Statystyka II -1

1

Statystyka - SUM

dr hab. inż. Marek Pawełczyk

prof. WSEiA

Statystyka II -1

2

Podstawowe pojęcia kombinatoryki (1)

Niech będzie dany zbiór n różnych elementów {a

1

, a

2

, a

3

, ... , a

n

}

Permutacją bez powtórzeń nazywamy każde uporządkowanie 

elementów tego zbioru, w którym każdy element występuje 

tylko raz. Liczba wszystkich permutacji n-elementowego zbioru 

jest równa
P

n

 = n! = 1 · 2 · 3 · ... ·n

Permutacją z powtórzeniami z n-elementowego zbioru 

nazywamy zbiór składający się z n uporządkowanych 

elementów, wśród których pewne elementy powtarzają się 

odpowiednio n

1

, n

2

, ... , n

k

 razy. Liczba takich permutacji jest 

równa:

Wariacją bez powtórzeń z n elementów po k (k  n) nazywamy 

uporządkowany podzbiór składający się z k różnych elementów 

wybranych spośród n różnych elementów.Liczba wariacji bez 

powtórzeń z n elementów po k jest równa

!

!...

!

!

2

1

,

,

,

2

1

k

n

n

n

n

n

n

n

n

P

k





)

1

)...(

2

)(

1

(

)!

(

!















k

n

n

n

n

k

n

n

V

k

n

Statystyka II -1

3

Podstawowe pojęcia kombinatoryki (2)

• Wariacje różnią się między sobą bądź elementami, bądź 

porządkiem. Jeśli pobieranie elementów do próby jest bez 

zwracania, tzn. uwzględ-nia się porządek elementów w 

próbce, to liczba V

nk

 określa liczbę próbek o liczebności k, 

pobranych z n-elementowej zbiorowości.

• Wariacją z powtórzeniami z n elementów po k nazywamy 

uporząd-kowany podzbiór, składający się z k elementów, 

różnych lub nie róż-niących się między sobą (elementy mogą 

się powtarzać), wybranych spośród n różnych elementów. 

Liczba wariacji z powtórzeniami z n po k jest równa:

i określa ilość k-elementowych próbek pobranych z n-

elementowej zbiorowości, jeśli pobieranie elementów do 

próby jest ze zwracaniem.

• Kombinacją bez powtórzeń z n elementów po k nazywamy 

podzbiór składający się z k różnych elementów wybranych 

spośród n różnych elementów bez uwzględniania ich 

porządku.

• Liczba kombinacji bez powtórzeń z n po k jest równa:

k

k

n

n

V 

)!

(

!

!

k

n

k

n

k

n

C

k

n



















Statystyka II -1

4

Podstawowe pojęcia kombinatoryki (3)

• Kombinacje można traktować jako nieuporządkowane k-

elementowe próbki z n-elementowej populacji, pobierane bez 

zwracania elemen-tów, różniące się wyłącznie składem 

elementów, a nie ich porządkiem.

• Liczba sposobów, za pomocą których zbiór n-elementowy można 

podzielić na k grup, przy czym pierwsza grupa ma r

l

 elementów, 

druga r

2

 elementów itd. oraz r

1

+r

2

+ ... +r

k

 = n, jest równa:

• Wyrażenie to można również interpretować jako liczbę 

możliwych spo-sobów rozmieszczenia n elementów w k 

komórkach, przy czym w pierwszej jest r

1

 elementów, w drugiej 

r

2

 i w k-tej  r

k

 elementów.

• Kombinacją z powtórzeniami z n elementów po k nazywamy 

zbiór składający się z k elementów, różniących się między sobą 

lub nie, wybranych spośród n różnych elementów, przy czym 

porządek, w jakim występują elementy, jest nieistotny. Liczba 

takich kombinacji wyraża się wzorem:

!

!

!

!

)

(

2

1

1

2

1

2

1

1

k

k

k

r

r

r

n

r

r

r

r

n

r

r

n

r

n







































 























































1

1

1

n

k

n

k

k

n

C

k

n

Statystyka II -1

5

Podst. pojęcia kombinatoryki (4). Algebra 

zdarzeń

• Kombinacje z powtórzeniami z n- elementów można interpretować 

jako k-elementowe próby pobierane ze zwracaniem z n-

elementowej populacji, przy czym kolejność elementów w próbie 

jest nieistotna. Kombinacje z powtórzeniami można także 

przedstawić jako rozmiesz-czenie k nierozróżnialnych elementów 

w n komórkach (szufladach) w taki sposób, że w jednej szufladzie 

może być kilka elementów.

• Niech E oznacza przestrzeń zdarzeń elementarnych. W 

zagadnieniach praktycznych przez E rozumie się zbiór wszystkich 

niepodzielnych wyników obserwacji czy doświadczenia. Przestrzeń 

E może zawierać skończoną lub nieskończoną ilość elementów.

• Jesti E zawiera skończoną lub przeliczalną liczbę elementów, 

to każdy podzbiór E nazywa się zdarzeniem losowym.

• Niech E zawiera n elementów, wówczas wszystkich zdarzeń 

losowych jest 2", w tym C

nk

; k = 0,..., n zdarzeń k-elementowych.

• Zdarzenie losowe V, nie zawierające żadnego zdarzenia 

elementarnego, nazywa się zdarzeniem niemożliwym.

• Zdarzenie losowe U zawierające wszystkie elementy przestrzeni 

zdarzeń elementarnych nazywa się zdarzeniem pewnym.

Statystyka II -1

6

Algebra zdarzeń (2)

• Jeśli E  zawiera  nieskończoną  liczbę elementów, to  

zdarzeniem losowym nazywamy każdy element borelowskiego 

ciala zdarzeń Z. Aby zdefiniować borelowskie ciało zdarzeń, 

należy określić działania na zdarzeniach. Wszystkie działania 

na zdarzeniach można definiować jak działania na zbiorach.

• Sumą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A  B zawierające 

wszystkie te zdarzenia elementarne, które należą do A lub B. 

Sumą zdarzeń A  B jest więc zdarzenie polegające na tym, że 

zajdzie przynajmniej jedno ze zdarzeń.

• Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A  B 

zawierające wszystkie te zdarzenia elementarne, które należą 

do A i do B. Iloczyn zdarzeń A 



 B polega na tym, że zajdą 

równocześnie i zdarzenie A, i zdarzenie B.

• Różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A — B, 

składające się z tych zdarzeń elementarnych, które należą do 

A i nie należą do B. A więc różnica zdarzeń A — B polega na 

tym, że zajdzie zdarzenie A i równocześnie nie zajdzie 

zdarzenie B.

Statystyka II -1

7

Algebra zdarzeń (2)

• Zdarzeniem przeciwnym do A nazywamy zdarzenie A’ zawierające 

wszystkie te zdarzenia elementarne, które nie należą do A, tzn. 

A’ = E—A.

• Zdarzenie A implikuje zdarzenie B (pociąga za sobą), jeżeli A  B, 

tzn. wszystkie zdarzenia elementarne należące do A należą również do 

B.

• Zdarzenia A i B są równoważne, czyli A = B, jeśli A  B  i B  A.
• Prawa de Morgana:

(A  B)’ = A’  B’
(A  B)’ = A’  B’

• Zdarzenia A i B wykluczają się nawzajem (wyłączają się), jeśli A  B 

= V.

• Zdarzenia A i B są zdarzeniami przeciwnymi, jeśli A  B = U i A  

B = V lub inaczej: A  A’ = U, A  A’ = V.

• Zdarzenia przeciwne są szczególnym przypadkiem tzw. zupełnego 

układu zdarzeń.

• Zdarzenia A

l

, A

2

,..., A

n

 tworzą zupełny układ zdarzeń, jeśli A

i 

 A

j

= V 

dla 

ij, i, j = l, ..., n oraz A

1 

 A

2 

 ...  A

n

 = U. 

Statystyka II -1

8

Diagramy Eulera

Statystyka II -1

9

Borelowskie ciało zdarzeń

• Borelowskie ciało zdarzeń Z jest to 

najmniejszy zbiór podzbiorów przestrzeni E 
spełniający warunki:

1° U  Z,
2° V  Z,
3° suma przeliczalnej liczby zdarzeń 

należących do Z również należy do Z,

4° różnica dowolnej pary zdarzeń należących 

do Z również należy do Z, 

5° iloczyn przeliczalnej liczby zdarzeń 

należących do Z również należy do Z.

Statystyka II -1

10

Aksjomatyczna definicja 

prawdopodobieństwa(1) 

• Jeśli E oznacza przestrzeń zdarzeń elementarnych, a Z 

borelowskie ciało zdarzeń utworzone z podzbiorów tej 

przestrzeni, to każdemu zdarzeniu losowemu AZ można 

przypisać pewną miarę P(A), zwaną prawdopodobieństwem 

zdarzenia A. Trójkę (E, Z, P) określa się mianem 

przestrzeni (lub trójki) probabilistycznej.

• Własności, jakimi powinna się charakteryzować miara P 

(A), precyzuje następujący układ pewników tworzących tzw. 

aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa:

• 1° Każdemu zdarzeniu AZ można przypisać liczbę P(A), 

zwaną prawdopodobieństwem zdarzenia A, taką, że 0  

P(A)  1.

• 2° Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa się 

jedności, tzn. P(U) = 1.

• 3° Prawdopodobieństwo sumy skończonej lub przeliczalnej 

liczby zdarzeń wykluczających się parami równa się sumie 

prawdopodo-bieństw tych zdarzeń, czyli

,     jeśli     A

i

A

j

=V,     i, j =1,2, .... 

 

















i

i

i

i

A

P

A

P



Statystyka II -1

11

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (c.d.)

Z aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa

 

wynikają następujące 

własności prawdopodobieństwa:

• Suma prawdopodobieństw zdarzenia losowego A i zdarzenia przeciw-

nego A równa się jedności. Stąd wynika, że P(A’) = 1 – P(A).

• Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się zero, P(V) = 

0.

• Jeśli zdarzenie A implikuje zdarzenie B, to prawdopodobieństwo 

zdarzenia A jest nie większe od prawdopodobieństwa zdarzenia B, czyli

• jeśli A  B, to P(A) < P(B).
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych E zawiera n jednakowo 

możliwych zdarzeń elementarnych, spośród których n

A

 sprzyja zajściu 

danego zdarzenia A, to prawdopodobieństwem P (A) zdarzenia A jest 

ułamek:

Z definicji tej można korzystać wówczas, gdy przestrzeń E zawiera 

skończoną liczbę zdarzeń elementarnych, czyli gdy n

A

 i n są skończone.

 

n

n

A

P

A



Statystyka II -1

12

Prawdopodobieństwo 

warunkowe(1)

• Niech P(A/B) oznacza prawdopodobieństwo warunkowe 

zdarzenia A, obliczone przy założeniu, że nastąpiło zdarzenie 

B. Jeśli P(B) > 0, to z definicji:

• Prawdopodobieństwo warunkowe P(A/B) można obliczyć 

również z klasycznej definicji prawdopodobieństwa 

uwzględniając, że liczba wszystkich możliwych zdarzeń zostaje 

zawężona do zdarzeń sprzyjających zajściu B, wśród których 

poszukuje się zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A.

• Warunkowe zdarzenie losowe A/B oznacza iloczyn AB, gdy 

nową przestrzenią zdarzeń elementarnych jest E

1

 = B.

• Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego 

można podać wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń:
P(AB) = P(A)·P(B/A) = P(B) P(A/B)

• Dla n zdarzeń:   P(A

1 

 A

2 

 ...  A

n

) = P(A

1

)·P(A

2

/A

1

)·P(A

3

/A

1 

A

2

)...

... P(A

n

/A

1

  A

2 

A

3

  ...  A

n-1

)

)

(

)

(

)

/

(

B

P

B

A

P

B

A

P





Statystyka II -1

13

Prawdopodobieństwo 

warunkowe (2)

• Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli zajście jednego ze 

zdarzeń nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia 
drugiego z nich, tzn. jeśli 
P(A/B) = P(A)  lub P(B) = P(B/A).

• Tak więc dla zdarzeń niezależnych:

P(AB) = P(A) · P(B) 

(*)

• Jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to A’ i B’ są również 

niezależne. 

• Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń 

znajdujemy korzystając z wzoru:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) (**)

P(A  B) obliczamy korzystając z klasycznej definicji 

prawdopodo-bieństwa lub z wzoru (**), gdy zdarzenia A i B są 
zależne, lub też z wzoru (*), gdy zdarzenia są niezależne.

• Jeśli zdarzenia A i B wykluczają się nawzajem, czyli A  B 

= V, to:
P(A  B) = P(A) + P(B)

Statystyka II -1

14

Prawdopodobieństwo 

warunkowe (3)

• Prawdopodobieństwo sumy trzech dowolnych zdarzeń 

obliczamy według wzoru  P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) 

+

– 

P(A



B) - P(B



C) - P(A



C) + P(A



B



C).

• Jeśli zdarzenia A

1

,

,

 ..., A

n

 są niezależne, to 

prawdopodobieństwo, że zajdzie przynajmniej jedno z tych 
zdarzeń, oblicza się korzystając z wzoru:

• P(A

1 

 A

2 

 ...  A

n

) = l - P(A

1

A

2 

 ... A

n

)’ = 

= l – P(A

1

’)·P(A

2

’)·...·P(A

n

’)

• Przy obliczaniu prawdopodobieństwa sumy zdarzeń jest 

istotne, czy są to zdarzenia wykluczające się czy też nie.

• Obliczając prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń należy 

uwzględnić to, czy zdarzenia są zależne czy też niezależne.

Statystyka II -1

15

Prawdopodobieństwo całkowite

• Niech zajście zdarzenia A będzie uwarunkowane zajściem 

jednego spośród n wzajemnie wykluczających się zdarzeń B

i

  

(i = l, 2 , ..., n), wyczerpujących całą przestrzeń zdarzeń 
elementarnych E, przy czym P(B

i

) > 0, wówczas

 Prawdopodobieństwa P (B

i

) noszą nazwę prawdopodobieństw 

a priori i odgrywają ważną rolę w zagadnieniach dotyczących 
podejmowania decyzji w warunkach niepewności.









n

i

i

i

B

A

P

B

P

A

P

1

)

/

(

)

(

)

(

Statystyka II -1

16

Wzór Bayesa (prawdopodobieństwo a 

posteriori)

• Załóżmy, że zdarzenie A zrealizowało się. Odpowiedź na 

pytanie, jakie będzie teraz prawdopodobieństwo każdego ze 
zdarzeń B

t

, daje wzór Bayesa, określany również mianem 

wzoru na prawdopodobieństwo 
a posteriori, czyli prawdopodobieństwo po nastąpieniu 
zdarzenia A. Wzór ten ma postać:

• Twierdzenie Bayesa określa, w jaki sposób 

prawdopodobieństwa 
a priori danych zdarzeń mogą i powinny być modyfikowane na 
podstawie dodatkowych informacji, tak, aby powstała nowa 
ocena prawdopodobieństwa zajścia tych zdarzeń w postaci 
prawdopodobieństw a posteriori.















n

i

i

i

i

i

i

i

i

B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

A

P

B

A

P

B

P

A

B

P

1

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(