilość obserwacji w cyklu sezonowym. 
W praktyce jako wartość p zostaje 
wybrana wyższa wartość niż 
postulowana wiedzą ekonomiczną

47

METODY PROGNOZOWANIA Wykład 4