Dualizm
korpuskularno-
falowy
Wykład 5 / semestr II
1
Dualizm
korpuskularno-
falowy
Wykład 5 / semestr II
1
2
Prof. J. Zieliński
Terminy zaliczeń poprawkowych w semestrze letnim
2010/11
o 28 marzec
o 18 kwiecień
o 16 maj
o 13 czerwiec
Przypominam, że
Przypominam, że
na wszystkie kolejne terminy poprawkowe
obowiązują karty zie-lone.
Do zaliczenia można podejść po zaliczeniu ćwiczeń
rachunko-wych
zaliczona w terminie zerowym teoria a nie wpisana
zaliczona w terminie zerowym teoria a nie wpisana
do indeksu została skreślona
do indeksu została skreślona
Zaliczenia zaczynają się o
godz. 15
sala 2 bud 5
W tym semestrze
Zaliczenie przedmiotu jest w formie egzaminu
> Aby móc przystąpić do egzaminu trzeba mieć
zaliczone ćwicze-nia i laboratoria. Pozytywne oceny
muszą być wpisane do karty o-cen i do indeksu.
Egzamin składa się z dwóch części:
- Pisemnej student pisze odpowiedź na 3 pytania z
zestawu 4-ech
- Ustnej odpowiedzi uzupełniające na pytania z
zestawu pisemne-go + inne pytania.
16.8. Falowa natura materii
Zjawiska fizyczne i opisujące je prawa przyjęto
dzielić na klasyczne i współczesne.
Fizyka współczesna
opiera się o falową naturę materii i zawiera nową
fundamentalną stałą odkrytą przez Plancka w 1900
r
. Przekonanie wśród fizyków o falowej naturze materii
ugruntowało się w latach dwudziestych XX w.
Zgodnie z takim określeniem fizyki współczesnej,
to wszystko o czym dotychczas mówiliśmy jest fizyką
klasyczną. W tej części poka-żemy, że wszystkie cząstki
elementarne
charakteryzują
się
właściwo-ściami
falowymi, które wpływają na ich zachowanie szczególnie
w niedużych odległościach. Nie wyjaśniając uprzednio
falowych właści-wości materii, niemożliwe byłoby
zrozumienie budowy atomów i mo-lekuł, właściwości
cząstek elementarnych oraz takich działów fizyki jak:
fizyka ciała stałego, fizyka jądrowa, czy też astrofizyka.
Wynikające z falowej natury materii podstawowe
założenia i formalizm matematyczny stanowią przedmiot
badań mechaniki kwantowej.
4
Zdumiewający przewrót w naszych poglądach na
czas i przestrzeń spowodował Einstein. Jednakże
zobaczymy, że falowa natura materii, dualizm
korpuskularno-falowy i ich konsekwencje, okażą się
bardziej
zdumiewające
i
przeczące
zdrowemu
rozsądkowi niż einsteinowski postulat o stałości
prędkości światła we wszystkich inercjalnych układach
odniesienia.
Falowa
natura
materii
jakościowo
przejawia się w tym, że każdą cząstkę cechują
właściwości
falowe i
odwrotnie, dowolna
fala
charakteryzuje się właściwościami cząstek. Jako
pierwszy przykład demonstrujący tę właściwość fal,
rozważymy promieniowanie termiczne.
5
16. 8. 1. Promieniowanie termiczne
Jednym z podstawowych zjawisk fizycznych,
którego nie można wyjaśnić na gruncie fizyki klasycznej,
jest
promieniowanie
termiczne
ciał
(zwane
też
promieniowaniem
cieplnym
lub
temperaturowym).
Usunięcie
sprzeczności
między
wynikami
doświadczalnymi a teorią dało początek teorii kwantów.
Promieniowaniem
termicznym
nazywamy
promieniowanie wysyłane przez ciała ogrzane do pewnej
temperatury. Emitowane fale mają długości fal z
szerokiego zakresu widma, ale zwykle główna część
przypada na podczerwień. Promieniowanie termiczne jest
wynikiem
przyśpieszeń
jakich
doznają
ładunki
elektryczne atomów i cząstek. Zatem promieniowanie to
powstaje kosztem ich ruchu cieplnego.
6
Promieniowanie
termiczne
charakteryzujemy
wprowadzając pojęcie zdolności emisyjnej ciała
e(ν,T) zdefiniowanej tak, że e(ν,T)d ν jest energią
promieniowania wysyłanego w jednostce czasu z
jednostki powierzchni o temperaturze T, w postaci
fal elektromagnetycznych o częstościach zawartych
w przedziale od ν do ν + d ν.
Widmo promieniowania termicznego wysyłanego przez
ciało zależy w pewnym stopniu od składu tego ciała.
Wprowadzono pojęcie ciała emitującego promieniowanie
o widmie mającym charakter uniwersalny.
Ciało takie
nazywamy ciałem doskonale czarnym, ponieważ
całkowicie absorbuje promieniowanie termiczne
nań padające
. Przykładem ciała, które ma właściwości
zbliżone do ciała doskonale czarnego, jest sadza. Bardzo
dobrym modelem ciała doskonale czarnego jest
nieprzezroczyste ciało zawierające wnękę z bardzo
małym otworem wejściowym (rys. 10.1). Ponadto
zakładamy, że ścianka wnęki w dużym stopniu absorbuje
padające
promieniowanie.
Powierzchnia
otworu
zachowuje się tak, jak powierzchnia ciała doskonale
czarnego.
7
P r o m ie ń
ś w ie tl n y
P o w ie r z c h n ia
o d u ż e j z d o l n o ś c i
a b s o r p c y jn e j
Wprowadzimy jeszcze pojęcie
zdolności absorpcyjnej, a , i
zdolności
odbicia,
r,
powierzchni charakteryzujące
ciała promieniujące.
Wielkość a wskazującą jaki
ułamek energii padającej na
powierzchnię
zostanie
pochłonięty,
nazywa
się
zdolnością
absorpcyjną
powierzchni,
a
liczbę
r
wskazującą
jaki
ułamek
energii padającej zostanie
odbity,
nazywa
się
zdolnością odbicia
.
Ogólnie biorąc dla dowolnego ciała a i r zależą od
częstości padającego promieniowania i temperatury
powierzchni, tak że a = a(
,T) i r = r(
,T). Między
wielkościami a i r zachodzi związek
1
T
,
r
T
,
a
(10.1
)
8
1
T
,
r
T
,
a
Dla ciała doskonale czarnego, niezależnie od
częstotliwości promieniowania i temperatury
powierzchni a = 1 i r = 0.
Podstawowym
prawem
odnoszącym
się
do
promieniowania
termicznego
ciał
jest
prawo
Kirchhoffa, które mówi, że
stosunek zdolności
emisyjnej do zdolności absorpcyjnej jest dla
wszystkich powierzchni jednakowy
(10.2)
T
,
T
,
a
T
,
e
Funkcja ε(ν,T) jest pewną funkcją uniwersalną. Jej sens
fizyczny jest natychmiast jasny, gdy przyjąć a(ν,T) = 1.
Wówczas ε (ν,T) = e(ν,T), tzn., że funkcja ε (ν,T) jest
zdolnością emisyjną ciała doskonale czarnego.
9
Aby uzasadnić prawo Kirchhoffa wyobraźmy sobie
zbiornik (ciało z wnęką) pozostający w temperaturze T.
Jeżeli wyciąć w tym zbiorniku otwór o jednostkowej
powierzchni, to w ciągu jednostki czasu otworem
zbiornika wypromieniuje ilość energii równa ε(ν,T)dν.
Jeżeli otwór nie jest wycięty, to pada na jednostkową
powierzchnię w czasie jednostki czasu taka sama ilość
energii. Część tej energii zostanie zaabsorbowana a(ν,T)
ε(ν,T)dν. W stanie równowagi taką samą ilość energii
ścianka musi wypromieniować. Zatem e(ν,T) = a(ν,T)
ε(ν,T), co jest właśnie prawem Kirchhoffa.
Z powyższego widać jednoznacznie, że zdolność
emisyjną dowolnej powierzchni uzyskujemy mnożąc jej
zdolność absorpcyjną a(ν,T) przez zdolność emisyjną
ciała doskonale czarnego ε(ν,T). Ponieważ zawsze , więc
i e(ν,T) ε(ν,T), tzn. zdolność emisyjna każdej
powierzchni nie jest większa od zdolności emisyjnej
ciała doskonale czarnego.
10
m a x 1
m a x 2
T
1
T > T
2
1
Rys. 10.2. Zależność zdolności
emisyjnej
ciała
doskonale
czarnego od częstotliwości dla
dwóch temperatur T
1
i T
2
.
Pomiary zdolności emisyjnej
ciała doskonale czarnego
doprowadziły do wyników
zaprezentowanych na rys.
10.2, gdzie przedstawiono
ε(ν,T)
jako
funkcję
częstotliwości
dla
dwóch
różnych temperatur T
1
i T
2
(
T
1
< T
2
).
Całkowita energia E
wypromieniowana
przez
jednostkową powierzchnię w
czasie jednostki czasu jest
równa
polu
powierzchni
ograniczonej
każdą
z
krzywych. Energia ta rośnie
z temperaturą według prawa
4
T
E
Wzór powyższy nazywa się prawem Stefana-Boltzmanna, gdyż
był po raz pierwszy wyznaczony przez Stefana, a teoretycznie
wyprowadzony przez Boltzmanna
11
4
T
E
Stała σ jest stałą Stefana-Boltzmanna a
jej wartość wynosi 5,6710
–8
Wm
–2
K
–4
.
Funkcja ε(ν,T) ma maksimum, które zależy od
temperatury. Im wyższa temperatura, tym maksimum
przypada dla wyższej częstotliwości. Między ν
max
a T
zachodzi prosta zależność
(10.4)
Prawo to nazywa się prawem Wiena.
T
const
max
12
Pod koniec XIX w. przeprowadzono bardzo
staranne pomiary promieniowania termicznego ciała
doskonale czarnego. Okazało się jednak, że próby
wyprowadzenia prawa opisującego to widmo oparte na
zasadach fizyki klasycznej, prowadzą do absurdalnych
wyników. Np. Rayleigh i Jeans stosując prawa
klasycznej
elektrodynamiki
dla
promieniowania
zrównoważonego (w którym promieniowanie emitowane
przez
drgające
elektrony
atomowe
stanowiące
oscylatory, jest pochłaniane przez inne atomy) otrzymali
wzór
kT
c
T
,
2
2
2
Zauważmy, że z tego wzoru wynika, iż gęstość energii
jest proporcjonalna do
i przy
staje się nieskończona.
Jest to oczywiście sprzeczne z eksperymentem. Jedynie
w zakresie niskich częstotliwości zgodność jest dobra.
2
13
Próbując usunąć rozbieżności między teorią a
doświadczeniem, M. Planck w 1900 r. wysunął hipotezę,
że elektryczny oscylator harmoniczny stanowiący
model elementarnego źródła promienio-wania, w
procesie emisji promieniowania może tracić
energię tylko porcjami, czyli kwantami ΔE, o
wartości proporcjonalnej do częstości ν jego drgań
własnych
. Czyli
(10.6)
gdzie współczynnik proporcjonalności h nosi nazwę
stałej Plancka i wynosi 6,62610
–34
Js.
Wymiarem h jest
działanie = (energia)(czas) = (długość)(pęd) =
(moment pędu).
W związku z tym stałą Plancka nazywa się też
elementarnym kwantem działania.
h
E
14
Uogólniając swoje rozważania Planck zapostulował, że
energia oscylatora może przyjmować wartości
,
n = 0, 1, 2...
(10.7)
gdzie n jest liczbą kwantową.
Jeżeli teraz przyjąć, że rozkład oscylatorów po
możliwych dyskretnych stanach energii jest określony
rozkładem
Boltzmanna
(patrz
pkt.
15.4)
to
prawdopodobieństwo znajdowania się oscylatorów w
stanie o energii nh
w temperaturze T jest równe ,
gdzie c jest stałym współczynnikiem określonym z
warunku unormowania
Wówczas średnia
energia oscylatora wynosi
nh
E
n
kT
/
nh
exp
c
p
n
1
n
n
p
0
0
0
n
n
n
n
kT
/
nh
exp
kT
/
nh
exp
nh
nh
p
E
15
0
0
0
n
n
n
n
kT
/
nh
exp
kT
/
nh
exp
nh
nh
p
E
(10.8)
Średnia energia
oscylatora
Oznaczając
przez x i rozpisując wzór
(10.8) otrzymamy
kT
/
h
exp
...
x
x
x
...
x
x
x
h
E
3
2
2
1
3
2
1
Zauważmy, że
2
2
1
1
3
2
1
x
...
x
x
natomiast
x
...
x
x
x
1
1
1
3
2
(x <
1)
zatem
16
1
1
1
1
1
2
kT
/
h
exp
h
x
x
kT
/
h
exp
h
E
Uwzględniając, że w stanie równowagi
termicznej wydatek energii promieniowania
oscylatorów jest całkowicie kompensowany przez
pochłanianie padającego na nie promieniowania,
Planck pokazał, że
E
c
T
,
2
2
2
Wobec tego
1
1
2
2
3
kT
/
h
exp
c
h
T
,
(10.9
)
17
1
1
2
2
3
kT
/
h
exp
c
h
T
,
Wzór ten jest słynnym wzorem Plancka na
zdolność emi-syjną ciała doskonale czarnego. Wzór
ten określa rozkład widmowy promieniowania
ciała, który jest w bardzo dobrej zgodności z do-
świadczeniem.
Znając możemy wyliczyć całkowitą energię
emitowaną
w
jednostce
czasu
z
jednostkowej
powierzchni
ciała
doskonale
czarnego
poprzez
scałkowanie wyrażenia .
Otrzymujemy w ten sposób całkowitą zdolność emisyjną
E ciała doskonale czarnego
T
,
T
,
0
3
2
0
1
2
kT
/
h
exp
d
c
h
d
T
,
E
18
0
3
2
0
1
2
kT
/
h
exp
d
c
h
d
T
,
E
Wprowadzając pomocniczą zmienną
kT
/
h
x
0
3
4
3
2
4
1
2
x
e
dx
x
T
h
c
k
E
otrzyma
my
Występująca tu całka wynosi
/15. Ostatecznie
więc mamy
4
4
3
2
4
5
15
2
T
T
h
c
k
E
Uzyskaliśmy
teoretycznie wzór
Stefana-Botzmanna,
przy czym stała Stefana-
Botzmanna jest równa
3
2
4
5
15
2
h
c
k
19
Interesujące jest jeszcze zachowanie się funkcji
dla małych częstotliwości. Występującą w mianowniku
funkcję wykładniczą można rozwinąć w szereg,
zostawiając dwa pierwsze wyrazy. Dostajemy wówczas
T
,
kT
/
h
kT
/
h
kT
/
h
exp
1
1
1
Wzór (10.9) dla niskich częstotliwości promieniowania
przybiera więc postać
2
2
2
kT
c
T
,
Jest
to
właśnie
wzór
Reyleigha-
Jeansa.
20
Oznaczając podobnie jak poprzednio
i narzucając warunek istnienia maksimum (d
/dx = 0),
mamy
Pierwiastek tego równania wynosi około 2,822, stąd
wynika
s
–1
K
–1
T.
kT
/
h
x
x
e
x
3
3
10
10
877
5
822
2
,
T
h
k
,
T
h
k
x
max
max
Otrzymaliśmy zatem prawo przesunięć Wiena.
Również to prawo uzyskane z prawa Plancka jest w
bardzo dobrej zgodności z doświadczeniem. Widzimy
więc, że postulat Plancka o tym, że energia nie może
być wypromieniowana w sposób ciągły, doprowadził do
teoretycznego
wyjaśnienia
promieniowania
ciała
doskonale czarnego.
Porcje energii promienistej emitowanej przez
ciało wynoszą hν. Porcje te zostały nazwane
kwantami lub fotonami. Hipoteza Plancka dała
początek fizyce kwantowej, a stała h występuje
obe-cnie we wielu równaniach fizyki atomowej,
jądrowej i ciała stałego.
21
16.9. Fotoefekt
W końcu XIX w. odkryto elektron. Wkrótce potem
zauważono,
że
elektrony
uciekają
z
niektórych
powierzchni metalicznych, kiedy na powierzchnię pada
światło
(rys.
10.3).
Od
czasu
eksperymentów
dyfrakcyjnych przeprowadzonych przez Younga na dwóch
szczelinach nie było wątpliwości, że światło jest falą. Taki
pogląd pozwalał wyjaśnić fotoefekt. Amplitudę drgań
swobodnego elektronu w zmiennym polu elektrycznym
zgodnie z wyrażeniem (9.15) zapiszemy w postaci
.
Dlatego można było oczekiwać, że elektron znajdujący się
w pobliżu powierzchni opuści metal gdy amplituda A
przekroczy pewną krytyczną wartość.
t
cos
E
E
o
2
m
/
eE
A
o
22
P ły tk a
m e ta lo w a
Ś w ia tło
e
_
e
_
e
_
+
+
+
+
+
+
Rys. 10.3. Neutralny
elektroskop połączony z
płytką metalową. Przy
oświetleniu płytki przez
światło wybijane są
fotoelektrony i listki
elektroskopu ładowane
są dodatnio
.
Z falowej teorii światła
wynikają następujące wnioski:
elektron nie opuści metalu dopóki
nie przekroczy określonej
wartości krytycznej, energia
emitowanych elektronów wzrasta
proporcjonalnie do , jeżeli
wielkość
(a także natężenie) zachować stałą
a częstotliwość światła zwiększać,
to liczba emitowanych elektronów
powinna zmniejszyć się.
o
E
o
E
2
o
E
23
Jednakże wyniki eksperymentalne obaliły powyższe
przewidywania
:
progowego natężenia nie zaobserwowano, liczba
uciekających
elektronów
okazała
się
ściśle
proporcjonalna do E
0
2
przy dowolnie małej intensywności
padającego promieniowania,
energia elektronów okazała się niezależna od
wielkości E
0
,
zauważono zależność energii elektronów od
częstotliwości; okazało się, że istnieje progowa
częstotliwość ν
0
, powyżej której energia emitowanych
elektronów rośnie liniowo ze wzrostem częstotliwości –
faktycznie energia kinetyczna elektronów zmienia się w
przedziale od zera do maksymalnej wartości K
max
. Na rys.
10.4 pokazano otrzymaną eksperymentalną zależność
K
max
od częstości ν.
24
K
m a x
Rys. 10.4. Zależność maksymalnej energii kinetycznej elektronów
wybitych z metalu od częstotliwości światła.
W 1905 r. A. Einstein podał poprawne wyjaśnienie
fotoefektu. Zaproponował śmiałą w tym czasie
ideę, że światło stanowi zbiór kwantów z których
każdy posiada energię hν. Założył również, że te
kwanty światła (obecnie zwane fotonami)
zachowują się podobnie do cząstek materialnych i
że przy zderzeniu foton może być pochłonięty, a
cała jego energia przekazana jest elektronowi.
25
Wówczas nawet Planckowi wydawało się to dziwne.
Jak wobec tego pogodzić prawo interferencji fal z tym, że
jednocześnie światło składa się z cząstek? Przecież np. w
doświadczeniu z dwoma szczelinami cząstka
przechodziłaby bądź przez jedną bądź przez drugą
szczelinę, co wyklucza utworzenie obrazu
interferencyjnego.
Teoria Einsteina wyjaśnia fakty eksperymentalne.
Załóżmy, że aby elektron mógł opuścić metal konieczna
jest strata energii W
0
. Wówczas przy pochłonięciu fotonu
o energii hν, energia elektronu opuszczającego
powierzchnię wynosi hν-W
0
. Jest to możliwa maksymalna
energia kinetyczna
o
max
W
h
K
Powyższy związek jest zgodny z przebiegiem prostej
eksperymentalnej przedstawionej na rys. 10.4. Einstein
przewidział, że nachylenie prostej powinno być
określone stałą Plancka h.
Wielkość W
o
nazywana jest pracą wyjścia i zależy
od rodzaju metalu.
26
Jeżeli elektron jest początkowo w stanie
spoczynku, to przedostając się do metalu przyjmując
energię kinetyczną U
o
. Inaczej mówiąc, układ elektron
w metalu można przedstawić w postaci jamy potencjału
o głębokości U
o
, jak schematycznie pokazano na rys.
10.5. Wewnątrz metalu zewnętrzne elektrony atomu są
swobodne (tj. nie są związane z określonymi atomami),
a ich energia kinetyczna może się zmieniać od zera do
E
F
. Wielkość E
F
nazwana jest energią Fermiego. Jeżeli
elektronowi o energii Fermiego dostarczyć dodatkowo
energii W
o
, to jego energia K= E
F
+ W
0
zaledwie
wystarcza na to ażeby opuścić metal. Innymi słowy,
kiedy elektron opuści metal, jego energia staje się
równa K = 0. Z rys. 10.5 widzimy, że E
F
+ W
0
= U
o
, czyli
W
0
= U
o
- E
F
P o w ie r z c h n ia
h - W
o
h
W
o
E
E
F
- U
o
0
E n e r g i a
p o te n c ja l n a
Rys. 10.5. Jama potencjału w
której znajdują się elektrony
metalu. Elektron o energii E
F
pochłania foton i przechodzi na
wyższy poziom energetyczny
.
27
W zjawisku fotoefektu po pochłonięciu fotonu o energii
hν, elektron z poziomu o energii E
F
przechodzi na
wyższy poziom energetyczny. Przy tym energia
elektronu na zewnątrz metalu okazuje się równa
hν- W
0
.
Jest to maksymalna możliwa energia, którą może
posiadać wybity elektron K
max
=hν- W
0
. Jeżeli elektron
znajduje się na niższym poziomie (poniżej linii
przerywanej) i pochłania foton o tej energii, to energia
na zewnątrz metalu będzie mniejsza od K
max
.
28
16.10. Efekt Comptona
Stosując klasyczną elektrodynamikę wykazaliśmy,
że światło przenoszące energię E posiada pęd p=E/c .
Tak więc kwant świetlny o energii E=hν powinien
charakteryzować się pędem p= hν/c. Jeżeli zamienić ν/c
na 1
, to
(10.11)
Einstein przewidział, że kwanty świetlne (fotony)
będą
zachowywać
się
podobnie
do
cząstek
elementarnych o pędzie p=h/λ .
W przypadku
fotoefektu ten minimalny pęd przekazywany jest całej
próbce metalu i wybitemu z niego elektronowi. Pęd
przyjęty przez metal w takich warunkach jest zbyt mały
i nie można go zmierzyć
,
jednakże przy zderzeniu
fotonu
ze
swobodnym
elektronem
wielkość
przekazywanego pędu można zmierzyć. Proces ten –
rozpraszanie
fotonu
na
elektronie
swobodnym,
nazywany jest efektem Comptona
. Po raz pierwszy
proces ten był eksperymentalnie potwierdzony
przez A. Comptona w 1923 r.
h
p
29
Wyprowadzimy teraz związek
łączący długość fali rozproszonego
fotonu z kątem rozpraszania i
długością
fali
fotonu
przed
zderzeniem. Niech foton o energii pc
i pędzie p zderza się z nieruchomym
elektronem o energii spoczynkowej
mc
2
. Po zderzeniu pęd fotonu będzie
równy p’ i skierowany pod kątem Θ,
jak to pokazano na rys. obok
D o
P o
e
p
'
p
'
e
p
Pęd elektronu odrzutu będzie równy p’
e
, a
całkowita energia relatywistyczna E’
e
. Stosujemy
mechanikę
relatywistyczną,
ponieważ
prędkość
elektronu może osiągnąć prędkości bliskie prędkości
światła. Zgodnie z prawem zachowania energii,
całkowita energia przed zderzeniem równa jest
całkowitej energii po zderzeniu, wobec tego
'
e
E
c
'
p
mc
pc
2
30
czyli
(10.12)
Prawo zachowania pędu daje
Podnosząc obie strony do kwadratu
i odejmując ostatnie równanie od (10.12) mamy
2
2
c
/
E
mc
'
p
p
'
e
'
e
p
'
p
p
2
2
2
2
'
e
p
'
p
'
p
p
p
2
2
2
2
2
2
2
2
2
'
e
'
e
p
c
E
cos
'
pp
mc
'
p
pmc
'
pp
c
m
prawą stronę można zamienić na
m
2
c
2
2
2
2
2
2
2
c
m
pmc
cos
p
mc
p
'
p
c
m
31
stąd znajdujemy
Wykorzystując fakt, że p=h/λ otrzymujemy
czyli
(10.13)
W
eksperymencie
Compton
stosował
promieniowanie rentgenowskie o znanej długości
fali i zauważył, że długość fali fotonów zwiększa się
zgodnie z przewidywaniem według wzoru (10.13).
cos
mc
p
p
'
p
1
1
cos
mc
h
'
1
1
1
cos
mc
h
'
1
Promieniowanie termiczne, fotoefekt, efekt
Comptona i wiele innych eksperymentów z udziałem
światła i atomów potwierdziły, że światło faktycznie
zachowuje się jakby składało się z cząstek o energii
hν i pędzie h/ν .
32
16.11. Dualizm korpuskularno-falowy
Jeżeli byśmy w pierwszych eksperymentach ze
światłem zaobserwowali efekt Comptona i fotoefekt,
to bylibyśmy przekonani o tym, że światło jest
strumieniem fotonów,
które zachowują się jak
wszystkie ”przyzwoite” cząstki.
Przy takim układzie
rzeczy zaobser-wowanie obrazu interferencyjnego od
dwóch szczelin wywołałoby zdumienie.
Faktycznie;
jak
cząstki
mogą
wykazywać
właściwości
klasycznych fal?
Przecież cząstka może przejść tylko
przez jedną lub drugą szczelinę.
Paradoks ten stał się bardziej znaczącym w 1927
r. kiedy to amerykańscy fizycy C. Davisson i L. Germer
odkryli właściwości falowe elektronu. W rzeczywistości
trzy lata wcześniej Louis de Bro-glie w swej
rozprawie doktorskiej założył, że związek (10.11)
słu-szny jest nie tylko dla fotonów, lecz w ogóle dla
wszystkich cząstek. Czyli
i
(10.14)
h
p
h
E
33
De Broglie założył, że wiązka cząstek
dowolnego
rodzaju
będzie
tworzyć
obraz
interferencyjny
na
odpowiedniej
podwójnej
szczelinie charakterystyczny dla doświadczenia
Younga.
W tych czasach hipoteza de Broglie’a wydawała
się wariacką, bodajże niewłaściwą do ubiegania się o
stopień doktora. Zaledwie po upływie trzech lat nauka
przeżyła wstrząs – eksperyment potwierdził hipotezę.
Wstrząs był spowodowany tym, że wydawało się
niemożliwe aby takie cząstki jak elektrony zachowywały
się jednocześnie jak cząstki i fale.
W przypadku fotonów paradoks można byłoby
usunąć zakładając, że pojedynczy foton przed
przejściem przez dwie szczeliny zdolny jest rozszczepić
się a następnie interferować ze sobą. Jednakże w
przypadku elektronów, w przyrodzie nigdy nie
zaobserwowano
połowy
lub
części
elektronu.
Niezależnie od tego czy detektor znajduje się za
szczeliną A lub B (rys. 10.7) elektron zawsze
wykrywany jest w całości.
34
S tr u m i e ń
e le k tr o n ó w
O d k r y ta ty lk o
s z c z e lin a A
R o z k ła d
e le k tr o n ó w
T y l k o B
T y lk o A
A + B
E k r a n
O d k r y ta ty lk o
s z c z e li n a B
O d k r y te o b i e
s z c z e li n y
B
B
B
A
A
A
Rys. 10.7. Rozkład
intensywności elektronów
zgodnie z fizyką klasyczną
.
r
2
P
2
P
1
r
1
A
B
R o z k ł a d
k la s y c z n y
O b s e r w o w a n y
r o z k ła d
S tr u m ie ń
e l e k tr o n ó w
Rys. 10.8. Rozkład
intensywności
elektronów zgodnie z
teorią kwantową.
35
Z tego punktu widzenia dochodzimy do wniosku, że
pojedynczy elektron może przejść tylko przez jedną z
dwóch szczelin na rys. 10.7 Tak więc rozkład elektronów
na ekranie powinien być sumą rozkładów dla każdej
szczeliny oddzielnie
.
Chociaż logika wywodu wydaje się
być nieskazitelną, rozkład charakterystyczny dla A+B nie
ma miejsca! Zamiast tego obserwujemy klasyczny obraz
interferencyjny dla dwóch szczelin przedstawiony na rys.
10.8
. Nie zachodzi więc zaprzeczenie czystej logiki?
Przecież wszystko to wygląda jakby 100 +100 = 0.
Załóżmy, że w punkcie P
1
na rys. 10.8 znajduje się licznik
Geigera rejestrujący w każdej sekundzie 100 elektronów
kiedy otwarta jest dowolna ze szczelin A lub B. Przy tym,
gdy otwarte są obie szczeliny jednocześnie, licznik
przestaje rejestrować elektrony. Oznacza to, że w punkcie
P
1
przypada minimum interferencyjne . Jeżeli początkowo
otworzyć tylko szczelinę A, a później stopniowo otwierać
szczelinę B, to zgodnie ze zdrowym rozsądkiem możemy
oczekiwać że prędkość zliczeń w miarę odkrywania
szczeliny B będzie stopniowo wzrastać od 100 do 200
zliczeń na sekundę. Zamiast tego obserwujemy
zmniejszanie prędkości zliczeń od 100 do zera.
36
Ponadto, jeżeli licznik Geigera umieścić w punkcie P
2
, to
w miarę otwierania szczeliny B prędkość zliczeń będzie
stopniowo wzrastać od 100 do 400 zliczeń na sekundę,
kiedy druga szczelina jest całkowicie otwarta. Wobec
tego 100 + 100 = 400.
r
2
P
2
P
1
r
1
A
B
R o z k ła d
k la s y c z n y
O b s e r w o w a n y
r o z k ła d
S tr u m ie ń
e le k tr o n ó w
Jedyny sposób wyjaśnienia tych paradoksalnych
wyników polega na stworzeniu nowego formalizmu
matematycznego pozwalającego opi-sać falowe
właściwości cząstek materialnych na poziomie
mikro-świata
,
a
zatem
także
poprawnie
przewidującego
obserwowane
zjawiska
interferencyjne. Formalizm ten musi być wewnętrznie
spójny.
37
16. 12. Funkcja falowa
Formalizm matematyczny za pomocą którego
usuwa się opisane powyżej paradoksy, przypisuje każdej
cząstce materialnej funkcję falową Ψ(x,y,z,t) będącą
funkcją współrzędnych i czasu. Pamiętamy, że natężenie
jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy funkcji
falowej. Powróćmy na chwilę do eksperymentu z
elektronami. Elektrony przepuszczane przez szczelinę
padały w określone punkty na ekranie, z tym, że tam
gdzie obserwowaliśmy maksima, elektrony padały
częściej. Okazuje się jednak, że nie możemy z góry
przewidzieć, w którym miejscu dany elektron padnie na
ekran. Znajdując natomiast rozkład natężenia w obrazie
dyfrakcyjnym można określić prawdopodobieństwo, że
elektron padnie w określonym miejscu ekranu. Zatem
kwadrat amplitudy funkcji falowej jest proporcjonalny do
gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w
danym elemencie obszaru. Ponieważ funkcja falowa
jest na ogół funkcją zespoloną, to kwadrat amplitudy tej
funkcji wynosi
2
38
2
gdzie jest funkcją sprzężoną z Ψ . Tak więc
jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa
znalezienia elektronu w elemencie objętości dxdydz.
Ponieważ suma prawdopodobieństw znalezienia
elektronu w poszczególnych elementach objętości
rozciągnięta na całą przestrzeń musi być równa jeden,
zatem można tak określić funkcję falową, aby był
spełniony warunek
dxdydz
2
1
2
dV
V
Jest to warunek unormowania funkcji falowej
.
Wówczas jest równe gęstości prawdopodobieństwa
znalezienia elektronu.
Formalnie funkcja falowa Ψ charakteryzuje się
właściwościami klasycznych fal, lecz nie reprezentuje
takich wielkości jak np. wychylenie cząstki z położenia
równowagi.
2
39
Jeżeli zdarzenie może przebiegać w kilku
wzajemnie
wykluczających
się
sposobach
(jak
powiedzmy, przy przechodzeniu cząstek przez jedną ze
szczelin A i B) to funkcja falowa takiego zdarzenia
przedstawia sumę funkcji falowych każdego ze
sposobów
To twierdzenie (zasada superpozycji) jest identyczne z
zasadą dodawania amplitud fal w optyce. W
rozważanym wyżej przykładzie,
1
opisuje falę
przechodzącą przez szczelinę A, a
2
– falę
przechodzącą przez szczelinę B. Na ekranie obie
funkcje falowe pokrywają się i dają klasyczny obraz
interferencyjny z dwóch szczelin, przy czym n-te
maksimum określone jest wyrażeniem
2
1
d
/
n
sin
n
40
Przedstawiony formalizm pociąga za sobą szereg
niepewności
wymagających
dalszej
interpretacji
fizycznej. Przypuśćmy, że mamy tak słaby strumień
elektronów, że wysyłamy pojedyncze elektrony. I w tym
przypadku po dostatecznie długiej ekspozycji otrzymuje
się chara-kterystyczny obraz dyfrakcyjny. A więc falowy
charakter jest cechą pojedynczych cząstek.
Zgodnie z prezentacją falową każdemu elektronowi
odpowiada paczka falowa dzieląc się jednakowo
pomiędzy dwie szczeliny. Jednakże umieszczając za
szczeliną A detektor, zauważymy, że przez szczelinę
nigdy nie przechodzi połówka elektronu. Na tym polega
atomizm (zasada niepodzielności), według którego
intensywność fali za szczeliną A charakteryzuje
prawdopodobieństwo znalezienia całkowitego elektronu
w tym miejscu. Ponadto jeżeli detektor umieścić za
szczeliną A, to obraz interferencyjny wygładza się i
otrzymuje się klasyczny wynik, przekształcając obraz
interferencyjny (rys. 10.8) w klasyczny (rys. 10.7).
41
Wielu fizyków, włączając Einsteina, próbowało
wymyślić takie doświadczenie w rezultacie którego
można
byłoby,
nie
naruszając
obrazu
interferencyjnego, ustalić przez którą szczelinę
przeszła dana cząstka;
jednakże wszystkie te próby
były nieudane
.
Wobec tego co przedstawiają fale odpowiadające
elektronowi? Na to pytanie należy odpowiedzieć tak jak
w przypadku fotonów. Fale elektromagnetyczne
propagują się swobodnie w pustej przestrzeni. W
odróżnieniu od fal mechanicznych w tym przypadku nie
istnieje ośrodek przenoszący drgania. Funkcja falowa
nie stanowi bezpośrednio obserwowanej wielkości i w
tym sensie nie wykonuje ruchu drgającego. Fale
klasyczne i fale odpowiadające cząstkom podlegają
równaniom matematycznym tego samego typu. Lecz w
przypadku klasycznym amplituda fali jest bezpośrednio
obserwowana, a dla funkcji falowej
– nie.
42
16. 13. Dyfrakcja elektronów
Eksperyment z dyfrakcją elektronów na dwóch
szczelinach
jest
bardziej
złożony,
ponieważ
charakterystyczna długość fali elektronów jest dużo
mniejsza od długości fal świetlnych zakresu widzialnego.
Obliczymy długość fali elektronu przyśpieszanego
napięciem V = 1000 V, tzn. o energii kinetycznej K =
1000 eV = 1.610
–16
J. Wówczas
i po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy
410
–11
m. Jest to więc wielkość rzędu promienia atomu.
Ponieważ jest także porównywalne z odległością między
atomami w ciele stałym, nasuwa się wniosek, że wiązka
elektronów
odbijając
się
od
płaszczyzn
krystalograficznych powinna wykazać analogiczne
efekty jak w przypadku promieni rentgenowskich.
Uporządkowany szereg atomów na powierzchni metalu
działa podobnie do szczelin cienkiej siatki dyfrakcyjnej.
Właśnie w powyższy sposób Davisson i Germer badali
rozpraszanie powolnych elektronów na płytce niklowej.
mK
h
p
h
2
43
C z o ła
f a l
P o w ie r z c h n ia
k r y s z ta łu
K r y s z ta ł
d
1
1
2
2
D e te k to r
D z ia ło e le k tr o n o w e K r y s z ta ł
D
Rys. 10.9. (a) Przyrząd do obserwowania dyfrakcji
elektronów od powierzchni kryształu.
(b) Część kryształu silnie powiększona.
44
Na rys. 10.9 pokazano schematycznie urządzenie
do obserwacji dyfrakcji elektronów od powierzchni
kryształu. Jako detektor cząstek można stosować ekran
luminescencyjny. Znając wartość kąta Θ przy którym
obserwuje się maksimum intensywności, można
określić stałą Plancka. Jak widać z rys. 10.9b,
w pierwszym maksimum intensywności powinno być
równe długości fali h/p. Wobec tego
sin
d
D
sin
d
p
h
stąd
sin
pd
h
45
Należy zauważyć, że w tym eksperymencie, jak i
w kilku innych mających wyjątkowo duże znaczenie dla
rozwoju
fizyki,
wielkiego
odkrycia
dokonano
przypadkowo. Davisson i Germer nie postawili sobie za
cel badanie dyfrakcji elektronów. W 1926 r. Davisson
przedstawił na konferencji w Anglii pewne wyniki badań
rozpraszania elektronów na powierzchni niklu. Uczeni
europejscy zwrócili mu uwagę, że wyniki te można
lepiej
zinterpretować
dyfrakcją
elektronów
niż
klasycznym rozpraszaniem które badał. Po upływie
kilku miesięcy Davisson i Germer otrzymali nowe
wyniki jednoznacznie potwierdzające falową naturę
elektronów, które pozwoliły określić wartość stałej
Plancka z dokładnością do 1%.
Wkrótce po pojawieniu się w 1924 hipotezy de
Broglie'a, angielski fizyk Thompson przystąpił do
systematycznego badania dyfrakcji elektronów na
cienkich foliach metalowych. Jednakże dopiero w 1928 r.
otrzymał
transmisyjne
efekty
dyfrakcyjne
wiązki
elektronów przechodzących przez złotą folię o grubości
10
–5
m.
46
Widzimy, że staranne badania i przemyślane
podejście
okazało
się
mniej
szczęśliwe
od
”przypadkowości” Davissona i Germera. Jednakże
doświadczenie tych dwóch amerykańskich uczonych jest
dobrym przykładem istoty podejścia naukowego. Jeżeli
eksperymentator,
nawet
przypadkowo,
zauważy
niezrozumiały dla niego efekt, to należy dokładnie zbadać
go, dopóki nie osiągnie się pełnej jasności.
Obecnie szczegółowo badane są obrazy dyfrakcyjne
wytwarzane nie tylko przez elektrony, protony, ale
również przez całe atomy. Falowa natura materii jest
wszechstronnie sprawdzona i żadnych odchyleń od
przewidywań
teorii
nie
udało
się
dotychczas
zaobserwować.
47
16.14 Zasada nieoznaczoności
Obserwacje przedmiotów opierają się na
rejestrowaniu
światła
odbitego
przez
te
przedmioty.
Światło w „zderzeniu” z przedmiotem o
dużej masie praktycznie nie zaburza jego ruchu, ale
całkiem inną sytuację mamy w przypadku elektronów
.
Tutaj też spodziewamy się, że zobaczymy elektron gdy
odbijemy od niego światło (tak jak widzimy np. stół
rejestrując światło odbite od niego). W tym jednak
przypadku elektron w zderzeniu z fotonem dozna
odrzutu,
który
całkowicie
zmieni
jego
ruch
(przypomnijmy sobie efekt Comptona). Zmiany tej nie
można uniknąć ani dokładnie ocenić. Gdyby więc
istniały orbity to byłyby one całkowicie niszczone przy
próbie pomiarów mających potwierdzić ich istnienie.
Dlatego wolimy mówić o prawdopodobieństwie niż o
orbitach.
Aby przetestować nasze możliwości pomiarowe
rozważmy wiązkę elektronów padających z prędkością
v
0
na szczelinę o szerokości y, tak jak na rysunku.
48
Jeżeli elektron przechodzi przez
otwór to znamy jego położenie z
dokładnością x.
Elektrony ulegają ugięciu na
szczelinie tak, że na ekranie
obserwujemy obraz dyfrakcyjny.
Oznacza to, że elektrony mają
teraz oprócz prędkości poziomej
także składową w kierunku y (są
odchylone).
Spróbujmy ocenić tę składową pionową prędkości.
Rozpatrzmy np. elektron padający na ekran w miejscu
pierwszego minimum dyfrakcyjnego (punkt a na rysunku
poniżej). Pierwsze minimum jest dane równaniem
ysin
=
a dla małego kąta
y
Aby elektron doleciał do punkt a (1-sze minimum) musi
mieć prędkość pionową v
y
taką, że
0
sin
v
v
y
49
Korzystając z obu powyższych równań otrzymujemy
lub inaczej
v
y
y =
v
0
Długość fali wiązki elektronowej jest dana przez h/p
czyli h/mv
0
. Podstawiając to do ostatniego równania
otrzymujemy
co można zapisać
p
y
y h
y
y
0
v
v
0
0
v
v
v
m
h
y
y
50
p
y
y h
Jeżeli chcemy poprawić pomiar y (zmniejszyć y)
to w wyniku zmniejszenia szerokości szczeliny
otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze
ugięcie). Inaczej mówiąc zwiększone zostało p
y
.
Równani to przedstawia ograniczenie nałożone na
dokładność pomiarów przez przyrodę (nie ma nic
wspólnego z wadami aparatury pomiarowej).
Równanie to jest szczególnym przypadkiem ogólnej
zasady podanej przez W. Heisenberga znanej jako
zasada nieoznaczoności
.
W zastosowaniu do pomiaru pędu i położenia głosi ona,
że
h
z
p
h
y
p
h
x
p
z
y
x
Tak więc żadna składowa ruchu
elektronu nie może być określona
z nieograniczoną dokła-dnością. Ta
sama zasada obowiązuje w odnie-
sieniu do energii i czasu.
51