CIĄG ARYTMETYCZNY
CIĄG ARYTMETYCZNY
Pojęcie ciągu arytmeytcznego
• Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczbowy, w
którym różnica między danym wyrazem, a
wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym
jest stała i równa r.
• Wzór ogólny:
• a
n
=a
1
+(n-1)r
Suma n-początkowych
wyrazów ciągu
arytmetycznego
• Suma n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego (a
n
) wyraża się wzorem:
Monotoniczność ciągu
• r > 0 to ciąg jest rosnący
• r < 0 to ciąg jest malejący
• r = 0 to ciag jest stały
Zadania
• Zad.1
Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu:
a
n
=5
n
-3
a
1
=5*1-3=2
a
2
=5*2-3=7
a
3
=5*3-3=12
a
4
=5*4-3=17
a
5
= 5*5-3=22
• Zad.2
W ciągu arytmetycznym a
1
= -5 i r=6.
Oblicz: a
7
i a
100
.
a
7
=a
1
+6r= -5+36=31
a
100
=a
1
+99r= -5+594=589
• Zad.3
Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych?
100,101,102,103…,999 – c.a.
a
1
=100
r=1
a
n
=999
n=?
a
n
=a
1
+(n-1)r
999=100+(n-1)*1
999=99+n
n=900
Odp:Tych liczb jest 900.
• Zad.4
Wyznacz różnicę r ciągu arytmetycznego
mając dane a
1
= 7 i a
29
= 119.
Rozwiązanie:
a
n
= a
1
+ (n-1)r
a
29
= a
1
+ (29-1)r
a
1
= 7 i a
29
= 119, więc
119 = 7 + 28r
112 = 28r /:28
r = 4
Odp. Różnica ciągu wynosi 4.
• Zad.5
Między liczby 4 i 22 wstaw pięć liczb tak, aby
wraz
z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.
Wstawione liczby nazwijmy a, b, c, d,e.
a = 4 + r
b = a + r = 4 +2r
c = b + r = 4 +3r
d = c + r = 4 +4r
e = d + r = 4 +5r
22 = e + r = 4 +6r
22 = 4 + 6r
22 – 4 =6r
18 = 6r /:6
r = 3
a =4 + r = 4 +3 =7
b = 4 +2r = 4 + 6 = 10
c = 4 + 3r = 4 +9 =13
d = 4 + 4r = 4 + 12 = 16
e = 4 + 5r = 4 +15 = 19.
Odp. Są to liczby 7, 10, 13, 16 i 19.
• Zad.6
Sprawdź czy ciąg a
n
= 3
n
– 3 jest
ciągiem
arytmetycznym.
Odp: Jest to ciąg arytmetyczny
• Zad.7
Wyznacz n-ty wyraz ciągu
arytmetycznego.
a
1
=10
n=12
r=15
a
n
=a
1
+(n-1)r
a
12
=10+(12-1)*15
a
12
=10+11*15
a
12
=175
Odp: a
12
=175
• Zad.8
Oblicz n jeśli:
S
n
=30
a
1
=12
a
n
= -6
60=6n/:6
n=10
Odp: n=10.
• Zad.9
Ile liczb trzeba wstawić między liczby
11 i
80, aby z nich otrzymać ciąg
arytmetyczny,
którego suma wynosi 2002?
Sn=2002
a1=11
an=80
n=?
4004=91n/:91
n=44
44-2=42
Odp: trzeba wstawić 42 liczby.
• Zad.10
Suma częściowa ciągu arytmetycznego
równa się 4
n2
-2
n
. Oblicz a
1
, a
20
i r.
S
n
= 4
n2
-2
n
a
1
=?
a
20
=?
r=?
s1= 4*12-2*1=2
a
1
=2
s
2
= a
1
+a
2
S
2
=4*2
2
-2*2=12
a
1
+a
2
=12
2+a
2
=12
a
2
=10
r=8
a
20
=a
1
+19r
a
20
=2+19*8=2+152=154
Odp:a
1
=2, r=8, a
20
=154.
Bibliografia
•
http://www.maximus.pl/bw-ciag_arytmetyc
zny-127.html
;
•
http://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_a
rytmetyczny
;
•
http://www.wsipnet.pl/oip/msl/cz2/u/wc.htm
l
;
•
http://www.interklasa.pl/portal/dokumenty
/tab_mat/ciagi/ciagarytmetyczny.html
;
Koniec