Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Paweł Zimny

Literatura

Przeździecki Franciszek: Elektrotechnika i elektronika.

PWN Warszawa 1974r.

Uporządkowany ruch ładunków elektrycznych

nazywamy prądem elektrycznym

i opisujemy za pomocą natężenia prądu i(t).

Jednostką natężenia prądu jest amper – A

jednostki pochodne: 1mA=10

-3

A

                                   1μA=10

-6

A

                                  1nA=10

-9

A

                                1kA=10

3

A

R

Rezystor

i(t)

u(t)

Prawo Ohma

u(t)=Ri(t)

Jednostką napięcia jest volt - V

R – rezystancja jednostka ohm - 

Źródło napięcia

stałego

zmiennego

E

e(t)

L

i(t)

u(t)

 

dt

di

L

t

u 

L – indukcyjność jednostka henr – H=s

u(t)

C

i(t)

 

dt

du

C

t

i



C – pojemność jednostka farad – F=s/

Obwód elektryczny

R

1

R

2

R

3

R

4

L

C

e(t)

węzeł

węzeł

gałąź

i

1

(t)

i

2

(t)

i

3

(t)

u

R1

(t)

u

R2

(t)

u

R3

(t)

u

L

(t)

u

C

(t)

u

R4

(t)

Prądowe prawo Kirchhoffa

lub 

I prawo Kirchhoffa

 

0

t

i

N

1

k

k







i

1

(t)

i

2

(t)

i

3

(t)

i

4

(t)

i

5

(t)

 

 

 

 

 

0

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

3

4

3

2

1













Napięciowe prawo Kirchhoffa

lub

II prawo Kirchhoffa

 

0

t

u

P

1

k

k







R

2

R

3

R

4

L

C

e(t)

i

1

(t)

i

2

(t)

i

3

(t)

u

R1

(t)

u

R2

(t)

u

R3

(t)

u

L

(t)

u

C

(t)

u

R4

(t)

oczko I

oczko II

 

 

 

 

0

t

u

t

u

t

u

t

e

4

R

2

R

1

R









 

 

 

 

0

t

u

t

u

t

u

t

u

2

R

3

R

L

C









oczko I

oczko II

w - liczba węzłów w obwodzie,

w-1 – liczba węzłów niezależnych w obwodzie,

I prawo Kirchhoffa pozwala zapisać w-1 równań

dla prądów w węzłach. 

R

2

R

3

R

4

L

C

e(t)

i

1

(t)

i

2

(t)

i

3

(t)

u

R1

(t)

u

R2

(t)

u

R3

(t)

u

L

(t)

u

C

(t)

u

R4

(t)

oczko I

oczko II

1

2

 

 

 

 

 

 

0

t

i

t

i

t

i

:

2

0

t

i

t

i

t

i

:

1

3

2

1

3

2

1















Jeżeli w obwodzie mamy g – niezależnych gałęzi.

w których płyną nieznane prądy, to dla ich określenia

pozostałe g-(w-1)=g-w+1 – równań musimy zbudować

z drugiego prawa Kirchhoffa.

Oznacza to, że musimy wyznaczyć

g-w+1

oczek niezależnych, dla których piszemy bilans napięć.

R

2

R

3

R

4

L

C

e(t)

i

1

(t)

i

2

(t)

i

3

(t)

u

R1

(t)

u

R2

(t)

u

R3

(t)

u

L

(t)

u

C

(t)

u

R4

(t)

oczko I

oczko II

g=3  
w=2  →   w-1=1   czyli   g-w+1=2

R

1

Szeregowe połączenie rezystancji

R

1

R

2

R

3

i(t)

i(t)

i(t)

i(t)

u

R1

(t)

u

R2

(t)

u

R3

(t)

 

 

 

 

t

u

t

u

t

u

t

u

3

R

2

R

1

R







 

 

 

 





 

3

2

1

3

2

1

3

3

R

2

2

R

1

1

R

R

R

R

R

)

t

(

Ri

t

u

)

t

(

i

R

R

R

t

u

)

t

(

i

R

t

u

)

t

(

i

R

t

u

)

t

(

i

R

t

u























R

i(t)

u(t)

                                     Generalnie

Jeżeli mamy K szeregowo połączonych rezystancji R

i

to możemy je zastąpić rezystancją zastępczą R

zast

o wartości:









K

i

1

i

i

zast

R

R

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

e(t)

e(t)

)

t

(

i

R

zast

 

 

zast

R

t

e

t

i



gdzie R

zast

=R

1

+R

2

+R

3

+R

4

+R

5

Połączenie równoległe rezystancji

u(t)

R

1

R

2

R

3

i

1

(t)

i

2

(t) i

3

(t)

u

1

(t) u

2

(t) u

3

(t)

i(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

u

R

1

R

1

R

1

R

t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

R

t

u

t

i

R

t

u

t

i

R

t

u

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

3

2

1

zast

3

2

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

2

1





































ostatecznie:

i(t)

u(t)

R

zast

3

2

1

zast

R

1

R

1

R

1

R

1







                                  Generalnie

Jeżeli jest K równolegle połączonych rezystorów

o rezystancji R

i

 i-go rezystora, to możemy je zastąpić

jednym rezystorem zastępczym o rezystancji R

zast

,

którą wyznaczamy z zależności:









K

i

1

i

i

zast

R

1

R

1

Dla dwóch mamy:

2

1

2

1

zast

R

R

R

R

R





Obwód prądu stałego

12V

0.6

4

6

Metoda zwijania sieci

Rezystory połączone

równolegle 

zastępujemy

rezystancją

zastępczą 

korzystając

z zależności:

2

1

2

1

zast

R

R

R

R

R





i mamy:













4

.

2

10

24

6

4

6

4

R

zast

i schemat:

12V

0.6

2.4

Rezystory są połączone

szeregowo

i z zależności: 

R

0

=R

1

+R

zast

mamy: R

0

=0.6+2.4

czyli   R

0

=3 

i schemat:

12V

3

I

i prąd I obliczamy

dla prostego obwodu

z zależności:

0

R

E

I 

Po dodstawieniu danych
mamy:

A

4

3

12

I





Wykonujemy powrót przez kolejne obwody, a więc:

12V

0.6

2.4

I=4A

U=IR

zast

=4·2.4=9.6V

Następny krok powrotny:

12V

0.6

4

6

9.6V

4A

A

6

.

1

6

6

.

9

I

2





A

4

.

2

4

6

.

9

I

1





Moc tracona w rezystancji:

2

RI

P

i mamy: rezystor 0.6 → P

1

=0.6·4

2

=9.6W

                               4   → P

2

=4·2.4

2

=23.04W

                               6   → P

3

=6·1.6

2

=15.36W

W obwodzie musi być spełniony bilans mocy jest
to twierdzenie Tellegena i stwierdza ono, że:

Suma mocy dostarczona przez źródła jest równa

sumie mocy traconej w rezystorach znajdujących

się w obwodzie.

Źródło dostarcza moc P

źr

=EI=12·4=48W

Suma mocy traconej w rezystorach jest:

P

tr

=9.6+23.04+15.36=48W

P

źr

=P

tr

Przykład

24V

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

6

R

7

R

1

=2; R

2

=10; R

3

=20; R

4

=5.2; R

5

=8; R

6

=30; 

R

7

=20;

Równolegle połączone rezystor R

5

, R

6

, R

7

 zastępujemy

rezystorem zastępczym R

a

:

7

6

5

a

R

1

R

1

R

1

R

1







i mamy:

20

1

30

1

8

1

R

1

a







24V

R

1

R

2

R

3

R

4

R

a

R

1

=2; R

2

=10; R

3

=20; 

R

4

=5.2; 

R

a

=4.8

Rezystory R

2

, R

4

, R

a

 są połączone szeregowo 

i zastępujemy je rezystorem R

b

 o wartości:

4

a

2

b

R

R

R

R







i podstawiając wartości mamy:

R

b

=10+4.8+5.2=20

i mamy schemat: 24V

R

1

R

3

R

b

R

1

R

3

R

b

24V

R

1

=2; R

3

=20; R

b

=20

Mamy dwa rezystory R

3

 i R

b

połączone równolegle 

i zastępując je rezystorem

R

c

 wyliczanym ze wzoru:

b

3

b

3

c

R

R

R

R

R





i mamy:











10

20

20

20

20

R

c

stąd schemat:

R

1

R

c

24V

Szeregowo połączone

rezystory R

1

 i R

c

zastępujemy przez 

R

0

=R

1

+R

c

i mamy: R

0

=2+10=12, a schemat ma postać:

R

0

24V

I

1

Prąd I

1

 wyznaczamy z zależności:

A

2

12

24

I

1





Moc dostarczana do układu jest:

W

48

2

24

P

dost







Dla obliczenia rozpływu prądów wracamy przez 
kolejne kroki w odwrotnym kierunku:

R

1

R

c

24V

2A

U

c

U

c

=I

1

R

c

=2·10=20V

R

1

R

3

R

b

24V

2A

20V

I

3

I

2

A

1

20

20

R

U

I

A

1

20

20

R

U

I

b

c

2

3

c

3













24V

R

1

R

2

R

3

R

4

R

a

2A

1A

1A

U

a

=I

2

R

a

=1·4.8=4.8V

24V

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

6

R

7

1A

1A

1A

2A

4.8V

mA

240

A

24

.

0

20

8

.

4

R

U

I

mA

160

A

16

.

0

30

8

.

4

R

U

I

A

6

.

0

8

8

.

4

R

U

I

7

a

7

6

a

6

5

a

5























I

6

I

7

Moc pobierana: 

W

48

P

P

W

8

2

2

I

R

P

W

0

1

1

10

I

R

P

W

0

2

1

20

I

R

P

5.2W

1

2

.

5

I

R

P

2.88W

6

.

0

8

I

R

P

0.768W

16

.

0

30

I

R

P

1.152W

24

.

0

20

I

R

P

7

i

1

i

i

pobrane

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2

2

4

4

4

2

2

5

5

5

2

2

6

6

6

2

2

7

7

7



































































Moc dostarczona P

dost

=48W

Metoda podobieństwa

20V

4

10

15

Zakładamy dowolnie jeden z prądów.

I

2

=1A

15·1=15V

I

1

A

5

.

1

10

15

I

1





I

I=I

1

+I

2

=1.5+1=2.5A; E=U+15=10+15=25V

U=4·2.5=10V

Współczynnik podobieństwa

8

.

0

25

20

E

E

k

oblicz

rzecz







i przeliczamy prądy i napięcia 

20V

4

10

15

0.8·2.5=2A

0.8·1=0.8A

0.8·1.5=1.2A

0.8·10=8V

0.8·15=12V

P

dost

=20·2=40W

P

pobr

=8·2+12·1.2+12·0.8=40W

Obliczyć wskazania amperomierzy i woltomierzy w obwodzie

A

1

A

6

A

2

A

3

A

4

A

5

A

7

V

1

V

2

V

3

4Ω

8Ω

3Ω

9Ω

4Ω

375mΩ

40Ω

400mΩ

3.6Ω

48V

I

2

=1+1.22=

=2.67A

Obliczenia metodą podobieństwa

4Ω

8Ω

3Ω

9Ω

4Ω

375mΩ

40Ω

400mΩ

3.6Ω

I

4

=1A

3·1=3V

8·1=8V

4·1=4V

4+8+3=15V

I

3

=15/9=1.67A

I

5

=2.67A

4·2.67=10.7V

0.375·2.67=1V

10.7+15+1=
   =26.7V

I

6

=26.7/40=0.668A

I

1

=2.67+0.67=

=3.34A

I

7

=3.34A

3.34·3.6=12V

0.4·3.34=1.34V

E

E=12+26.7+1.34=40V

Współczynnik podobieństwa k=48/40=1.2

A

1

A

6

A

2

A

3

A

4

A

5

A

7

V

1

V

2

V

3

4Ω

8Ω

3Ω

9Ω

4Ω

375mΩ

40Ω

400mΩ

3.6Ω

48V

Wskazania amperomierzy: A

1

=A

7

=4A

A

2

=A

5

=3.2A

A

3

=2A

A

4

=1.2A

A

6

=0.8A

V

1

V

2

V

3

48V

1.61V

14.4V

32V

12.8V

1.2V

18V

4.8V

3.6V

9.6V

Wskazania woltomierzy:
V

1

=48-1.61=46.4V lub V

1

=14.4+32=46.4V

V

2

=32V  lub  V

2

=1.2+18+12.8=32V

V

3

=1.2+3.6+9.6=14.4V  lub V

3

=1.2+18-4.8=14.4V

Obwody prądu zmiennego

Siła elektromotoryczna sinusoidalnie zmienna

e(t)=E

m

sin(t+)

E

m

 – amplituda,  - pulsacja,  - faza

0 0.008

0.016

0.024

0.032

0.04

10

5

0

5

10

e t

( )

t



T

E

m

E

m

=2πff – częstotliwość [Hz]

f=1/T

T - okres

R

i(t)

u

R

(t)=Ri(t)

i(t)=I

m

sin(t+)

u

R

(t)=RI

m

sin(t+)

0 0.010.020.030.04

10

5

0

5

10

i t

( )

uRt

( )

t

Indukcyjność

i(t)

L

u

L

(t)

 
 





 





 















































2

t

sin

LI

t

u

t

cos

LI

t

u

t

sin

I

t

i

dt

di

L

t

u

m

L

m

L

m

L

0

0.010.020.030.04

10

5

0

5

10

i t

( )

uLt

( )

t

/2

Pojemność

i(t)

u

C

(t)

 

 

 





 





 



























































2

t

sin

C

I

t

u

t

cos

C

I

t

u

t

sin

I

t

i

d

i

C

1

t

u

m

C

m

C

m

t

C

0 0.010.020.030.04

10

5

0

5

10

i t

( )

uCt

( )

t

/2

Zadanie 1.
Dany jest obwód:

E

1

R

1

R

2

R

3

R

4

E

2

Napisać równania Kirchhoffa dla wyznaczenia prądów.
Zadanie 2.
Przez rezystor o rezystancji R=(a+b)[mΩ] płynie prąd równy 10A.
Ile wynosi spadek napięcia na tym rezystorze?
Zadanie 3.
Dany jest układ rezystorów:

a

b

a+b

A

B

Obliczyć rezystancję R

AB

.

a=liczba liter w nazwisku,   b=liczba liter w nazwisku

Szeregowe połączenie rezystancji i indukcyjności

R

L

e(t)=E

m

sin(t)

i(t)

u

R

(t)

u

L

(t)

i(t)=I

m

sin(t+)

u

R

(t)=Ri(t)

u

R

(t)=RI

m

sin(t+)

 
 

















t

cos

LI

t

u

dt

di

L

t

u

m

L

L

Z napięciowego prawa Kirchhoffa mamy: 

u

R

(t)+u

L

(t)=e(t)

RI

m

sin(t+)+LI

m

cos(t+)=E

m

sin(t)

aby równanie: RI

m

sin(t+)+LI

m

cos(t+)=E

m

sin(t)

było spełnione dla dowolnej chwili czasowej musi mieć

postać:               I

m

Zsin(t)= E

m

sin(t)

gdzie I

m

=E

m

/Z.













 

 

 





 





 

t

sin

E

t

cos

L

R

L

t

sin

L

R

R

L

R

I

t

sin

E

t

cos

L

t

sin

R

I

m

2

2

2

2

2

2

m

m

m







































































Podstawiamy:

 

 

 

2

2

L

R

Z

Z

L

sin

i

Z

R

cos



















Z – nazywamy impedancją

po podstawieniu mamy:













 

  



  







 





 

t

sin

E

t

sin

Z

I

t

sin

E

t

cos

sin

t

sin

cos

Z

I

t

sin

E

t

cos

L

t

sin

R

I

m

m

m

m

m

m

























































a więc aby powyższe równanie było spełnione dla

dowolnej chwili czasowej musi zachodzić równość:

=

 - faza prądu jest określana z równania:

a amplituda prądu I

m

 jest:

 

R

L

tg









 

2

2

m

m

m

L

R

E

Z

E

I









Przebieg prądu i(t) oraz spadki napięcia u

R

(t) i u

L

(t)

przedstawiono na wykresach:

0 0.008

0.016

0.024

0.032

0.04

200

100

0

100

200

e t

( )

i t

( )

uRt

( )

uLt

( )

t

L/R=1

/4

0 0.008

0.016

0.024

0.032

0.04

100

50

0

50

100

e t

( )

i t

( )

uRt

( )

uL t

( )

t

L/R=0.1

0 0.008

0.016

0.024

0.032

0.04

100

50

0

50

100

e t

( )

i t

( )

uRt

( )

uL t

( )

t

L/R=5

Moc

Moc chwilowa dostarczana do obwodu jest:

p(t)=e(t)i(t)

 

  



 

 































t

2

cos

cos

2

I

E

t

p

t

sin

t

sin

I

E

t

p

m

m

m

m

Średnia moc jest:

 





T

0

dt

t

p

T

1

P

po wykonaniu całkowania mamy:

 





cos

2

I

E

P

m

m

0 0.008

0.016

0.024

0.032

0.04

100

50

0

50

100

p t

( )

P

e t

( )

t

Moc średnią P nazywamy mocą czynną.

Jednostką mocy czynnej jest wat [W]

Wygodnie jest przekształcić zależność:

 

 











cos

2

I

2

E

cos

2

I

E

P

m

m

m

m

i wprowadzamy wartości skuteczne:

2

I

I

2

E

E

m

m





Wzór na moc czynną przyjmuje postać:

 



 cos

EI

P

Wprowadzamy dodatkową charakterystykę

zwaną mocą bierną:    

                                Q=EIsin()

Jednoską mocy biernej jest var [VAr].

Ponieważ    P

2

+Q

2

=(EI)

2

(cos

2

+sin

2

)=(EI)

2

Wielkość:                  S=EI
nazywamy mocą pozorną.
Jednostką mocy pozornej jest voltamper [VA].

2

2

Q

P

S





Moc tracona w rezystancji:    p

R

(t)=u

R

(t)i(t)

Ponieważ u

R

(t)=Ri(t) więc      p

R

(t)=Ri

2

(t)

 











































2

t

2

cos

1

2

I

R

t

sin

RI

t

p

2

m

2

2

m

R

i średnia moc jest:    P

R

=RI

2

Ze względu na fakt, że kąt fazowy między spadkiem

napięcia u

R

(t)=RI

m

sin(t+) i prądem i(t)=I

m

sin(t+)

jest równy 0, więc Q

R

=0

Chwilowa moc tracona w indukcyjności jest 

p

L

(t)=u

L

(t)i(t)

ponieważ u

L

(t)=LI

m

cos(t+) więc moc chwilowa jest

p

L

(t)=LI

m

cos(t+)I

m

sin (t+)

czyli

 















2

t

2

sin

2

LI

t

p

2

m

L

Moc średnia jest: P

L

=0

Moc czynna pobierana przez indukcyjność jest równa 

zeru.

Ponieważ spadek napięcia na indukcyjności:

u

L

(t)=LI

m

cos(t+)=LI

m

sin(t++π/2),

a prąd i(t)=I

m

sin(t+), a więc kąt przesunięcia 

między prądem a spadkiem napięcia na indukcyjności

wynosi /2, a więc moc bierna pobierana przez

indukcyjność jest             Q

L

=LI

2                                                 

e(t)=E

m

sin(t)

u

R

(t)

R

C

u

C

(t)

i(t)=I

m

sin(t+)

Obwód RC

 





 





 





 

   

t

e

t

u

t

u

t

cos

I

C

1

t

u

dt

t

sin

I

C

1

t

u

t

sin

RI

t

u

C

R

m

C

m

C

m

R











































 

t

sin

E

t

cos

C

I

t

sin

RI

m

m

m





















Impedancja:





2

2

C

1

R

Z







Oznaczamy:

CZ

1

sin

Z

R

cos











lub

CR

1

tg







i otrzymujemy:





 

t

sin

E

t

sin

ZI

m

m















Warunkiem spełnienia równania dla dowolnej
chwili czasowej jest:

                                        

Z

E

I

m

m









Przebieg prądu i spadków napięć przedstawiono
na wykresach:

RC=0.1

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

10

5

0

5

10

e t

( )

i t

( )

uRt

( )

uC t

( )

t

RC=0.577

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

10

5

0

5

10

e t

( )

i t

( )

uRt

( )

uC t

( )

t

RC=10

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

10

5

0

5

10

e t

( )

i t

( )

uRt

( )

uC t

( )

t

Moce chwilowe:

     

 

   

 

   

t

i

t

u

t

p

t

i

t

u

t

p

t

i

t

e

t

p

C

C

R

R







Moc czynna = moc średnia

   

 









cos

I

E

2

1

dt

t

i

t

e

T

1

P

m

m

T

0

Moc czynna tracona w rezystancji:

   

2

m

R

T

0

R

R

RI

2

1

P

dt

t

i

t

u

T

1

P







Moc czynna tracona w pojemności:

   

0

P

dt

t

i

t

u

T

1

P

C

T

0

C

C







0

0.0150.030.0450.06

30

15

0

15

30

p t

( )

P

pR t

( )

PR

pC t

( )

PC

pR t

( ) pC t

( )



t

Obwód szeregowy RLC

R

L

e(t)=E

m

sin(t)

i(t)

u

R

(t)

u

L

(t)

C

u

c

(t)

i(t)=I

m

sin(t+)

u

R

(t)=Ri(t)

u

R

(t)=RI

m

sin(t+)

 
 





 

 

 

































t

cos

C

I

t

u

dt

t

i

C

1

t

u

t

cos

LI

t

u

dt

di

L

t

u

m

C

C

m

L

L

 

 

   

t

e

t

u

t

u

t

u

C

L

R







Podstawiając mamy:









 

t

sin

E

t

cos

C

1

L

t

sin

R

I

m

m













































Oznaczając:

2

2

C

1

L

R

Z























impedancja obwodu.



























L

C

1

Z

1

sin

Z

R

cos

mamy:

  



  







 





 

t

sin

E

t

sin

Z

I

t

sin

E

t

cos

sin

t

sin

cos

Z

I

m

m

m

m





































ostatnie równanie będzie spełnione dla dowolnej
chwili czasowej t, jeżeli:

Z

E

I

m

m









czyli































R

L

C

1

arctg

Pulsację 

0

, dla której

0

L

C

1

0

0









nazywamy pulsacją rezonansową szeregowego

obwodu RLC

Pulsację rezonansową określa zależność:

LC

1

0





Częstotliwość rezonansowa f

0

 obliczamy z zależności:

LC

2

1

2

f

0

0











Korzystając z pulsacji rezonansowej przekształcamy
wyrażenie dla impedancji:

2

2

2

2

2

LC

1

L

R

L

C

1

R

Z













































ponieważ

LC

1

0





więc





2

0

0

2

0

2

2

2

0

2

2

L

R

L

R

Z





















































Wielkość:

R

L

Q

0





nazywamy dobrocią szeregowego obwodu rezonansowego
i podstawiając mamy:

2

0

0

2

Q

1

R

Z



























Uwzględniając wprowadzone oznaczenia dla fazy mamy:





































































0

0

Q

arctg

R

L

C

1

arctg

Amplituda prądu:

2

0

0

2

m

m

Q

1

R

E

I



























Amplituda spadku napięcia na rezystancji R jest:

2

0

0

2

m

R

Q

1

E

U



























Amplituda spadku napięcia na indukcyjności jest:

2

0

0

2

m

0

m

0

0

m

L

Q

1

QE

LI

LI

U











































Amplituda spadku napięcia na pojemności jest:

C

I

C

I

U

0

m

0

m

C











ale z definicji:

L

C

1

0

0







i mamy:

2

0

0

2

m

0

C

Q

1

QE

U































Charakterystyki częstotliwościowe obwodu

Dla otrzymania wyników ogólnych przedstawimy 

amplitudę prądu I=I

m

/I

0

, gdzie I

0

=E

m

/R oraz =/

0

0

2

4

6

8 10

0

0.25

0.5

0.75

1

I  1







I  10







I  100









2

2

1

Q

1

1

I























I(,Q=1)

I(,Q=10) 

I(,Q=100)  



/

0

=1

Spadek napięcia na indukcyjności w postaci 
bezwymiarowej będzie:

2

2

m

L

0

L

1

Q

1

Q

E

U

U



























i podobnie spadek napięcia na pojemności w postaci
bezwymiarowej jest:

2

0

0

2

m

C

0

C

Q

1

Q

E

U

U































0 2 4 6 8 10

0

0.38

0.75

1.13

1.5

UL  1







UC  1









Q=1

U

L0

()         

U

C0

()         

=

0



0 1 2 3 4 5

0

2.5

5

7.5

10

UL  10







UC  10









Q=10

U

L0

()             

U

C0

()             



=

0

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

0

25

50

75

100

UL  100







UC  100









Q=100

U

L0

()                

U

C0

()                



=

0

Pasmo 3dB

Jest to szerokość pasma pulsacji bądź częstotliwości

po przekroczeniu, którego amplituda sygnału spada

o 3dB bo                         .

Szerokość pasma określa zależność dla napięcia 
na pojemności:

1

0

C

gór

1

0

C

dol

2

Q

U

2

Q

U





















i ponieważ =/

0

, to

gór

0

dol

0

gór

0

dol

0

f

f

f























01

.

3

2

1

log

20



f

dol

Q

f

gór

f

0.882611

f

0

5

1.086737

f

0

0.20413f

0

0.945978

f

0

10

1.046482

f

0

0.10052f

0

0.994962

f

0

100

1.004963

f

0

0.01f

0

0.9995f

0

1000

1.0005f

0

0.001f

0

Mamy dla szerokości pasma 3dB zależność:

Q

f

f

0





Równoległy obwód rezonansowy

e(t)=E

m

sin(t)

u

R

(t)

u

L

(t)

C

u

c

(t)

i(t)=I

m

sin(ωt+φ)

i

C

(t)

i

LR

(t)

e(t)-u

C

(t)=0    →    u

C

(t)=e(t)=E

m

sin(ωt)

 
 

 

 































2

t

sin

CE

t

i

t

cos

CE

t

i

dt

du

C

t

i

m

C

m

C

C

C

 

 









 

t

sin

E

t

cos

LI

t

sin

RI

t

e

dt

di

L

t

Ri

m

mL

mL

LR

LR

























e(t)=E

m

sin(t)

u

R

(t)

u

L

(t)

C

u

c

(t)

i(t)=I

m

sin(ωt+φ)

i

C

(t)

i

LR

(t)

u

R

(t)+u

L

(t)=e(t)

Przyjmując: i

LR

(t)=I

mL

sin(ωt+)

mamy:

Przyjmując podobnie jak w obwodzie RL:

R

L

tg









lub 

 

 

Z

L

sin

Z

R

cos













gdzie

 

2

2

L

R

Z







mamy:





 

t

sin

E

t

sin

Z

I

m

mL















Warunkiem spełnienia równości jest:

Z

E

I

i

m

mL









a więc prądy są:

 























2

t

sin

CE

t

i

m

C

 

 



































t

sin

Z

E

t

i

2

t

sin

CE

t

i

m

LR

m

C

Prąd źródła i(t) jest:      i(t)=i

LR

(t)+i

C

(t)

czyli:













































t

sin

Z

E

2

t

sin

CE

t

sin

I

m

m

m





 

   

   

 

 

   









































































t

sin

Z

cos

t

cos

Z

sin

C

E

t

cos

Z

sin

t

sin

Z

cos

t

cos

C

E

t

sin

I

m

m

m

Przekształcamy tak aby otrzymać wyrażenie jak po 
stronie lewej:

Przyjmując:

 

 

2

2

0

Z

cos

Z

sin

C

Y





































Y

0

 – nazywamy modułem admitancji.

Podnosząc do kwadratu i biorąc pod uwagę, że
                             

 

 

1

sin

cos

2

2









mamy:

 

 

2

2

0

Z

1

Z

sin

C

2

C

Y













 

 

 

0

m

m

Y

E

I

cos

Z

sin

C

tg















czyli

 













t

sin

I

t

i

m

Ponieważ

 

 

Z

L

sin

Z

R

cos













więc

 

 

 























cos

Z

L

CZ

cos

Z

L

C

tg

2

2

2

Jeżeli                             to φ=0 i wtedy mamy:

e(t)=E

m

sin(ωt) oraz i(t)= EmY

0

sin(ωt) 

oznacza to, że prąd i napięcie są w fazie.

Zjawisko takie nazywamy rezonansem.

,

0

L

CZ

2









Zbadajmy kiedy:

 





0

L

L

R

C

2

2













Pulsacja ω=0 jest nie interesująca, więc dzieląc przez ωC
mamy

 

2

2

R

C

L

L







Wprowadzając:

C

L

R

kr

 - oporność krytyczna

mamy:

 



































2

kr

2
kr

2

R

R

1

R

L

Powyższe równanie jest spełnione dla rzeczywistych

wartości pulsacji ω, jeżeli:                   lub   R<R

kr.

1

R

R

kr



Tak więc warunkiem aby w obwodzie równoległym
był możliwy rezonans jest:

kr

R

R 

Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, to pulsacja

rezonansowa ω

r

 jest:

gdzie 

2

kr

0

r

R

R

1





















LC

1

0





Częstotliwość rezonansowa f

r

=ω

r

/(2π) jest:

2

kr

0

r

R

R

1

f

f

















Ze względu na fakt, że obwód składa się z dwóch

równoległych gałęzi rezonans nazywa się skrótowo

rezonansem równoległym

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

4

2.4

0.8

0.8

2.4

4

iC t 314



(

)

iLR t 314



(

)

i t 314



(

)

e t 314



(

)

t

R>R

kr

i

C

(t)            

i

LR

(t)             

i(t)           

e(t)            

0 200400600800

1000

0

2

4

6

8

10

I0 

 

Im 

 

 C

 Em





R>R

kr

I

m0

(ω)   

I

mLR

(ω)

I

mC

(ω)   

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

4

2.4

0.8

0.8

2.4

4

iC t 314



(

)

iLR t 314



(

)

i t 314



(

)

e t 314



(

)

t

i

C

(t)            

i

LR

(t)             

i(t)           

e(t)            

R=R

kr

0 200400600800

1000

0

2

4

6

8

10

I0 

 

Im 

 

 C

 Em





I

m0

(ω)   

I

mLR

(ω)

I

mC

(ω)   

R=R

kr

ω

r

=0

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

4

2.4

0.8

0.8

2.4

4

iC t r







iLR t r







i t r







e t r







t

i

C

(t)            

i

LR

(t)             

i(t)           

e(t)            

R=0.1R

kr

ω=314.643s

-1

0 200400600800

1000

0

8

16

24

32

40

I0 

 

Im 

 

 C

 Em





I

m0

(ω)   

I

mLR

(ω)

I

mC

(ω)    

R=0.1R

kr

ω=314.643s

-1

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

4

2.4

0.8

0.8

2.4

4

iC t r







iLR t r







i t r







e t r







t

i

C

(t)            

i

LR

(t)             

i(t)           

e(t)            

R=0.001R

kr