TEORIA GIER
TEORIA GIER
8 czerwca 2021
Gra
to dowolna sytuacja konfliktowa,
gracz natomiast to dowolny jej uczestnik
każda strona wybiera pewną strategię
postępowania, po czym zależnie od strategii
własnej oraz innych uczestników każdy gracz
otrzymuje wypłatę w jednostkach
użyteczności (pieniądze, wzrost szansy na
przekazanie
własnych genów
czy też
cokolwiek innego, z czystą satysfakcją
włącznie)
wynikowi gry zwykle przyporządkowuje się
pewną wartość liczbową.
istota tej gry nie polega na
próbie odgadnięcia intencji
gracza, lecz na skrywaniu
własnych zamiarów.
Podstawowym założeniem teorii gier
jest racjonalne działanie wszystkich
podmiotów decyzyjnych (graczy).
8 czerwca 2021
8 czerwca 2021
Aby dana sytuacja mogła być nazwana grą, musi
spełniać następujące warunki:
istnieje skończona liczba uczestników,
każdy uczestnik posiada skończoną
liczbę sposobów działania (strategii),
uczestnik, który chce posłużyć się teorią
gier, musi znać wszystkie dostępne
pozostałym graczom strategie, lecz nie
może wiedzieć, która z nich będzie
obrana,
wygrana każdego uczestnika zależy
zarówno od działania pozostałych graczy,
jak i od jego własnego działania,
wszystkie możliwe wyniki są mierzalne.
8 czerwca 2021
Teoria gier
to dział matematyki zajmujący się
badaniem optymalnego
zachowania w przypadku konfliktu
interesów
8 czerwca 2021
8 czerwca 2021
Badania w zakresie teorii gier i jej
zastosowań wielokrotnie zostały uznane
przez Komitet Nagrody Nobla
1978 Herbert Simon
– za wkład w rozwój ewolucyjnej teorii
gier, w szczególności za koncepcję
ograniczonej racjonalności.
– Komitet nagrody określił te rezultaty
jako przełomowe badania nad
procesem podejmowania decyzji
wewnątrz organizacji gospodarczych
oraz teorię ich podejmowania.
8 czerwca 2021
1994 John Nash, Reinhard
Selten i John Harsanyi
– za rozwój teorii gier i jej
zastosowania w ekonomii.
1996 William Vickrey i James
Mirrlees
– za stworzenie modeli przetargów i
badanie konfliktów z niesymetryczną
informacją uczestników.
8 czerwca 2021
2005 Thomas C. Schelling i Robert J. Aumann
–
za zastosowanie teorii gier w naukach społecznych
i mikroekonomii (dot. zachowania jednostek i
rozwiązywania konfliktów) . Ich teoria pozwoliła
zastosować teorię gier – lub teorię decyzji
interaktywnej – do poszukiwania odpowiedzi na
pytanie, dlaczego niektóre grupy, organizacje i
kraje odnoszą sukcesy we współpracy, natomiast
inne popadają w konflikty.
–
Thomas Schelling stosował teorię gier do analizy
negocjacji międzynarodowych w okresie "zimnej
wojny". Analizował takie zagadnienia, jak: polityka
wzajemnych ustępstw, gróźb, zastraszania.
–
Aumann użył teorii gier by zanalizować Talmud.
Między innymi rozwiązał starą tajemnicę "podziału
spadku zmarłego męża pomiędzy jego trzy żony".
Rozwiązaniem było podanie zmniejszenia wartości
spadku (porównanego do jego pierwotnej wartości).
8 czerwca 2021
2007 Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin,
Roger B. Myerson
– za prace nad teorią wdrażającą systemy
matematyczne w procesy gospodarcze, która przy
zastosowaniu równań matematycznych i
algorytmów pozwala ocenić prawidłowość
funkcjonowania rynków.
– Teoria ta pomogła określić ekonomistom skuteczne
mechanizmy rynkowe, schematy regulacji i
procedury wyborów i dziś odgrywa główną rolę w
wielu dziedzinach ekonomii oraz w naukach
politycznych.
8 czerwca 2021
Zalety teorii gier:
pozwala ustrukturyzować proces decyzyjny i
wyznaczyć racjonalne rozwiązanie.
możliwość wyznaczenia dobrego rozwiązania
zależy jednak od tego, jak dobrą informacją
dysponuje dany podmiot.
bada jakie strategie powinni wybrać gracze
żeby osiągnąć najlepsze wyniki.
8 czerwca 2021
Gry ze względu na wartość dzielą
się na:
gry o sumie stałej (zysk jednego
gracza jest równoważny stracie
drugiego) i na gry o sumie
zmiennej
gry sprawiedliwe (gdy wartość
oczekiwana wypłaty każdego z
graczy jest taka sama) oraz gry
niesprawiedliwe
8 czerwca 2021
Gra w kasynie
uznając za wypłatę sumę pieniężną,
jest grą o sumie zerowej (wygrana
gracza to strata kasyna, i na odwrót;
nie rozpatrujemy tu zadowolenia z
samego faktu gry), jednakże nie jest
ona grą sprawiedliwą (z przyczyn
oczywistych prawdopodobieństwa
wygranej są dla gracza
niekorzystne, a wartość oczekiwana
wygranej pieniężnej ujemna).
8 czerwca 2021
Gry
W zależności od liczby tych
przeciwników i ich interesów
rozróżniamy różne rodzaje gier, na
przykład:
gry dwuosobowe,
gry wieloosobowe,
gry koalicyjne.
8 czerwca 2021
Macierz wypłat
jest tablicą, która przedstawia kwoty
otrzymane przez gracza wymienionego po
lewej stronie tej tablicy po wszystkich
możliwych partiach gry. Wypłat dokonuje gracz
wymieniony u góry tablicy macierz ta składa
się z tylu kolumn, ile jest wszystkich
możliwych sposobów działania gracza
zamieszczonego u góry tablicy, i z tylu wierszy,
ile jest wszystkich możliwych sposobów
działania gracza zamieszczonego po lewej
stronie tablicy).
8 czerwca 2021
Przykład normalnej formy macierzy
wypłat dla gry dwuosobowej i dwóch
możliwych strategii
Gracz 2 wybiera
lewą kolumnę
Gracz 2 wybiera
prawą kolumnę
Gracz 1 wybiera
górny wiersz
4
,
3
-1
,
-1
Gracz 1 wybiera
dolny wiersz
0
,
0
3
,
4
8 czerwca 2021
Historycznym przykładem gry
niekooperacyjnej jest dylemat
więźnia.
Problem decyzji
aresztowanego A
D z i a ł a n i a A
D z i a ł a n i a B
Nie przyznawać się wsypać
kompana
Nie przyznawać
się
1 rok
10 lat
Wsypać kompana
0 lat
5 lat
Problem decyzji
aresztowanego B
D z i a ł a n i a B
D z i a ł a n i a A
Nie przyznawać się wsypać
kompana
Nie przyznawać
się
1 rok
10 lat
Wsypać kompana
0 lat
5 lat
Gra dwuosobowa
aresztowanych
D z i a ł a n i a A
D z i a ł a n i a B
Nie przyznawać się wsypać
kompana
Nie przyznawać
się
1 rok
1 rok
10 lat
0 lat
Wsypać kompana
0 lat
10 lat
5 lat
5 lat
8 czerwca 2021
Gra dwuosobowa o sumie zero
Grami dwuosobowymi o sumie
zero są takie sytuacje, gdy w grze
biorą udział tylko dwie strony, a
przegrane jednej ze stron są
wygranymi drugiej.
8 czerwca 2021
Macierz wypłat
m
mn
n
m
m
ij
d
d
a
a
a
a
a
a
a
....
....
...
...
...
....
....
s
...
s
s
1
1
2
1
12
11
n
2
1
8 czerwca 2021
Przykład
Dwie konkurencyjne firmy Alfa i Beta są dealerami
dobrze znanej marki odbiorników telewizyjnych. Roczne
zyski tych dwóch firm wynoszą odpowiednio 4 i 8 mln zł.
Alfa chce rozszerzyć swoją działalność i otworzyć zakład
montażu odbiorników zakładając, że przyniesie to jej
roczny zysk równy 10 mln zł. Oczekuje przy tym, że
firma Beta będzie kontynuować swoją działalność bez
podejmowania montażu odbiorników u siebie. Jednakże
szef firmy Beta usłyszał o planach firmy Alfa i obliczył, że
jeśli plany firmy Alfa będą urzeczywistnione, to zyski
firmy Beta spadną do 2 mln zł.
Natomiast jeśli Beta uruchomi zakład montażu, a Alfa
nie zrobi tego, to zysk firmy Beta wzrośnie do 11 mln zł,
a zysk firmy Alfa spadnie do 1 mln zł.
Gdyby obydwie firmy uruchomiły zakłady montażu, to
wtedy obie zarobiłyby po 6 mln zł na rok.
Jaką strategię powinna wybrać firma Alfa, a jaką Beta,
aby zyski ich były możliwie jak największe?
8 czerwca 2021
Macierz
Strategie firmy Beta
Kontynuowanie
sprzedaży
Uruchomienie
zakładu
montażu
odbiorników
telewizyjnych
Strategie
firmy Alfa
Kontynuowani
e sprzedaży
0
-3
Uruchomienie
zakładu
montażu
odbiorników
telewizyjnych
6
2
8 czerwca 2021
Gra jest rozwiązana, gdy
wyznaczymy:
wartość gry,
strategię, którą ma zastosować gracz
umieszczony w macierzy wypłat po lewej
stronie, aby zapewnić sobie średnią wygraną
na partię co najmniej równą wartości gry,
strategię, którą ma zastosować gracz
umieszczony w górnej części macierzy
wypłat, aby średnia przegrana na partię nie
była większa niż wartość gry.
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Strategie firmy Beta
Kontynuowanie
sprzedaży
Uruchomienie
zakładu
montażu
odbiorników
telewizyjnych
Najmniejsze
wartości w
wierszach
Min a
ij
Strategie firmy
Alfa
Kontynuowanie
sprzedaży
0
-3
-3
Uruchomienie
zakładu montażu
odbiorników
telewizyjnych
6
2
2
Max (Min a
ij
)
Największe
wartości w
kolumnach
Max a
ij
6
2
Min (Max a
ij
)
8 czerwca 2021
strategia zdominowana
występuje, kiedy gracz posiada
strategię dającą mu wyższą wypłatę bez
względu na to, jak zagra konkurent.
Strategia dominująca
to najlepsza możliwa reakcja na
dowolną strategię zastosowaną
przez konkurenta.
Jej logika nieuchronnie prowadzi
do pogorszenia wyniku, gdy gra
ma charakter niekooperacyjny.
8 czerwca 2021
8 czerwca 2021
Punkt siodłowy
gra posiada punkt siodłowy, jeżeli każdy z graczy
podczas całej gry stosuje tylko jeden sposób
działania.
Punktem siodłowym jest punkt w macierzy wypłat
znajdujący się na przecięciu tych dwóch
sposobów działania, natomiast wypłata w tym
punkcie stanowi wartość gry
V = V
A
=Max (Min a
ij
) = V
B
=Min (Max a
ij
)
Wartość gry jest średnią kwotą przypadającą na
partię, którą wygrałby w długim okresie jeden z
graczy, gdyby obaj stosowali swe najlepsze strategie.
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
KRYTERIA WYBORU
DECYZJI W WARUNKACH
NIEPEWNOŚCI
Kryteria nieprobabilistyczne
Kryteria probabilistyczne
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Kryteria nieprobabilistyczne
MaxiMin
Pesymista (asekurant) określa dla
każdej swojej decyzji najgorszy
możliwy wynik (minimalna
wypłatę) , a następnie
wybiera taką decyzję , dla
której określona minimalna
(gwarantowana) wypłata jest
największa.
p
i
w
k
d
},
max{
:
p
i
p
k
k
w
w
d
}
{
min
ij
j
p
i
a
w
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Kryteria nieprobabilistyczne
MaxiMax
Optymista (ryzykant) określa dla
każdej swojej decyzji najwyższy
możliwy wynik (maksymalną
wypłatę) , a następnie wybiera
taka decyzję , dla której tak
określona maksymalna (ale nie
gwarantowana) wypłata jest
największa.
o
i
w
k
d
},
{
max
:
o
i
i
o
k
k
w
w
d
}
{
max
ij
j
o
i
a
w
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Kryteria nieprobabilistyczne
kryterium Hurwicza
Reguła
Hurwicza
przyporządkowuje
każdej decyzji indeks , który
jest ważoną przeciętną minimalnej
i maksymalnej
wypłaty
wynikającej
z decyzji. Wybierana jest strategia,
której odpowiada maksymalna wartość
Oznaczmy przez - skłonność do bycia
pesymistą przy wyborze strategii
i
d
)
(
i
d
h
)
(
h
]
1
,
0
[
i
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Kryteria nieprobabilistyczne
kryterium Hurwicza
Dla każdej decyzji wyznaczamy
hipotetyczną wygraną
postaci:
Należy wybrać taką decyzję, dla
której hipotetyczna wygrana
jest największa
o
i
p
i
i
w
w
d
h
)
1
(
)
(
i
d
)
(
i
d
h
)}
(
{
max
)
(
:
i
i
k
k
d
h
d
h
d
)
(
i
d
h
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Macierz"żalu"
Macierz wypłat transformujemy do
postaci macierzy "żalu" .
W tym celu: określamy maksymalną
wypłatę dla każdego "stanu natury"
w dalszym postępowaniu obliczamy wartości
elementów według wzoru:
Elementy macierzy "żalu" wyrażają stratę
z powodu podjęcia decyzji nieoptymalnej
z punktu widzenia zaistniałego stanu natury.
ij
a
ij
r
}
{
max
ij
i
j
a
a
ij
r
ij
j
ij
a
a
r
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Kryteria nieprobabilistyczne
Minimax "żalu"
Do macierzy "żalu" stosujemy
postępowanie według reguły
MinMax, tzn. wskazujemy decyzję,
dla której największa strata ("żal")
z powodu źle podjętej decyzji
będzie możliwie najmniejsza, czyli
},
{
min
:
i
i
k
k
r
r
d
}
{
max
ij
j
j
r
r
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Kryteria probabilistyczne
Maksymalna oczekiwana
wygrana
Wybieramy taką decyzję, dla której
wartość oczekiwanej wygranej
(zysku) będzie największa, tj.
)
(
j
s
P
}
{
max
:
a
i
i
a
k
k
E
E
d
j
ij
j
a
i
a
s
P
E
)
(
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Kryteria probabilistyczne
Minimalny oczekiwany "żal"
(strata)
Wybieramy taką decyzję, dla
której wartość oczekiwanej straty
("żalu") będzie najmniejsza, tj.
}
{
min
:
r
i
i
r
k
k
E
E
d
j
ij
j
r
i
r
s
P
E
)
(
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
W zarządzaniu działalnością gospodarczą wynik decyzji
jest zwykle rozpatrywany z punktu widzenia
rentowności danego przedsięwzięcia, a poszczególne
stany natury są wyrażane w postaci efektów
finansowych wynikających z różnych wyników podjętej
decyzji. W takiej sytuacji wartość oczekiwana ma
wymiar finansowy i stąd nazywamy ją
oczekiwanym efektem finansowym.
Parametr ten często oznacza się angielskim skrótem EMV
(Expected Monetary Value) i oblicza się dla każdej
strategii według równania:
gdzie:
- efekt finansowy j-tego stanu natury (wartości
dodatnie dla zysku, wartości ujemne dla strat),
- prawdopodobieństwo uzyskania j-tego efektu
finansowego.
j
n
j
j
P
V
EMV
1
j
V
j
P
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Przykład
Przedsiębiorstwo ma możliwość uruchomienia produkcji i
sprzedaży produktu luksusowego lub produktu popularnego.
Dla każdej opcji decyzyjnej określono - na podstawie prognoz
i analiz danych statystycznych - prawdopodobieństwa
uzyskania sprzedaży dobrej, średniej i miernej oraz efekty
finansowe tych wyników.
Dla produktu luksusowego prawdopodobieństwo wystąpienia
dobrej sprzedaży (z której dochody wyniosą 120000 zł)
wynosi 0,4, sprzedaży średniej (o dochodzie 65 000 zł) - 0,3
oraz sprzedaży miernej (dochód 12 000 zł) - 0,3.
Analogicznie dla produktu popularnego - prawdopodobieństwo
dobrej sprzedaży wynosi 0,5 (dochód 105 000 zł), sprzedaży
średniej - 0,4 (dochód 55 000 zł) i sprzedaży miernej - 0,1
(dochód tylko 20000 zł).
Oceń, która z opcji decyzyjnych dotycząca wyboru nowej
produkcji jest bardziej opłacalna dla przedsiębiorstwa.
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
Rozwiązanie
Obliczamy wartość oczekiwaną dochodu dla produktu
luksusowego (PL):
EMV(PL) = 0,4*120000 + 0,3*65000 + 0,3*12000 =
71100 zł.
Tak więc wartość oczekiwana dla PL wynosi 71 100 zł.
Podobnie liczymy dla produktu popularnego (PP):
EMV(PP) = 0,5*105000 + 0,4*55000 + 0,1*10000 =
75500 zł.
Z porównania wartości EMV(PL) i EMV(PP) wynika, że
korzystniejszą opcją decyzyjną jest wprowadzenie na
rynek produktu popularnego.
8 czerwca 2021
dr inż. Iwona Staniec
STRATEGIA CZYSTA gracz
wybiera jedna konkretną strategię
STRATEGIA MIESZANA gracz
wybiera z określonym
prawdopodobieństwem jedną z
kilku strategii
8 czerwca 2021
Gra 3 o sumie nie zerowej
F
I
R 1
M
A
F I R M A 2
oszustwo uczciwoś
ć
oszustwo 2
2
3,5
1,5
uczciwoś
ć
1,5
3,5
3
3
8 czerwca 2021
8 czerwca 2021
Pretooptymalny
Wynik gry jest nieooptymalny w
sensie Pareto jeżeli gra ma inny
możliwy wynik dający oby graczom
co najwyżej nie gorsze wygrane
Kryterium Pareto jest podstawową
zasada racjonalności grupowej
(wchodzi w konflikt z zasadą
racjonalności indywidualnej)
8 czerwca 2021