Model trendu liniowego
Model trendu liniowego
Model trendu liniowego
Model trendu liniowego
Zagadnienia wstępne
Zagadnienia wstępne
W
klasycznym
podejściu,
historycznie
W
klasycznym
podejściu,
historycznie
najstarszym, zakłada się, że powiązania
najstarszym, zakłada się, że powiązania
między zmienną objaśnianą a zmiennymi ją
między zmienną objaśnianą a zmiennymi ją
objaśniającymi są niezmiennicze („gładkie”)
objaśniającymi są niezmiennicze („gładkie”)
na całym zbiorze możliwych wartości
na całym zbiorze możliwych wartości
zmiennych i można je wyrazić jednym
zmiennych i można je wyrazić jednym
wzorem analitycznym.
wzorem analitycznym.
Funkcja tendencji rozwojowej (trendu)
Funkcja tendencji rozwojowej (trendu)
należy
należy
do szczególnej klasy modeli, w których w roli
do szczególnej klasy modeli, w których w roli
zmiennej
objaśniającej
występuje
czas.
zmiennej
objaśniającej
występuje
czas.
Zastosowanie
tych
modeli
do
analizy
Zastosowanie
tych
modeli
do
analizy
szeregów czasowych pozwala często wykryć
szeregów czasowych pozwala często wykryć
pewne
prawidłowości,
które
mogą
pewne
prawidłowości,
które
mogą
determinować rozwój badanego zjawiska.
determinować rozwój badanego zjawiska.
Zagadnienia wstępne
Zagadnienia wstępne
Wyróżnia się cztery składowe mające wpływ
Wyróżnia się cztery składowe mające wpływ
na
zmienność
zjawiska
w
ujęciu
na
zmienność
zjawiska
w
ujęciu
dynamicznym:
dynamicznym:
trend
trend
(tendencja rozwojowa)
(tendencja rozwojowa)
– ciągłe i
– ciągłe i
regularne zmiany jakim podlega dane zjawisko
regularne zmiany jakim podlega dane zjawisko
w długim okresie,
w długim okresie,
wahania okresowe
wahania okresowe
(często sezonowe) –
(często sezonowe) –
odchylenia od wartości trendu powtarzające się
odchylenia od wartości trendu powtarzające się
regularnie co pewien okres, w przybliżeniu stały,
regularnie co pewien okres, w przybliżeniu stały,
wahania koniunkturalne
wahania koniunkturalne
– zmiany rozwoju
– zmiany rozwoju
gospodarki obserwowane w okresach kilku lub
gospodarki obserwowane w okresach kilku lub
kilkunastoletnich,
kilkunastoletnich,
wahania przypadkowe
wahania przypadkowe
– inne uboczne zmiany
– inne uboczne zmiany
mające charakter całkowicie nieregularny.
mające charakter całkowicie nieregularny.
Zagadnienia wstępne
Zagadnienia wstępne
Metody
statystyczne
mające
na
celu
Metody
statystyczne
mające
na
celu
wyodrębnienie trendu oraz eliminację wahań
wyodrębnienie trendu oraz eliminację wahań
w
czasie
określane
są
jako
metody
w
czasie
określane
są
jako
metody
dekompozycji
szeregów
czasowych
lub
dekompozycji
szeregów
czasowych
lub
metody
wyrównywania
szeregów
metody
wyrównywania
szeregów
dynamicznych.
dynamicznych.
Badając szeregi czasowe bez okresowości
Badając szeregi czasowe bez okresowości
zakładamy, że zmiany w nich zachodzące
zakładamy, że zmiany w nich zachodzące
podlegają
wpływom
jedynie
przyczyn
podlegają
wpływom
jedynie
przyczyn
głównych (determinujących w zasadniczym
głównych (determinujących w zasadniczym
stopniu tendencję rozwojową analizowanego
stopniu tendencję rozwojową analizowanego
zjawiska) i ubocznych (mających charakter
zjawiska) i ubocznych (mających charakter
zupełnie przypadkowy).
zupełnie przypadkowy).
Metoda analityczna
Metoda analityczna
Najczęściej stosowaną metodą wyodrębniania
Najczęściej stosowaną metodą wyodrębniania
trendów jest metoda analityczna. Polega ona na
trendów jest metoda analityczna. Polega ona na
tym, że tendencję rozwojową wyraża się za
tym, że tendencję rozwojową wyraża się za
pomocą
pewnej
określonej
funkcji
pomocą
pewnej
określonej
funkcji
matematycznej, w której zmienną zależną jest
matematycznej, w której zmienną zależną jest
poziom obserwowanego w czasie zjawiska a
poziom obserwowanego w czasie zjawiska a
zmienną niezależną – zmienna czasowa.
zmienną niezależną – zmienna czasowa.
Model szeregu czasowego ma wówczas postać:
Model szeregu czasowego ma wówczas postać:
n
t
u
t
f
Y
t
t
,...,
3
,
2
,
1
)
(
gdzie:
gdzie:
Metoda analityczna
Metoda analityczna
- zmienna obrazująca poziom badanego zjawiska
- zmienna obrazująca poziom badanego zjawiska
w czasie,
w czasie,
- określona postać matematyczna funkcji (np.
- określona postać matematyczna funkcji (np.
liniowa),
liniowa),
- składnik losowy.
- składnik losowy.
Po oszacowaniu przyjętą metodą estymacji model
Po oszacowaniu przyjętą metodą estymacji model
przyjmie postać:
przyjmie postać:
t
Y
)
(t
f
t
u
)
(
^
t
f
Y
t
Model trendu liniowego
Model trendu liniowego
Najczęściej
spotykaną
w
Najczęściej
spotykaną
w
praktyce funkcją tendencji rozwojowej
praktyce funkcją tendencji rozwojowej
jest funkcja liniowa. Model szeregu
jest funkcja liniowa. Model szeregu
czasowego ma wówczas postać:
czasowego ma wówczas postać:
t
t
u
t
Y
1
0
a po oszacowaniu przyjętą metodą estymacji:
a po oszacowaniu przyjętą metodą estymacji:
t
a
a
Y
t
1
0
^
Metoda estymacji
Metoda estymacji
Wyznaczanie trendu sprowadza się zwykle do
Wyznaczanie trendu sprowadza się zwykle do
takiego
dopasowania
funkcji
tendencji
takiego
dopasowania
funkcji
tendencji
rozwojowej
rozwojowej
do danego szeregu empirycznego, ażeby suma
do danego szeregu empirycznego, ażeby suma
kwadratów różnic pomiędzy poszczególnymi
kwadratów różnic pomiędzy poszczególnymi
wartościami rzeczywistymi a wartościami
wartościami rzeczywistymi a wartościami
teoretycznymi otrzymanymi z równania
teoretycznymi otrzymanymi z równania
była minimalna. Kryterium to matematycznie
była minimalna. Kryterium to matematycznie
można zapisać w postaci:
można zapisać w postaci:
t
y
)
(t
f
^
t
y
)
(
^
t
f
Y
t
min
)
(
1
2
^
n
t
t
t
y
y
Metoda oparta na podanym wyżej kryterium, nosi
Metoda oparta na podanym wyżej kryterium, nosi
nazwę
nazwę
metody najmniejszych kwadratów
metody najmniejszych kwadratów
(MNK)
(MNK)
.
.
Podejście macierzowe
Podejście macierzowe
Zapis macierzowy modelu trendu liniowego:
Zapis macierzowy modelu trendu liniowego:
gdzie:
gdzie:
jest następujący:
jest następujący:
n
n
u
u
u
U
n
T
y
y
y
Y
2
1
1
0
2
1
1
2
1
1
1
n
t
u
t
Y
t
t
,...,
3
,
2
,
1
1
0
U
T
Y
Podejście macierzowe
Podejście macierzowe
Nieznane parametry strukturalne omawianego
Nieznane parametry strukturalne omawianego
modelu można zwykle oszacować za pomocą
modelu można zwykle oszacować za pomocą
klasycznej metody najmniejszych kwadratów.
klasycznej metody najmniejszych kwadratów.
W ujęciu macierzowym przytoczone wyżej
W ujęciu macierzowym przytoczone wyżej
kryterium
najmniejszych
kwadratów
po
kryterium
najmniejszych
kwadratów
po
odpowiednich
operacjach
matematycznych
odpowiednich
operacjach
matematycznych
prowadzi
do
uzyskania
wektora
ocen
prowadzi
do
uzyskania
wektora
ocen
parametrów strukturalnych, który dany jest
parametrów strukturalnych, który dany jest
wzorem:
wzorem:
Y
T
T
T
a
'
)
'
(
1
^
Podejście analityczne
Podejście analityczne
Alternatywnie dla modelu trendu liniowego:
Alternatywnie dla modelu trendu liniowego:
gdzie:
gdzie:
stosować można wzory:
stosować można wzory:
t
a
y
a
t
t
t
y
t
y
a
1
0
2
2
1
)
(
n
t
u
t
Y
t
t
,...,
3
,
2
,
1
1
0
Nazwy i oznaczenia
Nazwy i oznaczenia
- to parametry strukturalne,
- to parametry strukturalne,
przy czym:
przy czym:
- wyraz wolny (parametr wolny)
- wyraz wolny (parametr wolny)
- współczynnik trendu (parametr
- współczynnik trendu (parametr
główny)
główny)
-
to
oceny
(szacunki)
-
to
oceny
(szacunki)
parametrów
parametrów
0
^
0
0
^
1
1
a
a
1
1
0
,
Weryfikacja modelu
Weryfikacja modelu
Chcąc
sprawdzić,
czy
wartości
Chcąc
sprawdzić,
czy
wartości
empiryczne badanej zmiennej i wartości
empiryczne badanej zmiennej i wartości
teoretyczne otrzymane z oszacowanego
teoretyczne otrzymane z oszacowanego
modelu są do siebie podobne (tzn. czy
modelu są do siebie podobne (tzn. czy
zbudowany model dobrze przybliża
zbudowany model dobrze przybliża
rzeczywiste zmiany analizowanego w
rzeczywiste zmiany analizowanego w
czasie zjawiska) należy przeprowadzić
czasie zjawiska) należy przeprowadzić
weryfikację modelu. Dokonując oceny
weryfikację modelu. Dokonując oceny
jakości oszacowanego modelu trendu
jakości oszacowanego modelu trendu
liniowego
stosować
będziemy
liniowego
stosować
będziemy
odpowiednie miary i testy statystyczne.
odpowiednie miary i testy statystyczne.
Weryfikacja modelu
Weryfikacja modelu
1.
1.
Współczynnik zgodności (zbieżności,
Współczynnik zgodności (zbieżności,
niedopasowania,
indeterminacji)
niedopasowania,
indeterminacji)
-
-
określa w jakim stopniu zmiany badanego
określa w jakim stopniu zmiany badanego
zjawiska nie są wyjaśniane przez zbudowany
zjawiska nie są wyjaśniane przez zbudowany
model trendu liniowego i dany jest wzorem:
model trendu liniowego i dany jest wzorem:
najczęściej jest wyrażany w procentach
najczęściej jest wyrażany w procentach
pożądane
są
niskie
wartości
tego
pożądane
są
niskie
wartości
tego
współczynnika
współczynnika
n
t
t
n
t
t
n
t
t
n
t
t
t
y
y
e
y
y
y
y
1
2
1
2
1
2
1
2
^
2
)
(
)
(
)
(
Weryfikacja modelu
Weryfikacja modelu
2.
2.
Współczynnik
determinacji
Współczynnik
determinacji
(dopasowania)
(dopasowania)
- określa w jakim stopniu
- określa w jakim stopniu
zmiany badanego zjawiska są wyjaśniane
zmiany badanego zjawiska są wyjaśniane
przez zbudowany model trendu liniowego
przez zbudowany model trendu liniowego
i dany jest wzorem:
i dany jest wzorem:
najczęściej jest wyrażany w procentach
najczęściej jest wyrażany w procentach
pożądane są wysokie wartości tego
pożądane są wysokie wartości tego
współczynnika
współczynnika
2
2
1
R
Weryfikacja modelu
Weryfikacja modelu
3.
3.
Odchylenie standardowe składnika losowego
Odchylenie standardowe składnika losowego
(odchylenie standardowe reszt, średni błąd
(odchylenie standardowe reszt, średni błąd
estymacji)
estymacji)
- określa o ile przeciętnie różnią się
- określa o ile przeciętnie różnią się
między sobą wartości rzeczywiste badanej
między sobą wartości rzeczywiste badanej
zmiennej objaśnianej i odpowiadające im
zmiennej objaśnianej i odpowiadające im
wartości teoretyczne uzyskane na podstawie
wartości teoretyczne uzyskane na podstawie
trendu liniowego i dane jest wzorem:
trendu liniowego i dane jest wzorem:
jest wyrażone w nominalnych jednostkach
jest wyrażone w nominalnych jednostkach
zmiennej y
zmiennej y
t
t
pożądane są niskie wartości tej miary
pożądane są niskie wartości tej miary
2
1
2
2
n
e
Se
Se
n
t
t
Weryfikacja modelu
Weryfikacja modelu
4.
4.
Współczynnik
zmienności
losowej
Współczynnik
zmienności
losowej
(współczynnik wyrazistości)
(współczynnik wyrazistości)
- określa
- określa
udział
odchylenia
standardowego
udział
odchylenia
standardowego
składnika losowego w średniej wartości
składnika losowego w średniej wartości
zmiennej objaśnianej i dany jest wzorem:
zmiennej objaśnianej i dany jest wzorem:
najczęściej jest wyrażany w procentach
najczęściej jest wyrażany w procentach
pożądane
są
niskie
wartości
tego
pożądane
są
niskie
wartości
tego
współczynnika
współczynnika
y
Se
V
Se
Weryfikacja modelu
Weryfikacja modelu
5.
5.
Ocena
istotności
parametrów
Ocena
istotności
parametrów
strukturalnych
strukturalnych
Wykorzystując test
Wykorzystując test
t-Studenta
t-Studenta
wartość
wartość
testową oblicza się według wzoru:
testową oblicza się według wzoru:
gdzie:
gdzie:
- ocena i-tego parametru
- ocena i-tego parametru
- średni błąd szacunku i-tego parametru
- średni błąd szacunku i-tego parametru
0
:
0
:
1
0
i
i
H
H
)
(
i
a
D
)
1
,
0
(
)
(
i
a
D
a
t
i
i
i
a
Weryfikacja modelu
Weryfikacja modelu
-
-
średni błąd szacunku i-tego parametru
średni błąd szacunku i-tego parametru
wyznaczyć można w następujący sposób:
wyznaczyć można w następujący sposób:
1.
1.
macierzowo
macierzowo
-
jako
pierwiastek
-
jako
pierwiastek
kwadratowy
kwadratowy
z
odpowiedniego
elementu
głównej
z
odpowiedniego
elementu
głównej
przekątnej macierzy wariancji i kowariancji
przekątnej macierzy wariancji i kowariancji
ocen
parametrów
strukturalnych
ocen
parametrów
strukturalnych
2.
2.
analitycznie
analitycznie
– przy pomocy wzorów:
– przy pomocy wzorów:
1
2
2
)
'
(
)
(
T
T
Se
a
D
)
(
i
a
D
2
1
0
2
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
t
a
D
a
D
n
t
t
Se
a
D
Weryfikacja modelu
Weryfikacja modelu
Omawiana wartość testowa
Omawiana wartość testowa
t
t
w przypadku trendu
w przypadku trendu
liniowego ma rozkład
liniowego ma rozkład
t-Studenta
t-Studenta
z
z
n-2
n-2
stopniami
stopniami
swobody. Obszar krytyczny
swobody. Obszar krytyczny
OK
OK
przy tak
przy tak
określonej
hipotezie
alternatywnej
jest
określonej
hipotezie
alternatywnej
jest
dwustronny, przy czym wartość krytyczną
dwustronny, przy czym wartość krytyczną
odczytuje
się
z
tablic
rozkładu
odczytuje
się
z
tablic
rozkładu
t-Studenta
t-Studenta
dla przyjętego z góry poziomu
dla przyjętego z góry poziomu
istotności i
istotności i
n-2
n-2
stopni swobody.
stopni swobody.
Jeżeli
Jeżeli
to należy odrzucić hipotezę zerową na
to należy odrzucić hipotezę zerową na
korzyść
alternatywnej,
w
myśl
której
korzyść
alternatywnej,
w
myśl
której
i-ty
i-ty
parametr jest statystycznie istotny.
parametr jest statystycznie istotny.
W
W
praktyce
praktyce
o istotności parametru przesądza nierówność
o istotności parametru przesądza nierówność
W przeciwnym przypadku brak jest podstaw do
W przeciwnym przypadku brak jest podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej.
odrzucenia hipotezy zerowej.
OK
t
2
t
Uwaga praktyczna
Uwaga praktyczna
Mimo, że już wielokrotnie przez różnych
Mimo, że już wielokrotnie przez różnych
statystyków podejmowane były próby
statystyków podejmowane były próby
sprecyzowania kryteriów pozwalających
sprecyzowania kryteriów pozwalających
rozróżniać
modele
„dobre”
rozróżniać
modele
„dobre”
i „złe” lub przynajmniej „lepsze” od
i „złe” lub przynajmniej „lepsze” od
„gorszych”, to
„gorszych”, to
brak jednoznacznych
brak jednoznacznych
kryteriów tej oceny powoduje, że
kryteriów tej oceny powoduje, że
weryfikacja modelu pozostaje zawsze
weryfikacja modelu pozostaje zawsze
niejednoznaczna
niejednoznaczna
i
jest
jednym
z
i
jest
jednym
z
najtrudniejszych
etapów
badania
najtrudniejszych
etapów
badania
statystycznego.
statystycznego.
Przykład empiryczny
Przykład empiryczny
Liczba aktywnych kart SIM w Polsce w latach 1998-2005
Liczba aktywnych kart SIM w Polsce w latach 1998-2005
lata
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Yt
1944
3956
6748
9605
1389
8
1740
1
2309
6
2916
7
Dziękuję za uwagę
Dziękuję za uwagę
Zapraszam do współpracy
Zapraszam do współpracy
dr Rafał Klóska
dr Rafał Klóska
Katedra Metod Ilościowych
Katedra Metod Ilościowych
Wydziału Zarządzania i Ekonomiki Usług
Wydziału Zarządzania i Ekonomiki Usług
Uniwersytetu Szczecińskiego
Uniwersytetu Szczecińskiego
ul. Cukrowa 8, pok. 403
ul. Cukrowa 8, pok. 403
rafal.kloska@wzieu.pl
rafal.kloska@wzieu.pl