STATYKA I DYNAMIKA 

PŁYNÓW

Nazwa 

płyny

  obejmuje  substancje 

nie  wykazujące 

sprężystości kształtu:

 

ciecze i gazy

. 

W  przypadku  brył,  a  więc  ciał  o  jednoznacznie 
określonych  rozmiarach  i  kształcie,  stosowaliśmy 
mechanikę bryły sztywnej.        

Opis  mechaniki  płynów  musi  być  sformułowany  w 
inny  sposób,  ze  względu  na  to,  że  nie  mają  one 
zdefiniowanego  kształtu.  Oczywiście  również  w 
mechanice  płynów  będziemy  korzystać  z  zasad 
dynamiki 

Newtona, 

chociaż 

w 

odpowiednio 

zmodyfikowanej postaci. 

Tradycyjnie  odpowiednie  działy  fizyki  noszą  nazwę 

hydrostatyka

  (mechanika  płynów  nieruchomych 

względem 

przyjętego 

układu 

odniesienia) 

i 

hydrodynamika

  (mechanika  płynów  poruszających 

się w danym układzie odniesienia).

Ciśnienie i gęstość

Siła  powierzchniowa 

działająca  na  płyn  musi  być 

zawsze  prostopadła  do  jego  powierzchni  płynu, 
podczas  gdy  w  przypadku  bryły  może  mieć  dowolny 
kierunek. 

Płyn  w  spoczynku  nie  równoważy  sił  stycznych 
(warstwy płynu ślizgałyby się po sobie), a więc może 
zmieniać kształt. 

Zatem  siłę  działającą  na  płyn  będziemy  opisywać  za 
pomocą  ciśnienia  p.  Jest  to,  jak  pamiętamy,  wartość 
siły 

prostopadłej 

działającej 

na 

jednostkę 

powierzchni. 

Ciśnienie działa na sztywne ścianki naczynia, a także 
na  dowolne  przekroje  płynów 

prostopadle

  do  tych 

ścianek i przekrojów w każdym punkcie. 

Ciśnienie

  jest  wielkością  skalarną  wyrażaną  w 

układzie SI w 

paskalach

 (Pa) = (N/m

2

). 

Jednostki  pozaukładowe  to 

bar

  (atmosfera  fizyczna  = 

10

5

 Pa), 

atm

 = 101325 Pa,    

mm Hg

 (760 mm Hg = 1 

atm).

Płyn pod ciśnieniem działa siłą na każdą powierzchnię 
będącą z nim w kontakcie. 

Rozważmy zamkniętą powierzchnię zawierającą płyn i 
wprowadźmy  wektorowy  element  powierzchni  dS  = 
ndS,  podobnie,  jak  to  robiliśmy  w  przypadku  pola 
grawitacyjnego. 

Siła F wywierana przez płyn na ten element 
powierzchni wynosi:

 

F = pS

 

Gęstość  

,  jak  wiemy,  jest  stosunkiem  masy  do 

objętości  płynu  m/V  (kg/m

3

).  Zależy  ona  od 

temperatury 

i 

ciśnienia 

oraz 

właściwości 

materiałowych płynu.

Ponieważ F i S mają ten sam kierunek to:

 p = F/S

 

Materiał 

 (kg/m

3

) 

przestrzeń międzygwiezdna 

najlepsza próżnia laboratoryjna 
powietrze (1 atm 0  C) 
powietrze (50 atm 0  C) 

Ziemia: 

wartość średnia 

 

 

 

rdzeń 

 

 

 

skorupa 

Białe karły 

jądro uranu 

10

-18

 - 10

-21

 

10

-17 

1.3 

6.5 

5.52·10

3

 

9.5·10

3 

2.8·10

3

 

10

8

 - 10

15

 

10

17

 

 

Hydrostatyczne zmiany ciśnienia

y

x

( p   +   d p )   S

 

p   S

 

Gdy  płyn  znajduje  się 
w 

równowadze, 

to 

każda 

część 

jego 

objętości 

jest 

w 

równowadze. 

Rozpatrzmy 

cienką 

warstwę 

płynu 

o 

grubości  dy  i  polu 
powierzchni 

S, 

znajdującą 

się 

w 

odległości 

y 

od 

poziomu odniesienia. 

Masa  takiego  elementu  wynosi    Sdy,  a  jego  ciężar 
gSdy.  Siły  działające  na  warstwę  są  w  każdym 
punkcie  prostopadłe  do  jej  powierzchni.  Zatem  siły 
równoległe do płaszczyzny warstwy się równoważą. 

Natomiast  siły  działające  prostopadle  do  warstwy  są 
wywoływane  nie  tylko  przez  ciśnienie  płynu,  ale  też 
przez 

jego 

ciężar. 

Element 

płynu 

nie 

jest 

przyspieszany,  więc  wypadkowa  siła  działająca  nań 
musi  być  zerem.  Warunek  równowagi  warstwy 
przyjmuje zatem postać:

pS = (p+dp)S + 
gSdy

ρg

dy

dp





Ciśnienie  zmienia  się  więc  ze  zmianą  wysokości.  Gdy 
wysokość  rośnie,  to  ciśnienie  maleje.  Powodem  jest 
ciężar warstwy  płynu  leżącej  pomiędzy punktami, dla 
których mierzymy różnicę ciśnień.

Dla  cieczy    jest  stałe  (ciecze  są  praktycznie 
nieściśliwe), a zmiany g z wysokością na ogół można 
pominąć,  więc  dla  cieczy  jednorodnej  powyższe 
równanie przyjmuje postać:

 (p

2

 - p

1

) = -g(y

2

 - y

1

)

Swobodna  powierzchnia  cieczy  stanowi  naturalny 
poziom odniesienia, oznaczony tu jako y

2

, dla którego 

ciśnienie  wynosi  p

2  i 

jest  równe  atmosferycznemu  p

0

. 

Położenie  pewnego  poziomu  wewnątrz  cieczy 
oznaczyliśmy  przez  y

1

.  Niech  ciśnienie  na  tym 

poziomie wynosi p, zatem: 

p

0

 - p = -g(y

2

 - y

1

)

Ponieważ  y

2

  -  y

1

  jest  głębokością  h  poniżej  poziomu 

cieczy, to:

 

 p = p

0

 +gh

 

Ciśnienie rośnie wraz z głębokością i jest jednakowe 
dla punktów leżących na tej samej głębokości.

Dla  gazów    jest  małe  i  różnica  ciśnień  w  dwóch 
punktach  jest  zazwyczaj  do  pominięcia,  dlatego 
można  przyjąć,  że  ciśnienie  gazu  w  naczyniu  jest 
wszędzie jednakowe. 

Nie  jest  to  jednak  prawdą  dla  znacznej  różnicy 
wysokości. Np. na wysokości 6 km nad powierzchnia 
Ziemi  ciśnienie  wynosi  ok.  5x10

4

  Pa,  dla  porównania 

w  morzu  na  głębokości  6  km  ciśnienie  wynosi  6x10

7

 

Pa.

Prędkość nieruchomego płynu jest równa zeru v = 0. 
Założymy  ponadto,  że  omawiane  zjawiska  są 
niezależne  od  czasu,  co  umożliwia  pominięcie 
przenoszenia ciepła :

0

t

/

F







gdzie  F  jest  dowolnym  parametrem  opisującym  ruch 
płynu.  Podstawowe  równanie

 

opisujące  parametr  F 

płynu w stanie równowagi ma postać:

p

grad

z)

y,

(x,

ρ



F

z

p

ρF

;

y

p

ρF

;

x

p

ρF

z

y

x



















a w postaci 
skalarnej

Równanie 

równowagi 

płynu 

wyprowadzimy, 

rozpatrując różniczkowy sześcian dx dy dz. 

dz

dy

dx

x

p

p



















Rozpatrzmy  równowagę 
sił 

działających 

w 

kierunku  osi  x.  Siła 
powierzchniowa, 
będąca 

iloczynem 

ciśnienia  i  powierzchni 
na odcinku dx rośnie od 
wielkości p dydz do

Te  siły  są  zwrócone  ku 
powierzchni

Element  płynu  dV  =  dx  dy  dz    jest  w  równowadze, 
jeżeli rzuty sił na osie układu są równe zeru, zatem dla 
kierunków  x,  y,  z  możemy  odpowiednio  napisać 
wyrażenia:

dz

dy

x

p

p

dx

dy

p

dm

F

x























dz

dx

y

p

p

dz

dx

p

dm

F

y























dy

dx

z

p

p

dy

dx

p

dm

F

z























Masa elementu płynnego o objętości dV wynosi  

dm = 

 dx dy dz

dodając  stronami  trzy  składowe  dostajemy:





dp

dz

z

p

dy

y

p

dx

x

p

dz

F

dy

F

dx

F

ρ

z

y

x

























środkowe  wyrażenie  jest  różniczką  zupełną  ciśnienia 
dp,  co  możemy  również  zapisać  w  postaci  iloczynu 
skalarnego:









p

grad

dz

dy

dx

z

p

y

p

x

p

dz

dy

dx

dp

k

j

i

k

j

i

k

j

i











































Ponieważ    

F = F

x

 +F

y

 + 

F

z

, to: 

p

grad 



F

Ten wynik słownie wyraża 

prawo równowagi Eulera

:

Jeżeli  na  ciecz  znajdującą  się  w  spoczynku 
działają  siły  powierzchniowe  i  masowe,  to 
wielkość  ciśnienia  wywieranego  na  element 
powierzchniowy 

umieszczony 

w 

dowolnym 

punkcie  cieczy  nie  zależy  od  orientacji  tego 
elementu.

Siły  powierzchniowe

  występują  na  powierzchniach 

ograniczających 

ciecz. 

Ich 

wielkość 

jest 

proporcjonalna  do  elementu  pola  powierzchni  i  nie 
zależy  od  masy  cieczy.  Wektor  każdej  siły 
powierzchniowej  można  rozłożyć  na  dwie  składowe: 
prostopadłą  do  elementu  powierzchni  –  parcie  P  i 
styczną do powierzchni – tarcie T. 

Stosunek siły parcia (P) do powierzchni nacisku (S) to 

ciśnienie

 p, a stosunek  T/S – 

naprężenie styczne

. 

Siły  masowe  są  związane  z  masą  cieczy,  np.  ciężar 
ciała, siła bezwładności czy siła odśrodkowa.

W przypadku Ziemi rozważany przez nas wektor F ma 
składowe:

F

x

 = 0,     F

y

 = 0,     F

z

 = -g

Jesli na płyn nie działają żadne siły masowe, czyli 

F = 

0, 

to  na  podstawie  równania  równowagi  Eulera 

otrzymujemy 

prawo Pascala

:

grad p = 0

 

Jeżeli  siły  masowe  działające  na  płyn  są 
pomijalnie małe (mogą działać siły powierzchniowe), 
to  płyn  pozostaje  w  spoczynku,  a  ciśnienie 
hydrostatyczne jest stałe w całej masie płynu.

Parcie hydrostatyczne

Parcie hydrostatyczne jest siłą powierzchniową, z jaką 
płyn  będący  w  spoczynku  oddziałuje  prostopadle  na 
powierzchnię S ściany naczynia lub ciała zanurzonego 
w  płynie  lub  na  inny  płyn.  W  przypadku,  gdy  działa 
jedynie siła ciężkości: 

p = dp/ds

gdzie p nazywamy 

nadciśnieniem.

Ponieważ

to





dS

h

ρg

p

ρg

dS

ρgh

p

dS

p

dp

1

1

2























ρgh

p

p

1

2





Całkując to równanie po powierzchni S dostajemy:





S

ρgh

p

S

p

1

2





Zauważmy,  że  siła  parcia  P  działająca  na  dno 
zbiornika 

nie zależy od kształtu zbiornika

. Dlatego 

w zbiornikach ciśnieniowych dno jest wklęsłe (patrząc 
z  zewnątrz),  co  zwiększa  wytrzymałość  mechaniczną 
zbiornika. 

Zależność parcia od powierzchni w przypadku stałego 
ciśnienia jest podstawą działania pras hydraulicznych.

Siły wyporu i równowaga ciał pływających

Rozpatrując  parcie  działające  na  ciało  zanurzone  w 
płynie, łatwo stwierdzić, że:

Siły  poziome

  znoszą  się  wzajemnie  (P

h

  =  0)  wobec 

równości  poziomych  składowych  parcia  z  każdej 
strony bryły,

Siły  pionowe

  parcia  działają  ku  górze,  a  składowa 

parcia  pionowego  jest  proporcjonalna  do  objętości 
zanurzonej części ciała V.

Siła 

wypadkowa, 

zwana 

siłą 

wyporu 

hydrostatycznego

  (skierowana  pionowo  w  górę  i 

zaczepiona  w  środku  wyporu,  czyli  w  geometrycznym 
środku zanurzonej części ciała), jest równa iloczynowi 
objętości zanurzonej części ciała i ciężaru właściwego 
cieczy, w której to ciało jest zanurzone  czyli

g

Vρ

Siła  wyporu  hydrostatycznego  jest  siłą,  z  jaką  ciecz 
działa  na  ciało  w  niej  zanurzone,  co  opisuje 

prawo 

Archimedesa:

Wersja pierwotna

: Ciało zanurzone w cieczy traci 

pozornie tyle na wadze, ile waży ciecz wyparta 
przez to ciało.

Wersja współczesna

: Na ciało zanurzone w cieczy 

działa siła wyporu skierowana pionowo w górę 
i  liczbowo  równa  ciężarowi  cieczy  wypartej 
przez to ciało.

Stateczność 

ciał pływających tylko pośrednio zależy 

od  wzajemnego  położenia  środków  ciężkości  i 
wyporu. Ciało częściowo zanurzone może mieć trwałą 
stateczność  nawet  w  przypadkach,  gdy  środek 
ciężkości znajduje się ponad środkiem wyporu. Miarą 
stateczności  ciała  pływającego  jest  tzw. 

wysokość 

metacentryczna

 m. 

Metacentrum

 

(M)

 

jest  punktem  przecięcia  osi 

pływania  z  kierunkiem  siły  wyporu,  po  małym 
wychyleniu ciała ze stanu równowagi.

W 

przypadku 

ciała 

całkowicie 

zanurzonego 

metacentrum  pokrywa  się  ze  środkiem  wyporu,  a 
więc  o  równowadze  takiego  ciała  decyduje  jedynie 
wzajemne położenie środków: wyporu B i ciężkości G.

Dla  ciała  częściowo  zanurzonego  po  wychyleniu 
następuje  zmiana  kształtu  bryły  wyporu,  a  więc  jej 
środek wyporu ulega przesunięciu. 

Metacentrum  leży  powyżej  środka  wyporu  a  jego 
położenie  zależy  od  kształtu  i  wielkości  bryły. 
Odległość  środka  ciężkości  G  do  metacentrum  M 
nazywa  się 

wysokością  metacentryczną  m

,  a  jej 

znak decyduje o stanie równowagi ciała pływającego:

m > 0 - równowaga stała (stabilna)

m = 0 - równowaga obojętna

m < 0 - równowaga chwiejna

Wysokość  metacentryczna  m,  stanowiąca  kryterium 
stateczności  nie  zależy  od  kąta  pochylenia    lecz  od 
kształtu  i  wielkości  płaszczyzny  pływania,  położenia 
środka  ciężkości  i  środka  wyporu  oraz  objętości 
części zanurzonej ciała pływającego.