Czwórniki
Czwórnikiem nazywamy obwód 4-
zaciskowy, w którym utworzone są
dwie pary końcówek mających tę
właściwość, że w parze płynie ten
sam prąd.
zaciski 11’ – zaciski wejściowe
zaciski 22’ – zaciski wyjściowe
Czwórniki
Czwórnikiem nazywamy obwód 4-
zaciskowy, w którym utworzone są
dwie pary końcówek mających tę
właściwość, że w parze płynie ten
sam prąd.
zaciski 11’ – zaciski wejściowe
zaciski 22’ – zaciski wyjściowe
Czwórniki SLS, przy zerowych
warunkach początkowych dadzą
się zapisać co najmniej w jednej z
sześciu podanych postaci
Równanie impedancyjne
2
1
2
1
i
i
u
u
Z
22
21
12
11
z
z
z
z
Z
- macierz
impedancyjna
Równanie admitancyjne
2
1
2
1
u
u
i
i
Y
22
21
12
11
y
y
y
y
Y
- macierz
admitancyjna
Równanie łańcuchowe
2
2
1
1
i
u
i
u
A
Równanie łańcuchowe odwrotne
1
1
2
2
i
u
i
u
B
Równanie hybrydowe
2
1
2
1
u
i
i
u
H
Równanie hybrydowe odwrotne
2
1
2
1
i
u
u
i
F
Macierze Z, Y, A, B, H, F, opisujące
czwórniki, nazywamy
macierzami
charakterystycznymi.
Elementy
macierzy charakterystycznych są
funkcjami zmiennej zespolonej s.
Czwórniki nazywamy
równoważnymi
, jeżeli mają
identyczne macierze
charakterystyczne.
Przykład
wyznacz opis impedancyjny czwórnika
2
1
22
21
12
11
2
1
i
i
z
z
z
z
u
u
0
2
1
1
11
i
i
u
z
0
2
1
2
21
i
i
u
z
0
1
2
1
12
i
i
u
z
0
1
2
2
22
i
i
u
z
0
2
i
1
1
i
R
R
u
b
e
1
1
2
i
R
i
r
u
b
m
b
e
R
R
z
11
b
m
R
r
z
21
0
1
i
2
1
i
R
u
b
2
2
i
R
R
u
c
b
b
R
z
12
c
b
R
R
z
22
c
b
m
b
b
b
e
R
R
r
R
R
R
R
Z
1
Z
Y
11
21
12
22
z
z
z
z
Y
21
12
22
11
det
z
z
z
z
Z
Uwaga
W celu zbudowania żądanych równań
czwórnikowych nie jest konieczne
rozpatrywanie stanów zwarcia i
rozwarcia.
Wystarczy sformułować układ równań
opisujących obwód na podstawie praw
Kirchhoffa i Ohma, a następnie
rozwiązać go względem odpowiedniej
pary zmiennych.
2
1
1
1
i
i
R
i
R
u
b
e
2
1
1
2
2
i
i
R
i
R
r
i
R
u
b
c
m
c
2
1
1
i
R
i
R
R
u
b
b
e
2
1
2
i
R
R
i
r
R
u
c
b
m
b
wyznaczamy u
1
i u
2
w funkcji i
1
i i
2
–
- otrzymujemy opis impedancyjny
2
1
1
1
i
i
R
i
R
u
b
e
2
1
1
2
2
i
i
R
i
R
r
i
R
u
b
c
m
c
wyznaczamy u
1
i i
1
w funkcji u
2
i i
2
–
- otrzymujemy opis łańcuchowy
2
2
1
i
r
R
R
R
R
R
r
R
u
r
R
R
R
u
m
b
c
b
e
b
m
e
m
b
b
e
2
2
1
1
i
r
R
R
R
u
r
R
i
m
b
c
b
m
b
Przekształcanie macierzy
charakterystycznych
Interesuje nas związek pomiędzy
elementami dowolnych dwóch,
spośród sześciu, macierzy
charakterystycznych.
Znajomość takich zależności
pozwala na łatwe przejście od
jednego opisu czwórnika do
innego, bardziej w danym
zagadnieniu użytecznego.
Związki takie łatwo wyprowadzić
lub można skorzystać z
odpowiedniej tabeli (13.1 z cz II)
Czwórniki prawidłowe i
zdegenerowane
Czwórnik nazywamy prawidłowym,
jeżeli ma wszystkie macierze
charakterystyczne.
Czwórnik jest prawidłowy wtedy i
tylko wtedy, kiedy ma
którąkolwiek z macierzy Z, Y, A, B,
H, F, nieosobliwą i o wszystkich
elementach różnych od zera.
Czwórnik, który nie jest
prawidłowy, nazywamy
zdegenerowanym
.
Czwórnik mający tylko jedną
macierz charakterystyczną
nazywamy
czwórnikiem zerowym
.
Macierz charakterystyczna
czwórnika zerowego ma wszystkie
elementy równe zeru.
Transformator idealny
2
1
pu
u
2
1
1
i
p
i
p
p
0
0
1
B
0
0
1
1
1
p
p
H
F
Transformator idealny nie ma
macierzy Z i Y.
Żyrator idealny
,
i
r
u
,
i
r
u
1
2
2
1
0
0
r
r
Z
0
0
1
r
r
A
Żyrator idealny nie ma macierzy H i F
Odwracalność i symetria
czwórnika
czwórnik przy zerowych
warunkach początkowych w dwóch
stanach
T
1
2
1
1
1
u
u
u
T
1
2
1
1
1
i
i
i
T
2
2
2
1
2
u
u
u
T
2
2
2
1
2
i
i
i
stany są wynikiem działania pewnych
wymuszeń prądowych lub
napięciowych od strony zacisków
pierwotnych i wtórnych
Czwórnik nazywamy odwracalnym
,
jeżeli dla każdej pary jego stanów
zachodzi równość
1
T
2
2
T
1
i
u
i
u
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
i
u
i
u
i
u
i
u
W przeciwnym przypadku
czwórnik jest nieodwracalny.
Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i
wystarczającym do tego, aby
czwórnik opisany równaniem
admitancyjnym był odwracalny,
jest spełnienie zależności
21
12
y
y
.
f
f
h
h
z
z
21
12
21
12
21
12
1
det
1
det
B
A
F
H
B
A
Z
Twierdzenie
Czwórnik jest odwracalny wtedy i
tylko wtedy, kiedy spełnia twierdzenie
o wzajemności (oczkowe lub węzłowe)
2
1
1
2
i
i
Przykład
Transformator idealny opisany
równaniem łańcuchowym
2
2
1
1
1
0
0
i
u
p
p
i
u
jest czwórnikiem odwracalnym
1
det
A
Czwórniki symetryczne
W klasie czwórników odwracalnych
wyodrębniamy podklasę czwórników
symetrycznych.
W czwórniku symetrycznym
zamiana zacisków wejściowych i
wyjściowych nie powoduje
żadnych zmian w opisie
matematycznym tego czwórnika.
2
1
u
u
2
1
i
i
1
det
1
det
22
11
22
11
22
11
22
11
F
H
b
b
a
a
y
y
z
z
Przykład
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
z
z
z
z
z
z
z
z
A
1
det
A
22
11
a
a
czwórnik jest więc symetryczny