11b. Pole elektryczne
Wykład 2
11b. Pole elektryczne
Wykład 2
11.11
Napięcie i potencjał
Ze wzoru (7.5)
wynika, że na ładunek q
0
znajdujący się w polu
elektrycznym działa siła
. Siła ta może
wykonać pracę przesuwając ładunek.
Elementarna
praca
wykonywana
przez
siłę
elektryczną przy przesunięciu ładunku na elemencie
drogi wynosi
(7.24)
Praca sił pola elektrycznego na drodze między
punktami A i B wyrazi się zatem wzorem
(7.25)
E
q
F
0
l
d
l
d
E
q
l
d
F
dW
0
l
d
E
q
l
d
F
W
B
A
0
B
A
AB
r
r
r
q
4
1
r
r
q
r
q
q
4
1
q
F
E
2
o
2
o
o
Można wykazać, że pole elektrostatyczne,
tzn. takie które nie zmienia się w czasie, jest
polem potencjalnym, czyli że siły elektryczne są
siłami zachowawczymi. Oznacza to, że wartość pracy
W
AB
nie zależy od wyboru drogi między punktami A i B.
Z własności sił potencjalnych wiadomo też, że praca
takich sił na drodze zamkniętej jest równa zeru
.
Powyższe sprawdzimy dla najprostszego przypadku
przesuwania ładunku próbnego q
0
w polu ładunku
punktowego Q po drodze ABCDA, zaznaczonej na
rysunku 7.10.
Q
A
B
C
D
Rys.7.10. Całkowita praca na drodze
zamkniętej ABCDA potrzebna na
przesunięcie ładunku q
0
w polu
elektrycznym ładunku Q jest równa
zeru – co oznacza, że pole elektryczne
jest polem potencjalnym
.
Q
A
B
C
D
Odcinki AB i CD tej drogi leżą
na liniach sił pola, odcinki BC i DA –
na łukach kół, które w każdym swym
punkcie są prostopadłe do linii sił.
Praca sił pola na odcinku AB jest
równa
co
do
wartości,
lecz
przeciwna co do znaku względem
pracy wykonanej na odcinku CD.
Prace na odcinkach BC i AD są równe zeru ze
względu na prostopadłość kierunków siły i przesunięcie.
A zatem całkowita praca na drodze zamkniętej ABCDA
jest równa zeru.
Zdefiniujemy obecnie napięcie elektryczne U
AB
między punktami A i B, mianowicie
(7.26)
Napięciem elektrycznym między punktami A i
B nazywamy stosunek pracy W
AB
wykonanej przy
przesunięciu ładunku q
0
z punktu A do B do
wielkości tego ładunku.
0
AB
AB
q
W
U
Napięciem elektrycznym między punktami A i B
nazywamy stosunek pracy W
AB
wykonanej przy
przesunięciu ładunku q
0
z punktu A do B do wielkości
tego ładunku
.
Należy podkreślić, że niezależność pracy od
kształtu drogi umożliwia jednoznaczne określenie
napięcia między danymi punktami A i B.
Przejdziemy teraz do określenia potencjału:
Potencjałem danego punktu A nazywamy napięcie
między punktem A i punktem nieskończenie odległym.
Zatem
potencjał V
A
jest związany z pracą
przesunięcia ładunku q
0
od punktu A do
nieskończoności
0
A
A
q
W
V
Aby uzyskać zależność między napięciem a
potencjałem rozważmy pracę wykonaną na drodze od
punktu A do nieskończoności, a następnie od
nieskończoności do B (rys.7.11). Praca ta wynosi
B
A
0
B
0
A
0
B
0
A
0
B
A
B
A
V
V
q
V
q
V
q
U
q
U
q
W
W
W
A
B
q
0
F
Rys.7.11.
Praca
przesunięcia
ładunku q
0
od punktu A do punktu
, a następnie do punktu B jest
równa pracy na drodze AB
Z drugiej strony, ponieważ praca nie zależy od wyboru
drogi, musi być ona równa pracy na odcinku AB, czyli:
Z porównania ostatnich dwóch związków wynika, że
AB
0
AB
U
q
W
B
A
AB
V
V
U
B
A
AB
V
V
U
Napięcie
między
dwoma
punktami
pola
elektrycznego równa się różnicy potencjału tych
punktów.
Z wzorów definicyjnych napięcia elektrycznego (7.26) i
potencjału (7.27) wynika, że napięcie i potencjał mają
wspólną jednostkę.
Jednostka ta:
nazywa się
woltem [V].
V
s
A
s
V
A
C
J
Obliczmy teraz potencjał pola elektrycznego od
odosobnionego ładunku punktowego Q w punkcie A
odległym od Q o r.
+ Q
+
r
x
d x
E
+ q
0
x
Praca jaką wykonuje pole elektryczne przesuwając
ładunek q
0
od A do nieskończoności wynosi
r
0
r
2
0
r
A
x
1
4
dx
x
q
Q
4
1
x
d
F
W
r
1
4
W
0
A
(7.28
)
Korzystając z wzoru (7.27)
obliczamy potencjał pola
(7.29)
Ponieważ potencjał pola elektrycznego jest skalarem,
potencjał dla układu ładunków jest sumą potencjałów,
pochodzących od każdego ładunku z osobna. Wynika to
z zasady superpozycji, którą stosuje się również do
potencjałów.
Potencjał dowolnego rozkładu ładunków
możemy przedstawić jako całkę
(7.30)
r
1
4
Q
q
W
V
0
A
A
0
A
A
q
W
V
V
r
'
dz
'
dy
'
dx
'
z
,
'
y
,
'
x
4
1
z
,
y
,
x
V
gdzie to gęstość objętościowa ładunku zgromadzonego
w obszarze V, r oznacza odległość między elementami
objętości dV=dx’dy’dz’, a punktem (x,y,z), w którym
pytamy o potencjał (rys.7.13).
z
x ’
x
x
( x ’ ,y ’ ,z ’ )
d V = d x ’ d y ’ d z ’
r
P u n k t, w k t ó r y m
o b l i c z a m y
p o te n c j a ł p o l a
( x ,y , z )
Rys.7.13. Potencjał V(x,y,z)
pochodzący od dowolnego rozkładu
ładunków
Potencjał charakteryzuje pole
elektryczne w tym samym
stopniu co natężenie pola.
Graficznie
pole
można
przedstawić
za
pomocą
powierzchni
ekwipotencjalnych,
które
charakteryzują się tym, że w
każdym ich punkcie potencjał
ma stałą wartość. Można
udowodnić, że linie pola
muszą być prostopadłe do
powierzchni
ekwipotencjalnych. Na
przykład powierzchnie ekwipotencjalne pola ładunku
punktowego są, jak widać ze wzoru (7.29), sferami o
promieniu r.
r
1
4
Q
q
W
V
0
A
A
Powierzchnia przewodnika, na którym ładunki
znajdują się w równowadze, jest zawsze powierzchnią
ekwipotencjalną, w przeciwnym bowiem razie siły
elektryczne nie byłyby prostopadłe do powierzchni i
spowodowałyby ruch ładunków.
Znajomość potencjału w dowolnym punkcie
umożliwia obliczenie natężenia tego pola. Ze wzoru
(7.24) wynika, że
(7.31)
(znak minus jest związany z tym, że potencjał maleje w
kierunku wektora ). Stąd otrzymujemy:
(7.32)
Z wzoru (7.32) widać, że natężenie pola elektrycznego
wyrażamy w [V/m].
l
d
E
dV
dl
dV
E
11.12
Pojemność elektryczna i kondensatory
11.12
Pojemność elektryczna i kondensatory
Kondensatorem nazywamy dwa blisko siebie
położone przewodniki o różnych potencjałach i
przeciwnych ładunkach.
Interesuje nas związek
między ładunkiem Q na jednej z płytek a różnicą
potencjału między nimi. Okazuje się, że
dla ustalonej
pary przewodników stosunek ładunku do różnicy
potencjałów jest stały. Stałą tę nazywamy
pojemnością kondensatora i oznaczamy przez C.
2
1
V
V
Q
C
Rozpatrzymy
dwie
przewodzące
płytki
o
jednakowych rozmiarach ustawione równoległe w
odległości d od siebie (rys.7.14). Niech powierzchnia
każdej z płytek wynosi S. Niech na jednej płytce
znajduje się ładunek Q, a na drugiej –Q. Potencjały obu
płytek wynoszą odpowiednio V
1
i V
2
.
P o w ie rz c h
n i a S
Ł a d u n e k + Q
Ł a d u n e k -Q
V
1
V
2
d
a )
b )
A
D
V
1
V
2
C
B
Rys.7.14. Kondensator płaski
W obszarze między płytkami
wartość
natężenia
pola
elektrycznego jest równa
(7.34)
Przebieg linii pola (rys.7.14b)
wskazuje, że pole to jest
jednorodne z wyjątkiem
obszarów brzegowych.
Obliczymy strumień indukcji
przez powierzchnię
prostopadłościenną (ABCD)
(rys.7.14b) zamykającą jedną
okładkę. Strumień przez
powierzchnię górną CD i
boczne AD i BC możemy
zaniedbać ponieważ przechodzi
tam niewielka liczba linii sił
pola.
d
V
V
E
2
1
Pozostaje powierzchnia AB, dla której
(7.35)
Według prawa Gaussa
, zatem
(7.36)
stąd na mocy (7.22)
(7.37)
Porównując (7.34) z (7.37) otrzymujemy
Całkowity ładunek Q znajdujący się na jednej z elektrod
kondensatora jest równy
(7.38)
Równanie to tym lepiej opisuje realną sytuację, im
mniejszy jest stosunek odległości d między płytkami do
długości ich boków.
E
D
r
o
DS
S
,
D
Q
S
,
D
S
Q
D
S
Q
E
S
Q
d
V
V
2
1
d
V
V
S
Q
2
1
Po podstawieniu (7.38) do (7.33) otrzymujemy wzór na
pojemność kondensatora płaskiego
(7.39)
W jednostkach układu SI ładunek Q we wzorze (7.33)
wyraża się w kulombach [C], potencjał zaś w woltach
[V]. W układzie tym jednostką pojemności jest farad
[F]. Farad jest jednostką bardzo, bardzo dużą.
Kondensator jedno faradowy miałby gigantyczne
rozmiary. Dlatego też zazwyczaj w praktyce stosuje się
jednostki mniejsze: mikrofarady i pikofarady .
d
S
C
r
o
11.13
Gęstość energii pola elektrycznego
Załóżmy, że początkowo nie naładowany kondensator
stopniowo ładowano, przy czym różnica potencjałów
wzrastała od 0 do . Ładunek na okładkach
kondensatora będzie wzrastał od 0 do , gdzie
= C. Praca wykonana przy przemieszczaniu
ładunku dq od ujemnie naładowanej płytki do
naładowanej dodatnio wynosi
Całkowita praca, czyli energia zmagazynowana w
kondensatorze
(4.35)
o
V
o
Q
o
Q
o
V
Vdq
dW
C
Q
dq
C
q
dq
V
W
o
V
0
Q
o
o
2
0
2
1
Interesujące jest aby przekształcić wzór
(4.35) i zapisać energię zgromadzoną w
kondensatorze nie w zależności od ładunku, ale w
zależności od natężenia pola elektrycznego.
Dla kondensatora płaskiego, uwzględniając (4.31),
mamy
czyli
Podstawiając to wyrażenie do (4.35) otrzymamy
Uwzględniając z kolei (4.34) mamy
Teraz dzieląc obie części przez objętość kondensatora
Sd
o
, otrzymujemy gęstość energii pola elektrycznego
S
Q
d
o
o
r
r
o
o
d
V
S
Q
d
E
r
o
o
o
V
SE
Q
r
o
o
C
SE
ε
ε
W
r
o
2
2
1
o
2
Sd
2
E
W
r
o
2
2
1
E
w
r
o
(4.36)
Energia zużyta na przemieszczenie ładunku
gromadzona jest w polu elektrycznym kondensatora, a
gęstość energii pola elektrycznego wynosi
o
r
E
2
/2
(J/m3).
Z bardziej ogólnych ale zarazem bardziej
złożonych rozważań wynika, że całkowita energia
konieczna do uformowania dowolnego rozkładu
ładunków, jest równa dokładnie całce po
o
r
E
2
/2
liczonej po całej przestrzeni V, gdzie E jest polem
utworzonym przez taki rozkład ładunku
(4.37)
Wobec tego wyrażenie (4.36) ma bardziej ogólne
znaczenie i pozwala przyjąć fizyczną interpretację
energii zgromadzonej w jednostce objętości pola
elektrycznego.
dV
E
W
r
o
2
2
2
2
1
E
w
r
o
(4.36
)
11.14 Dielektryki
W poprzednich punktach generalnie rozważaliśmy
pola utworzone przez ładunki w przewodnikach
znajdujących się w próżni. Wiadomo, że jeżeli między
okładkami kondensatora umieścimy substancję, to
pojemność kondensatora wzrasta do C’. Wówczas
biorąc stosunek C’ do C możemy określić względną
przenikalność dielektryczną substancji
(4.38)
We wzorze tym C jest pojemnością kondensatora
próżniowego.
C
'
C
r
Dielektryki są to ciała, w których ładunki nie mają
możliwości
swobodnego
przemieszczania.
Jeżeli
dielektryk
umieścimy
w
zewnętrznym
polu
elektrycznym, to na jego granicach indukują się ładunki
(rys. 4.12) na skutek ograniczonego przesunięcia
ładunków w skali mikroskopowej.
Zjawisko to nazywa
się polaryzacją dielektryka
. Efekt polaryzacji jest
jakościowo podobny do powstania łańcucha dipoli. Na
jednym końcu łańcucha dipole mają ładunki dodatnie, a
na drugim ujemne, a więc dielektryk jako całość
wykazuje istnienie
ładunków
na
swoich
powierzchniach prostopadłych do
kierunku linii sił pola. Ładunki te
nazywa
się
ładunkami
nie
związanymi.
Po
usunięciu
zewnętrznego pola elektrycznego
ładunek
na
powierzchniach
dielektryka znika.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
Rys. 4.12. Powstanie ładunku
indukowanego' na powierzchni
dielektryka umieszczonego między
okładkami kondensatora.
Wskutek zjawiska polaryzacji zmienia się wartość
natężenia pola w ośrodku dielektrycznym w stosunku do
tego natężenia pola, jakie istnieje w danym obszarze
”wypełnionym” próżnią. Jest to wynik nałożenia się na
pole zewnętrzne dodatkowego pola wytworzonego przez
ładunki związane.
Przed opisem ilościowym tego zjawiska, omówimy
rodzaje polaryzowalności dielektryka.
W cząsteczkach niektórych dielektryków (np. H
2
,
Cl
2
, CCl
4
, węglowodory) elektrony są rozmieszczone
niejednorodnie dookoła jąder. W cząsteczkach tych
środki ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych, przy
braku zewnętrznego pola elektrycznego, pokrywają się i
moment dipolowy równa się zeru. Z tego powodu
cząsteczki takich dielektryków nazywamy
niespolaryzowanymi.
Jeśli niespolaryzowaną cząstkę dielektryka
umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym, to
następuje rozsunięcie środków ciężkości ładunku
dodatniego i ujemnego cząsteczki i wzbudzi się w niej
moment dipolowy
Moment elektryczny dipola takiego dielektryka równa
się
(4.39)
gdzie jest współczynnikiem polaryzowalności atomu.
Kierunek wektora pokrywa się z kierunkiem
wektora natężenia zewnętrznego pola
elektrycznego.
E
p
o
e
e
p
E
Liczną grupę stanowią
cząsteczki o samoistnym
momencie dipolowym
, w których środek ciężkości
średniego ładunku dodatniego nie pokrywa się z
środkiem ciężkości średniego ładunku ujemnego
.
Przykładem mogą być cząsteczka H
2
O (również NH
3
, HCl,
CH
3
Cl) w której atomy wodoru i tlenu rozłożone są
niesymetrycznie.
Takie
cząsteczki
nazywamy
spolaryzowanymi. W wyniku nieuporządkowanego ruchu
cieplnego cząsteczek, wektory ich momentów dipolowych
wykazują chaotyczną orientację i wypadkowy moment
dipolowy w dowolnej objętości dielektryka równa się
zeru.
Jednak
pod
wpływem
zewnętrznego
pola
elektrycznego, cząsteczki dielektryka dążą do zajęcia
takiego położenia, aby kierunek wektorów ich momentów
dipolowych był zgodny z kierunkiem wektora .
Pojawia się więc orientacja momentów dipolowych
cząsteczek przeważnie wzdłuż linii sił pola. Orientacja ta
jest tym większa, im silniejsze jest pole elektryczne w
dielektryku oraz im słabszy jest ruch cieplny cząsteczek,
tj. im niższa jest temperatura.
Powyższe zjawisko nosi
nazwę
polaryzacji
skierowanej
dielektryka
o
cząsteczkach spolaryzowanych.
e
p
e
p
E
Cząsteczki niespolaryzowane uzyskują w polu
elektrycznym momenty dipolowe indukowane w wyniku
odkształcenia orbit elektronowych. Zachodzi wówczas
tzw.
polaryzacja elektronowa dielektryka.
W dielektrykach jonowych (krystalicznych) typu
NaCl, CsCl; wszystkie jony dodatnie przesuwają się pod
wpływem
pola
elektrycznego
w
kierunku
odpowiadającym kierunkowi natężenia , natomiast
wszystkie jony ujemne w kierunku przeciwnym. Ten
rodzaj polaryzacji nosi
nazwę polaryzacji jonowej
.
E
Jako wskaźnik ilościowy polaryzacji dielektryka
służy wektor polaryzacji
.
Wektorem polaryzacji nazywamy granicę stosunku
momentu
elektrycznego
określonej
objętości
dielektryka do tej objętości, gdy ta ostatnia dąży
do zera
(4.40)
gdzie N oznacza liczbę dipoli zawartych w objętości V
dielektryka, a moment elektryczny i-tego dipola.
W przypadku dielektryka jednorodnego o cząsteczkach
niespolaryzowanych, umieszczonego w jednorodnym
polu elektrycznym,
(4.41)
gdzie oznacza liczbę cząsteczek w jednostce
objętości.
N
1
=
i
ei
V
e
p
V
lim
P
1
0
e
P
ei
p
e
o
e
p
N
P
o
N
Wynika stąd, że wektory wszystkich
cząsteczek
wykazują
jednakowy
kierunek,
odpowiadający kierunkowi wektora natężenia
pola w dielektryku. Stosując wzór (4.39) otrzymujemy
(4.42)
Współczynnik
nazywamy podatnością
dielektryczną substancji.
ei
p
E
E
E
N
P
o
o
o
e
o
e
N
11.15 Twierdzenie Gaussa w przypadku obecności
dielektryków. Wektor indukcji elektrycznej
Stwierdziliśmy, że w dielektryku na pole
elektryczne
ładunków
swobodnych
nakłada
się
dodatkowe pole elektryczne. Z tego względu wektor
natężenia pola elektrycznego powinien zależeć od
właściwości elektrycznych dielektryka. Okazuje się, że
wartość liczbowa jest zawsze odwrotnie
proporcjonalna do stałej dielektrycznej ośrodka. Z
tego
względu
w
celu
jednoznacznego
scharakteryzowania pola elektrycznego celowe jest
wprowadzenie takiej wielkości , która by nie
zależała od stałej dielektrycznej danej substancji.
Można z łatwością wykazać, że warunek ten spełnia
wielkość wektorowa zdefiniowana następująco:
(4.43)
E
D
o
Wielkość nazywamy wektorem indukcji
elektrycznej
E
E
D
D
Wektor charakteryzuje zatem to pole
elektryczne, które wytwarzają w danej substancji
same tylko ładunki swobodne
. Ładunki związane,
powstające w dielektryku, mogą jednak wywołać
zmianę rozkładu w przestrzeni ładunków swobodnych
wytwarzających pole.
W układzie jednostek SI indukcję elektryczna mierzy się
w C/m
2
.
Strumień indukcji elektrycznej
w dowolnym
środowisku
przez element powierzchni jest określony
przez iloczyn skalarny
:
D
j
j
D
S
d
D
d
gdzie wektor określa pole i orientację j-tego
elementu powierzchni, a jest uśrednionym
wektorem indukcji elektrycznej dla j-tego elementu.
j
S
d
j
D
Całkowity strumień przez powierzchnię będzie równy:
(4.45)
gdzie zgodnie z definicją wektora indukcji elektrycznej
uwzględniono tylko ładunki swobodne.
W próżni
, a zatem równanie (4.45) przybiera
postać
(4.46)
swob
S
D
q
S
d
D
E
D
o
swob
S
o
q
S
d
E
Pole w dowolnym środowisku różni się od pola w
próżni tym, że wytwarzają je ładunki zarówno
swobodne,
jak
i
związane
.
Dlatego
też
w
najogólniejszym przypadku do prawej strony równania
(4.46) należy dodać sumę algebraiczną ładunków
związanych objętych przez powierzchnię zamkniętą S
zwią
swob
S
o
q
q
S
d
E
Ładunki swobodne wytwarzają zewnętrzne pole
elektryczne,
natomiast
ładunki
związane
wytwarzają pole wewnętrzne spolaryzowanego
dielektryka.
Rozpatrzymy warstwę jednorodnego dielektryka
zawartą między dwoma nieskończonymi równoległymi
płaszczyznami, naładowanymi do stałych gęstości
powierzchniowych ładunków swobodnych +
, –
(rys.
4.11). W wyniku polaryzacji dielektryka na jego
powierzchniach AA' i BB' powstają ładunki związane,
których gęstości powierzchniowe są równe odpowiednio
i . Na skutek tego pole elektryczne
ładunków związanych jest skierowane przeciwnie
względem pola zewnętrznego , wytworzonego przez
ładunki swobodne. Natężenie pola wypadkowego
p
p
p
E
o
E
p
o
E
E
E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
Znajdziemy teraz sumę ładunków związanych,
które powstały w wyniku polaryzacji dielektryka,
objętego zamkniętą powierzchnią S. Na rys. 4.13
przedstawiony jest tak mały element S tej powierzchni,
że można go uważać za płaski.
l
( a ) ( b )
S
S
l/ 2 l/ 2
E
E
e
P
e
P
n
n
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
Rys. 4.13. Powstawanie ładunku związanego
Ładunki dipoli znajdujących się na zewnątrz
powierzchni zamkniętej nie wywierają w ogóle żadnego
wpływu na strumień natężenia pola przez tę
powierzchnię. Suma algebraiczna wszystkich ładunków
dipoli całkowicie objętych powierzchnią, równa się zeru.
Przy obliczaniu q
zwią
uwzględnia się zatem tylko te
dipole, które przecinają powierzchnię S. Jest rzeczą
oczywistą, że przecinane są jedynie takie dipole,
których środki ciężkości leżą po lewej i po prawej
stronie powierzchni S w odległościach mniejszych niż
(l/2)cos
, gdzie l oznacza długość dipola, a
jest kątem
zawartym między zewnętrzną normalną do elementu
S powierzchni a momentem dipola.
Warunek ten spełniają wszystkie dipole, których środki
leżą wewnątrz objętości lScos
. Jeżeli liczba
cząsteczek dielektryka w jednostce objętości równa się
, to liczba dipoli przeciętych przez element S
powierzchni wynosi lScos
. Każdy przecięty dipol
ma wewnątrz zamkniętej powierzchni nie zobojętniony
ładunek –q.
Całkowity ładunek związany , odpowiadający
powierzchni S, równa się zatem
.
e
p
o
N
o
N
ą
zwi
q
S
cos
p
N
S
cos
ql
N
q
e
o
o
zwią
Dzięki założeniu równoległości wszystkich dipoli,
iloczyn
równy jest modułowi wektora
polaryzacji. W związku z tym
(4.48)
gdzie jest wektorem jednostkowym normalnym do
powierzchni S.
W celu uzyskania ogólnej sumy ładunków związanych,
znajdujących się wewnątrz zamkniętej powierzchni S,
należy wyrażenie (4.48) scałkować po powierzchni S
(4.49)
W związku z tym, twierdzenie Gaussa dla dowolnej
substancji spolaryzowanej, zgodnie ze wzorem (4.47),
zapisujemy w postaci
,
stąd
(4.50)
e
o
p
N
S
d
P
S
n
P
S
cos
P
q
e
e
e
zwią
n
S
d
P
q
S
e
zwią
S
d
P
q
S
d
E
S
e
swob
S
o
swob
S
e
o
q
S
d
P
E
swob
S
e
o
q
S
d
P
E
Wstawiając tu
z równania (4.45) otrzymujemy
Ponieważ równanie to powinno być spełnione dla
dowolnej zamkniętej powierzchni S, przeto
(4.51)
Uwzględniając (4.42) mamy
(4.52)
swob
q
S
S
e
o
S
d
D
S
d
P
E
e
o
P
E
D
E
E
E
D
e
o
e
o
o
1
E
E
N
P
o
o
o
e
Z drugiej strony, w myśl definicji (4.43), wektor
równy jest
Zatem
(4.53)
Stała
dielektryczna
równa
się
podatności
dielektrycznej zwiększonej o 1
. Obydwie te
wielkości są bezwymiarowe. Dla próżni
, a
.
D
E
D
r
o
e
r
1
1
r
0
e