Wpływ smukłości słupów

 na ich nośność

 

Efekty II rzędu

Można je pominąć, jeżeli 

        - wynoszą one mniej niż 10% odpowiednich 

efektów I rzędu

        - smukłość słupa λ  nie przekracza λ

lim

       

Smukłość określa się jako
                              λ = l

0

 / i

gdzie:
  l

0

 – długość efektywna

  i – promień bezwładności nie zarysowanego 

przekroju betonowego

        przekrój prostokątny   

12

/

h

A

/

J

i





• A – uwzględnia wpływ pełzania; 

       można przyjąć A = 0,7

• B – wpływ intensywności zbrojenia; 

       można przyjąć B = 1,1

• C = 1,7 – r

m

   ; jeżeli wartość r

m

  nie jest znana,

       można przyjąć C = 0,7

• r

m

  =  M

01

 / M

02       

 

• n – względna siła normalna
                n = N

Ed

 / A

c

 f

cd

     

n

/

ABC

20

lim





Określanie wartości 
r

m

 

Wartości  λ

lim

  według różnych norm

0

20

40

60

80

100

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

=l

0

/i

n=N

Sd

/A

c

F

cd

DIN 1045-1 r

m

=-1.0

DIN 1045-1 r

m

=0

PN 02               DIN 1045-1 r

m

=1.0

EC2 r

m

=-1.0

EC2 r

m

=1.0

EC2 r

m

=0

 
 
 

Długości efektywne

 

Elementy wydzielone – przykłady różnych postaci 

wyboczenia 

i odpowiadających im efektywnych długości 

a) l

0

=l  b) l

0

=2l    c) l

0

=0,7l   d) l

0

=l/2     e) l

0

=l    f) 

l/2<l

0

<l    g) l

0

>2l 

W elementach o regularnym kształcie efektywną 
długość można wyznaczać ze wzorów:

• w elementach usztywnionych (rys. f)

                     
•  w elementach nie usztywnionych (rys. g)
                  

gdzie: k – względna podatność podpór na końcach 

1 i 2

                k = θ/M · EI/l          θ – kąt obrotu podpory
 k = 0  zamocowanie całkowicie sztywne
 k = ∞  pełen przegub
Zaleca się przyjmować 

minimum k

1

  = 0,1   k

2

  = 

0,1





































2

2

1

1

0

k

0,45

k

1

k

0,45

k

1

 

 

0,5l

 

 

l































































2

2

1

1

2

1

2

1

0

k

1

k

1

k

1

k

1

 ;

  

k

k

k

k

10

1

max 

 

 l

 

l

Określanie względnej podatności według UK National 

Annex

Metoda uwzględniająca sztywność belek schodzących się w węźle

J – moment bezwładności przekroju niezarysowanego.

Sztywności sąsiednich słupów  nie mogą różnić się bardziej niż o 

10 %.

1

,

0

l

EJ

2

l

EJ

k

b

b

c

c







Długości obliczeniowe

wg PN-B-03264:2002

l

0

 = 

l

col

Długości obliczeniowe

wg PN-B-03264:2002

l

0

 = 

l

col

 z tablicy C1 lub 

C2

Wpływ smukłości słupa i rozkładu mimośrodu początkowego na nośność 

W PN 2002 przyjęto

gdzie:

I

c

– moment 

bezwładności 

przekroju 

betonu 

względem
         jego środka ciężkości,

I

s

– moment bezwładności przekroju zbrojenia 

względem

środka ciężkości przekroju betonu. 

















































s

s

0

lt

c

cm

2

0

crit

I

E

1

,

0

h

e

1

,

0

11

,

0

k

2

I

E

l

9

N

METODY OBLICZENIOWE

Wartość e

0

/h, wynikająca z mimośrodu siły, nie 

może być mniejsza niż: 

a współczynnik k

lt

, wyrażający wpływ oddziaływania 

długotrwałego, oblicza się ze wzoru: 

gdzie:

     (,t

0

) – końcowy współczynnik pełzania betonu,

     N

Sd,lt   

– siła podłużna wywołana działaniem

                    długotrwałej części obciążenia 
obliczeniowego 

05

,

0

h

/

e

f

01

,

0

h

/

l

01

,

0

50

,

0

h

/

e

0

cd

0

0













0

Sd

lt

,

Sd

lt

t

,

N

N

5

,

0

1

k









Współczynnik zwiększający mimośród oblicza się ze 
wzoru:

Mimośród początkowy siły ściskającej w stosunku 
do środka ciężkości przekroju betonu należy 
określać według wzoru:

gdzie:

e

a

– przypadkowy mimośród niezamierzony

e

e

– mimośród konstrukcyjny

crit

Sd

N

/

N

1

1







e

a

0

e

e

e





0

tot

e

e





Mimośrody konstrukcyjne oblicza się ze wzorów: 

  ▪ 

układy o węzłach nieprzesuwnych

- przy prostoliniowym wykresie momentów

co można zapisać w sposób łatwiej czytelny jako 

- przy krzywoliniowym wykresie momentów 

Sd

Sd

1

Sd

Sd

2

Sd

1

e

N

M

4

,

0

N

M

4

,

0

M

6

,

0

e







1

2

1

e

e

4

,

0

e

4

,

0

e

6

,

0

e







Sd

Sd

3

e

N

M

e 

 

Przekroje  obliczeniowe 

▪

 układy o węzłach nieprzesuwnych

Przekroje obliczeniowe

▪ 

układy o węzłach przesuwnych

Uwzględnianie wpływu smukłości 

według PN-EN

Metody obliczania:
▪ 

metoda ogólna 

– nieliniowa analiza II rzędu

   Wynikiem analizy jest bezpośrednio nośność 

obliczeniowa ( o ile przyjmie się zależności 
σ-ε z wartościami obliczeniowymi)

▪ 

metody uproszczone

        - 

metoda nominalnej sztywności

        - metoda nominalnej krzywizny

Metoda nominalnej sztywności

•

Nominalna sztywność smukłych elementów ściskanych

                         EI = K

c

 E

cd

 I

c

 + K

s

 E

s

 I

s

•

Całkowity moment obliczeniowy, zawierający moment II rzędu

                                  

M

0Ed

    –  moment I rzędu

β – współczynnik zależny od rozkładu momentów I i II rzędu
N

Ed

 – obliczeniowa wartość siły podłużnej

N

B

 – siła krytyczna ze względu na wyboczenie, obliczona przy 

sztywności nominalnej



















1

)

/N

(N

β

 

1

 

M

  

 

M

Ed

B

0Ed

Ed

W elementach wydzielonych o stałym przekroju i 
przy stałej sile podłużnej można przyjmować 
sinusoidalny rozkład momentu II rzędu, a wtedy:

                            β = π

2 

/ c

o

c

o 

 - współczynnik zależny od rozkładu 

momentów 
       I rzędu
       rozkład stały                             c

o 

 = 8

       rozkład paraboliczny                c

o 

 = 9,6

       symetryczny rozkład trójkątny  c

o 

 =12 

Racjonalnym uproszczeniem jest przyjęcie  β = 1

Metoda nominalnej krzywizny

    
Moment obliczeniowy

M

Ed

 = M

0Ed

  +  M

2

   

Moment II rzędu

M

2

 = N

Ed

  e

2

 

e

2

 = 1/r · l

02

/c

1/r – krzywizna 
 l

0

 – długość efektywna

 c – współczynnik zależny od rozkładu krzywizny,

   wynoszący 8 do 10 

         

Krzywizna

                              

1/r = K

r

 K

φ

 1/r

0

  

                     1/r

0

 = ε

yd

 /(0,45 d)

                       ε

yd

 = f

yd

 /E

s

 

K

r 

 - współczynnik zależny od wielkości siły 

podłużnej

K

φ 

 - współczynnik zależny od pełzania

     

Obliczeniowy moment według UK

M

Ed

 = max {M

02

  , M

0e

 + M

2

 , M

01

 + 0,5 M

2

 }

M

01

 = min {IM

top

I, IM

bottom

I} + e

i

 N

Ed

  

M

02

 = max {IM

top

I, IM

bottom

I} + e

i

 N

Ed

 

e

i

 = max {l

0

 /400; h/30; 20}          [mm]

M

0e

  = 0,6 M

02

 + 0,4 M

01

 ≥  0,4 M

02

M

2

  = N

Ed

 e

2

 

 

e – przemieszczenie spowodowane efektami II rzędu

0

3

6

9

12

15

0

0,5

1

1,5

2

2,5

N/bh, MPa

M/bh

2

, MPa

Beton B20
Stal RB 500 W


L1

=

L2

=0.0027

e

0

/h=0.1

l/h=40

przekrój

10

20

30

efekt e

0

e

2

 

0.0

 

2.0

 

4.0

 

6.0

 

8.0

 

10.0

 

0.00

 

0.01

 

0.02

 

0.03

 

0.04

 

0.05

 

N/bh, MPa

 

e

 

2

 

/h

 

l

 

0

 

/h=10

 

metoda analityczna

 

EC2

 

nominalna sztywność

 

EC2

 

nominalna krzywizna

 

PN 02

 

 

PN 02

EC2 metoda nominalnej 

krzywizny

obliczenia wg 
EC2

metoda 
nominalnej 
krzywizny

zaczerpnięte z 
opracowania 
autorów:

S.A. Mirza, E.A. 
Lacroix

obliczenia 
metodą MES 
z 
uwzględnieniem 

tension 
stiffeninng

zaczerpnięte z 
opracowania:

S.A. Mirza, E.A. 
Lacroix