Mechanika relatywistyczna
Mechanika relatywistyczna
Zdarzenie w czasie i przestrzeni (klasycznie)
czas
p
o
ło
że
n
ie
• wspólny układ odniesienia
• spotkanie w tym samym miejscu, w tym samym czasie
problem posłańca – list do
podróżującego
• codziennie wysyłam list, T
wys
.
• jak często dostaje go adresat?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T
wys
cz
as
, t
/T
w
ys
położenie, x
x=
ct
x=
vt
t
2
T
otrz
c
vT
T
T
otrz
wys
otrz
c
v
c
v
T
T
wys
otrz
wys
otrz
1
1
problem posłańca – list od
podróżującego
• odjeżdżający podóźny
codziennie wysyła list, T
wys
.
• jak często otrzymuje go
adresat?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T
otrz
cz
as
, t
/T
w
ys
położenie, x
x=
-ct
x=
vt
t
2
T
wys
wys
wys
otrz
T
c
vT
T
c
v
c
v
T
T
wys
otrz
wys
otrz
1
1
problem posłańca – list od
podróżującego
• powracający podóźny codziennie
wysyła list, T
wys
.
• jak często otrzymuje go adresat?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T
otrz
cz
as
, t
/T
w
ys
położenie, x
x=
-ct
x=
-v
t
T
wys
c
vT
T
T
wys
wys
otrz
c
v
c
v
T
T
wys
otrz
wys
otrz
1
1
problem posłańca – 4 przypadki
• powracający podróżny
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
1
2
3
1/(1-v/c)
1+v/c
1/(1+v/c)
st
os
un
ek
o
kr
es
ów
,
T
o
tr
z
/T
w
ys
stosunek prdkości, v/c
1-v/c
c
v
T
T
wys
otrz
1
c
v
T
T
wys
otrz
1
• list do odjeżdżającego.
• odjeżdżający podróżny
c
v
T
T
wys
otrz
1
• list do wracającego.
c
v
T
T
wys
otrz
1
Efekt Dopplera fali akustycznej – 4
przypadki
• przybliżający się odbiorca
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
1
2
3
1/(1-v/c)
1+v/c
1/(1+v/c)
st
os
un
ek
o
kr
es
ów
,
T
o
tr
z
/T
w
ys
stosunek prdkości, v/c
1-v/c
c
v
wys
odb
1
c
v
wys
odb
1
• oddalające się źródło.
• oddalający odbiorca
c
v
wys
odb
1
• przybliżające się źródło.
c
v
wys
odb
1
Jest problem czaso-przestrzeni!
• gdy sygnał rozchodzi się w ośrodku (posłaniec,
fala akustyczna)
– różne poczucie czasu w układach poruszających się,
– niezgodność zegarów?
• gdy sygnał świetlny, DOŚWIADCZENIE:
– światło rozchodzi się w próżni!!!
– szybkość światła w każdym układzie jest taka sama!!!
• co musimy zrobić
– jeszcze raz znaleźć czynnik skalujący czas pamiętając,
że nadawca i odbiorca są sobie równoważni, ważna jest
jedynie ich wzajemna prędkość.
– szukać nowego wzoru transformującego
r,v,t
Wykres Minkowskiego, czasoprzestrzeń
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
cz
a
s,
c
t
położenie, x
lin
ia
św
iat
a
x=
ct
lin
ia
ś
w
ia
ta
pu
nk
tu
m
at
er
ia
ln
eg
o
x=
vt
Co to są zdarzenia
równoczesne?
ct
z
y
x
,
,
,
Cztery wymiary:
Linia świata sygnału
świetlnego
od i do obserwatora
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
x=
-ct
cz
a
s,
c
t
położenie, x
x=
ct
t
1
x=
-ct
cz
a
s,
c
t
położenie, x
x=
ct
x=
vt
t
2
P
radar (echo)
t
P
t
1
x=
-ct
cz
a
s,
c
t
położenie, x
x=
ct
t
2
P
odległość do obiektu (w pewnej chwili, P)
mierzona czasem przebiegu sygnału (echo)
2
1
2
t
t
c
t
x
p
P
P - zdarzenie – punkt w przestrzeni Minkowskiego
- jak obserwator wykonuje pomiar zdarzenia P
2
1
2
t
t
t
P
Czas obserwacji zdarzenia P
P
2
t
P
t
1
x=
-ct
cz
a
s,
c
t
położenie, x
x=
ct
x=
vt
t
2
P
1
Obserwator radarowy zbiera informacje o obiekcie:
buduje jego linie świata.
P
2
t
P
t
1
x=
-ct
cz
a
s,
c
t
położenie, x
x=
ct
x=
vt
t
2
P
1
2
1
2
t
t
c
x
Dwaj obserwatorzy zbierają informację o tym samym obiekcie
2
1
2
t
t
t
P
Jaki jest związek pomiędzy wynikami pomiarów gdy:
• układy poruszają się ruchem jednostajnym
• prędkość światła,
c
, jest stała!!!
P'
2
t'
P
t'
1
x=
-ct
cz
a
s,
c
t'
położenie, x'
x=
ct
x'
=
v'
t'
t'
2
P'
1
2
1
2
t
t
t
P
2
1
2
t
t
c
x
x=
-ct
cz
a
s,
c
t
położenie, x
x=
ct
x=
V
t
2
1
2
t
t
c
x
Dwaj obserwatorzy wzajemnie się obserwują
2
1
2
t
t
t
P
2
1
2
t
t
t
P
2
1
2
t
t
c
x
x'=
-ct'
cz
a
s,
c
t'
położenie, x'
x'
=c
t'
x'=
-V
t'
t
V
x
Vt
x
okresy mierzone przez obu
obserwatorów muszą być
wzajemnie proporcjonalne
x
--
---
--
---
>
t -->
2cT -->
cT -->
<--2cT'
<--cT'
2cT
0
-->
t'
1
x=
-ct
cz
a
s,
c
t
położenie, x
x=
ct
x'
=
v'
t'
cT
0
-->
0
T
T
const
T
T
2
0
const
T
T
2
2
0
T
T
t
T
T
c
x
o
0
T
T
T
T
c
t
x
V
o
1
1
0
T
T
0
T
T
T
T
c
V
o
2
1
1
T
T
1
0
T
T
T
T
2
1
1
czynnik Lorentza
Czynnik Lorentza,
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
1
2
3
4
5
6
C
zy
nn
ik
L
or
en
tz
a,
Stosunek prdkości, v/c
-miara poprawki relatywistycznej
od wracającego
posłaniec sygnał
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
1
2
3
1/(1+v/c)/
(1-v/c)*
1/(1-v/c)/
(1+v/c)*
1/(1-v/c)
1+v/c
1/(1+v/c)
st
os
un
ek
o
kr
es
ów
,
T
o
tr
z
/T
w
ys
stosunek prdkości, v/c
1-v/c
1
1
wys
otrz
wys
otrz
T
T
T
T
1
1
1
wys
otrz
wys
otrz
T
T
T
T
do odjeżdżającego:
posłaniec sygnał
od odjeżdżającego
posłaniec sygnał
1
1
wys
otrz
wys
otrz
T
T
T
T
do wracającego
posłaniec sygnał
1
1
1
wys
otrz
wys
otrz
T
T
T
T
2
1
1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
1
2
3
4
5
6
C
zy
nn
ik
L
or
en
tz
a,
Stosunek prdkości, v/c
Światło, w odróżnieniu od posłańca, czy dźwięku, nie porusza
się w żadnym ośrodku!
• Wyścig pływaków w
dwu wymiarach
• Interferometr Michelsona
Tak jakby światło rozchodziło się w dodatkowym wymiarze!!!
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
c
v
t
t
v
c
lc
t
c
v
c
l
t
v
v
c
Dylatacja czasu
• Paradoks bliźniaków
• Czas życia (rozpadu) czastek
elementarnych
– mion w spoczynku rozpada się =2.2 s
– mion rozpędzony(1.2 GeV/c) rozpada się
=26 s
• Paradoks bliźniaków
Efekt Dopplera
• 4 przypadki dla dźwieku
• 2 przypadki dla światła
– oddalanie
– przybliżanie
1
1
1
1
1
1
2
wys
otrz
wys
otrz
1
1
1
1
1
1
1
2
wus
otrz
wus
otrz
2
2
k
T
T
c
Transformacja Lorentza
(1)
Problem: jak to samo zdarzenie
(r,ct) opisuje się w dwu różnych
układach odniesienia.
cT'
cT
0
P(x,ct)
<--ct'-x'
ct -->
ct
2
=ct+x -->
cz
as
, c
t'
x
---
--
---
-->
ct
1
=ct-x -->
<--ct'+x
x=
-ct
cz
a
s,
c
t
położenie, x
x'
=
v'
t'
Obaj obserwatorzy wyznaczają
, x,t
ze wzorów
:
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
t
c
t
c
t
c
ct
ct
ct
t
c
t
c
x
ct
ct
x
Pamiętamy związek interwałów czasowych:
0
1
T
T
x
t
c
x
ct
x
ct
x
t
c
1
1
x
c
v
t
x
c
t
t
t
v
x
t
c
x
x
2
Transformacje Lorentza i Galileusza
dylatacja czasu i długości
x
c
v
t
t
z
z
y
y
t
v
x
x
2
t
t
z
z
y
y
t
v
x
x
1
1
1
0
1
0
2
2
c
v
c
albo
c
c
v
gdy
Transformacje Lorentza i Galileusza
- transformacja prędkości
x
c
V
t
t
t
V
x
x
2
t
t
z
z
y
y
t
V
x
x
V
v
v
dx
c
V
dt
t
d
dt
V
dx
x
d
2
dx
c
V
dt
dt
V
dx
t
d
x
d
v
x
2
x
x
x
v
c
V
V
v
t
d
x
d
v
2
1
Niezmienniki
– ważne wielkości fizyczne (absolutne)
Niezmienniki transformacji Galileusza:
• czas
• odległość
• ładunek
t
t
z
z
y
y
t
v
x
x
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
z
z
y
y
x
x
L
x
c
v
t
t
z
z
y
y
t
v
x
x
2
Niezmiennik transformacji Lorentza:
• interwał (miara czasoprzestrzeni)
• ładunek elektryczny
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
z
z
y
y
x
x
t
c
s
Niezmiennicze powinny być prawa fizyki!
Wielkości względne:
• czas
• odległość
Interwały
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
s>0
przyszość
czasopodobny
x=
-ct
cz
a
s,
c
t
położenie, x
x=
ct
czasopodobny
przyszość
v
2
<c
2
s>0
interwał zerowy s=0
interwał przstrzennopodobny
obszar teraźniejszości s<0
stożek świetlny s>0
stożek świetlny s>0
II zasada dynamiki
• Oba sformułowania niezmiennicze względem transformacji
Galileusza (stała masa)
• poszukujemy prawa niezmienniczego względem
transformacji Lorentza
– znamy zasadę transformowania prędkości (x,t)
– pozwólmy, żeby m(v)
– ma obowiązywać zasada zachowania pędu
dt
m
d
dt
d
czy
m
v
p
F
a
F
x
x
x
v
c
V
V
v
v
2
1
0
m
v
m
m
dt
d
v
p
p
F
doświadczenia masy cyklotronowej
B
m
e
c
Energia i pęd
2
mc
E
v
p
v
p
2
0
c
E
m
0
m
m
2
2
2
2
4
2
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
4
2
0
2
2
2
0
2
2
4
2
0
2
2
2
2
0
2
0
2
1
1
1
1
1
1
c
v
c
v
c
m
c
v
v
c
m
c
v
v
c
m
c
m
v
c
m
c
v
c
m
E
c
v
c
m
c
m
mc
E
4
2
0
2
2
2
c
m
c
p
E
4
2
0
2
1
c
m
E
c
p
Bardziej ogólne wyrażenie na pęd,
c
v
c
E
p
m
dla
0
0
Foton, neutrino elektronowe i mionowe
Praca wykonana przez siłę
mv
vd
dr
dt
mv
d
Fdr
W
E
V
o
V
o
k
V
V
V
k
d
c
v
m
mV
d
m
v
mV
E
d
v
m
m
m
d
W
E
0
2
2
2
0
2
0
0
0
1
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
całkowanie przez części
dt
dt
dG
F
FG
dt
G
dt
dF
dt
dt
dG
F
dt
G
dt
dF
dt
dt
FG
d
FG
dt
dG
F
G
dt
dF
dt
FG
d
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
c
m
c
V
c
m
c
m
c
V
c
m
mV
E
c
v
c
m
mV
c
v
c
v
d
c
m
mV
E
o
o
o
o
k
c
V
o
c
V
o
k
2
2
c
m
mc
E
o
k
2
mc
E
0
m
m
Masa relatywistyczna
2
2
c
m
mc
E
o
k
2
mc
E
0
m
m
• bezpośredni związek masy bezwładnej i energii
• przyrost energii (kinetycznej) związany jest ze wzrostem
masy
• wiązanie ciał związany jest z ubytkiem (deficytem) masy
• masa i energia to dwie miary taj samej wielkości
Przybliżenie dla małych
prędkości
2
1
...
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
mv
c
v
c
m
c
m
c
c
v
m
c
m
mc
E
o
o
o
k
Deficyt masy
2
mc
E
•Masa deuteronu,
E wiązaniakwant .
p+n=D+
.
.
.
0023
.
0
.
.
.
0086
.
1
.
.
.
0078
.
1
93
.
0
10
66056
.
1
12
1
.
.
.
1
2
1
1
0
1
1
1
0
1
1
27
12
6
m
j
a
D
m
n
m
H
m
m
j
a
n
m
m
j
a
H
m
GeV
kg
C
m
m
j
a
•rozpad cząstki
nadmiar energii kwant .
ścisła zasada zachowania energii (masy, f(v))
ścisła zasada zachowania pędu relatywistycznego
rozpad mezonu p+ na mion m+ i neutrino n