ELEKTROTECHNIK
ELEKTROTECHNIK
A II
A II
Obwody rozgałęzione
Obwody rozgałęzione
prądu sinusoidalnego
prądu sinusoidalnego
prof. dr hab. inż. Tadeusz
prof. dr hab. inż. Tadeusz
Niedziela
Niedziela
ELEKTROTECHNIK
ELEKTROTECHNIK
A II
A II
Obwody rozgałęzione
Obwody rozgałęzione
prądu sinusoidalnego
prądu sinusoidalnego
prof. dr hab. inż. Tadeusz
prof. dr hab. inż. Tadeusz
Niedziela
Niedziela
Równanie macierzowe do
obliczania obwodów prądu
zmiennego metodą oczkową
Z x I
0
= E
Z
11
, Z
12
, . . . Z
1n
- macierz impedancji własnych i wzajemnych
Z
21
, Z
22
, . . . Z
2n
(macierz kwadratowa symetryczna):
Z= na głównej przekątnej występują impedancje
własne oczkowe (Z
kk
), poza główną przekątną
impedancje wzajemne (Z
kl
)
Z
n1
, Z
n2
, . . . Z
nn
Z
kk
– impedancja własna k-tego oczka jest równa sumie impedancji
wszystkich gałęzi należących do tego oczka.
Impedancje własne oczek przyjmujemy zawsze ze znakiem (+).
Z
kl
– impedancja wzajemna k-tego oczka z oczkiem l-tym jest równa impedancji
gałęzi wspólnej oczka k-tego i l-tego.
Znak impedancji wzajemnej zależy od zwrotów prądów oczkowych w
gałęzi wspólnej.
Jeżeli zwroty prądów oczkowych są zgodne to przyjmujemy znak (+),
jeżeli przeciwne to znak (-).
I
01
- macierz prądów oczkowych (macierz kolumnowa)
I
02
o liczbie wierszy n równej liczbie oczek liniowo
I
o
= niezależnych obwodów.
I
on
E
11
- macierz napięć źródłowych oczkowych (macierz kolumnowa)
E
22
o liczbie wierszy n równej liczbie oczek liniowo niezależnych obwodów.
E =
E
kk
– napięcie źródłowe k-tego oczka jest równe sumie napięć
źródłowych gałęzi nieleżących do k-tego oczka.
E
nn
Równanie macierzowe do
obliczania
obwodów prądu zmiennego
metodą
potencjałów węzłowych
Y x V = I
źr
Y
11
, Y
12
, . . . Y
1n
- macierz admitancji własnych i
wzajemnych
Y
21
, Y
22
, . . . Y
2n
(macierz kwadratowa symetryczna): na
głównej
Y = . przekątnej występują admitancje
własne węzłów
ze znakiem (+), poza główną
przekątną (-).
Y
n1
, Y
n2
, . . . Y
n
V
1
V
2
- macierz napięć węzłowych (macierz kolumnowa) o
V =
liczbie wierszy równej n ,
tzn. liczbie n węzłów liniowo niezależnych.
.
V
n
I
źr
1
I
źr
2
- macierz prądów źródłowych wypadkowych w węzłach
I
źr
=
(macierz kolumnowa) o liczbie wierszy n równej liczbie
węzłów liniowo niezależnych.
.
I
źr
n
Twierdzenie Thevenina
• Każdy dowolny aktywny obwód
liniowy można od strony wybranych
dwóch zacisków ab zastąpić
obwodem równoważnym złożonym z
połączonego szeregowo jednego
idealnego napięcia E
z
i jednej
idealnej impedancji zastępczej Z
z
.
Z
I = E
z
/ [Z
z
+ Z]
Z – impedancja odbiornika
I
Z
z
E
z
Napięcie zastępcze Ez
jest równe napięciu, jakie wystąpi na
zaciskach ab po odłączeniu odbiornika o impedancji Z , tzn w
stanie jałowym.
Impedancja zastępcza Zz
jest równa impedancji, widzianej z zacisków
ab po zwarciu wszystkich źródeł napięcia i rozwarciu wszystkich źródeł
prądu.
Twierdzenie Nortona
• Każdy dowolny aktywny obwód
liniowy można od strony wybranych
dwóch zacisków ab zastąpić
obwodem równoważnym złożonym z
połączonego równolegle jednego
idealnego źródła prądu I
żr
oraz jednej
admitancji zastępczej Y
z
.
Y
z
= 1 / Z
z
I
źr
= E
z
/ Z
z
Y – admitancja odbiornika
I = {Y / [Y + Y
z
]} I
źr
Y
z
Y
I
źr
I
Prąd źródłowy zastępczego źródła prądu I
źr
jest równy
prądowi
zwarcia I
z
zacisków ab, do których dołączony jest odbiornik.
Admitancja zastępcza Y
z
jest równa admitancji widzianej z zacisków ab
po zwarciu wszystkich źródeł napięcia i rozwarcia wszystkich źródeł prądu.
METODA KLASYCZNA
• Zadanie 1
• Oblicz wartości symboliczne prądów gałęziowych w
przedstawionym obwodzie prądu sinusoidalnego stosując metodę
klasyczną
• ( równań Kirchhoffa).
1
2
3
4
U
I
12
I
13
I
23
I
24
R
L
L
C
C
I
34
I
3
1
2
3
1
2
1
2
3
4
Ustalamy liczbę węzłów w = 4.
Ustalamy liczbę niezależnych węzłów m = w – 1 = 4 – 1 = 3.
Wniosek
. Możemy napisać 3 niezależne równania
zgodnie z I prawem Kirchhoffa dla wybranych węzłów (np. 1, 2, 3).
Ustalamy liczbę gałęzi g = 6.
Ustalamy liczbę oczek niezależnych.
n = g – m = 6 – 3 = 3
Wniosek
. Możemy napisać 3 niezależne równania
zgodnie z II prawem Kirchhoffa dla wybranych 3 oczek.
Z I p. Kirchhoffa
Dla 1 węzła I = I
12
+ I
13
-I + I
12
+ I
13
= 0
Dla 2 węzła I
12
= I
23
+ I
24
=> -I
12
+ I
23
+I
24
= 0
Dla 3 węzła I
23
+ I
13
= I
34
-I
13
– I
23
+ I
34
= 0
Z II p. Kirchhoffa
Dla 1 oczka I
12
x Z
L
+ I
24
x Z
L
= U
Dla 2 oczka I
23
x Z
C
+ I
34
x Z
C
– I
24
x Z
L
= 0
Dla 3 oczka I
13
x Z
R
– I
23
x Z
C
– I
12
x Z
L
= 0
Grupujemy odpowiednio 6 równań
-I + I
12
+ I
13
+ 0 x I
23
+ 0 x I
24
+ 0 x I
34
= 0
0 x I - I
12
+ 0 x I
13
+ I
23
+ I
24
+ 0 x I
34
= 0
0 x I + 0 x I
12
- I
13
- I
23
+ 0 x I
24
+ I
34
= 0
0 x I + Z
L
I
12
+ 0 x I
13
+ 0 x I
23
+ Z
L
x I
24
+ 0 x I
34
= U
0 x I + 0 x I
12
+ 0 x I
13
+ Z
C
x I
23
- Z
L
x I
24
+ Z
C
x I
34
= 0
0 x I - Z
L
I
12
+ Z
R
I
13
- Z
C
x I
23
+ 0 x I
24
+ 0 x I
34
= 0
stąd równanie macierzowe
-1 +1 +1 0 0 0 I 0
0 -1 0 1 1 0 I
12
0
0 0 -1 -1 0 1 I
13
= 0
0 Z
L
0 0 Z
L
0 I
23
U
0 0 0 Z
C
– Z
L
Z
C
I
24
0
0 - Z
L
Z
R
– Z
C
0 0 I
34
0
Rozwiązywanie układu 6 równań liniowych z 6-cioma niewiadomymi
dla prądów gałęziowych uzyskamy korzystając z
wzorów Cramera
.
Jednak przy 6 niewiadomych obliczenia są dość pracochłonne.
Pierwsze prawo Kirhoffa
Dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma prądów dopływających do węzła
jest równa sumie prądów odpływających od węzła.
I
d
= I
odp
Drugie prawo Kirhoffa
W dowolnym oczku obwodu elektrycznego suma algebraiczna napięć odbiornikowych
oraz suma algebraiczna napięć źródłowych jest równa zero.
Z I + E = 0
Zadanie 2
Oblicz wartość prądu I płynącego przez odbiornik o impedancji Z w obwodzie
prądu sinusoidalnego stosując
twierdzenie Thevenina oraz zasadę
superpozycji
do obliczania napięcia stanu jałowego Ez
I
E
1
Z
2
Z
1
E
2
I
źr
Z
Dane: E1 = 10V ,
E2 = j20V
Z1 = 5 + j5 ,
Z2 = 5 –j5 ,
Z = 5
Iźr = 4A
I = E
z
/ [Z
z
+ Z]
E
z
Z
z
Z
w
Z
2
Z
1
Z
I
1 / Z
z
= 1 / Z
1
+ 1 / Z
2
= [Z
2
+ Z
1
] / Z
1
Z
2
=
[(5 + j5) + (5 - j5)] / [(5 + j5) x (5 - j5)]
=
10 / (25 + 25) = 10 / 50
Z
z
= 5 []
Do wyznaczenia prądu I zastosujemy
twierdzenie Thevenina
Napięcie zastępcze Ez, napięcie stanu jałowego, obliczymy korzystając z
zasady superpozycji.
+
1
Z
1
E
2
Z
2
E
1
I
źr
E
z
E
1
Z
2
I
0
’
Z
1
E
2
Z
1
I
0
”
E
z
’’
I
źr
Z
2
E
z
’
A
B
E
z
= E
z
’ + E
z
”
Dla schematu
A
:
a)
I
o
’ x Z
1
+ E
2
+ I
o
’ x Z
2
– E
1
= 0
I
0
’(Z
1
+ Z
2
) = - E
2
+ E
1
I
o
‘= [E
1
- E
2
] / [Z
1
+ Z
2
]
= [10 – j20] / {[5+j5] [5-j5]} = [10 - j20] /10
I
0
’ = 1 – 2j [A]
b)
-E
z
’ = E
2
’ + I
0
’ x Z
2
= j20 + (1 - j2) (5 - j5)=
= j20 + 5 – j5 – 10j – 10 = -5 + j5
-
E
z
’ = -5 + j5
czyli: E
z
’ = 5 – j5 [V]
Dla schematu
B
Z
I prawa Kirchoffa
a)
I
x
+ I
źr
= I
0
”
I
x
= I
0
” – I
źr
b)
I
x
Z
2
+ I
0
” Z
1
= 0
(I
0
” – I
źr
) Z
2
+ I
0
” x Z
1
= 0
I
0
” (E
z
Z
2
+ Z
1
) = I
źr
x Z
2
I
0
” = [I
źr
x Z
2
] / [Z
2
+ Z
1
]
=
{ 4 x [5 – j5]} / {[5 – j5] + [5 + j5]} =
= {20 –j20} / 10 = 2 – j2
I
0
” = 2 – 2j [A]
c)
E
z
” = I
0
” x Z
1
= (2 – 2j)(5 + j5) =
= 10 + 10j – 10j + 10 = 20 [V]
E
z
”= 20 [V]
E
z
= E
z
’ + E
z
”
= 5 – j5 + 20 = 25 – j5
[V]
I = E
z
/ [Z
z
+ Z]
= [25 –j5] / [5 + 5] =
[25 – j5] / 10 = 2,5 –j 0,5
I
z
= 2,5 – j0,5 [A]
Zadanie 3
Oblicz wartość prądu I płynącego przez odbiornik o impedancji Z w obwodzie prądu
sinusoidalnego stosując
twierdzenie Nortona oraz zasadę superpozycji
do
obliczania prądu zwarcia Iz.
Z
1
E
2
I
żr
I
Z
E
1
Z
2
Dane :E
1
= 10 [V],
E
2
= j20 [V]
Z
1
= 5 + j5 [],
Z
2
= 5 - j5 [],
Z = 5 []
I
źr
= 4 [A]
Do wyznaczenia prądu I zastosujemy
twierdzenie Nortona
.
Y
Y
z
I
źr
I = {Y / [Y + Y
z
]} I
źr
I
źr
= I
z
Obliczamy admitację zastępczą Y
z
Y
1
Y
z
Y
2
1
1 5 – j5
5 – j5 5 – j5
Z
1
5 + j5 (5 + j5)(5 – j5) 25 + 25 50
=0,1 – j0,1 [S]
1
1 5 + j5 5 + j5
Z
2
5 - j5 (5 - j5)(5 + j5) 50
Y
z
= Y
1
+ Y
2
= 0,1 – j0,1 + 0,1 + j0,1 = 0,2 [S]
= 0,1 + j0,1 [S]
Y
2
=
=
=
=
=
=
=
=
Y
1
=
Obliczamy wartości prądu zwarcia Iz korzystając z
zasady superpozycji.
a) b) c)
+
+
I
źr
E
1
Z
1
E
2
I
z
Z
2
Z
1
Z
2
I
z
’
E
2
Z
2
E
1
I
z
’’
Z
1
I
źr
Z
2
I
z
’’’
Z
1
Dla obwodu
a)
E
2
+ I
z
’ Z
2
= 0
I
z
’ = - E
2
/ Z
2
= -j20 / (5 –j5)
= -j20(5 +j5) / {[(5 –j5) (5 +j5)]}
= 2 – j2 [A]
Dla obwodu
b)
E
1
+ I
z
” Z
1
= 0
- E
1
-10 -10(5 – j5)
I
z
” =
Z
1
5 + j5 50
=
(-1 + j) [A]
=
=
Dla obwodu
c)
I
z
”’ = I
źr
= 4[A]
Prąd zwarcia I
z
.
I
z
= I
z
’ + I
z
” + I
z
‘’’
= (2 – 2j) + (-1 + j) + 4 = (5 – j) [A]
Prąd ten przepływa przez gałąź ab w przypadku zwarcia zacisków ab, natomiast
admitancja Y
z
jest admitancją zastępczą sieci pasywnej widzianej z zacisków
ab przy przerwie w gałązi ab.
Prąd Iźr zastępczego źródła prądu jest zatem prądem zwarcia gałęzi ab.
Mając I
z
oraz Y
z
obliczamy prąd I w odbiorniku o admitancji
Y = 1 / Z
I = {Z
z
/ ( Z
z
+ Z)} I
z
= {Y / (Y + Y
z
)} I
z
Obliczamy admitancję zastępczą Yz.
Y
1
Y
z
Y
2
1
1
5 – j5
Z
1
5 + j5 (5 + j5)(5 – j5)
5 – j5 5 – j5
25 + 25 50
=
=
=
=
=
=
Y
1
0,1 – j0,1 [S]
1
1 5 + j5
Z
2
5 - j5 (5 - j5)(5 + j5)
5 + j5
50
= 0,1 + j0,1 [S]
Y
2
=
=
=
=
Y
z
= Y
1
+ Y
2
= (0,1 – j0,1) + (0,1 + j0,1) = 0,2 [S]
Y = 1 / Z
= 1/5 = 0,2 [S]
Stąd
I = {Y / [Y + Y
z
]} I
z
= {0,2 / (0,2 + 0,2)} (5 + j) = 0,5 (5 + j) =
= 2,5 + j0,5 [A]
Zadanie 4
Oblicz wartość prądu I płynącego przez amperomierz stosując
twierdzenie Thevenina
.
Z
Z
1
Z
3
Z
4
Z
2
I
a
b
d
c
Dane:
I
1
I
2
Z
2
Z
4
U
4
I
Z
1
Z
3
U
3
Z
3
= 1 – j
U
U = 10V
Z
4
= 2 + j2
Z
2
= 2 – j2
Z
1
= 1 + j
Napięcie zastępcze E
z
obliczamy jako napięcie na zaciskach ab w stanie jałowym,
tzn przy odłączonym amperomierzu
U
10 10 10(3 + j1)
10(3 + j1)
Z
1
+ Z
2
(1 + j)(2 – j2) 3 – j1 (3 – j1)(3 + j1) 10
I
1
=
=
= 3 + j1 =
=
=
=
= (3 + j1) [A]
)
1
3
(
)
1
3
(
10
10
)
1
3
(
)
1
3
(
)
1
3
(
10
1
3
10
)
2
2
(
)
1
(
10
U
1
3
2
j
j
j
j
j
j
j
j
Z
Z
[A]
)
4
2
(
)
1
3
3
(
)
3
(
)
1
(
1
1
j
j
j
j
j
Z
U
)
4
2
(
1
j
U
)
4
2
(
)
1
1
3
3
(
)
1
(
)
1
3
(
3
2
3
j
j
j
j
j
Z
U
)
4
2
(
3
j
U
0
3
1
Z
E
U
U
3
1
U
U
E
Z
j
j
j
8
)
4
2
(
)
4
2
(
V
j
E
Z
8
[v]
[v]
[A]
Obliczamy impedancję zastępczą Zz widzianą z zacisków ab przy rozwarciu
źródła zasilania
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
4
3
4
3
4
3
2
1
1
1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
j
j
j
j
j
j
j
j
Z
Z
Z
Z
Z
Z
3
4
3
2
2
2
2
)
2
2
(
)
1
(
)
2
2
)(
1
(
2
1
2
1
1
j
j
j
j
j
j
j
j
Z
Z
Z
Z
Z
Z
3
4
3
2
2
2
2
)
2
2
(
)
1
(
)
2
2
)(
1
(
4
3
4
3
2
4
,
2
10
6
4
1
9
3
3
4
3
4
3
4
2
1
j
j
j
j
Z
Z
Z
Z
Z
z
j
j
Z
E
Z
33
,
3
4
,
2
8
2
[A]
A
A
33
,
3
KONIEC .
KONIEC .