ROZKŁAD NORMALNY
ROZKŁAD NORMALNY
Rozkład normalny standardowy
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z [-]
G
[
-]
Rozkład normalny standardowy
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z [-]
G
[
-]
ROZKŁAD NORMALNY
ROZKŁAD NORMALNY
Rozkład normalny standardowy
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z [-]
G
[
-]
Rozkład normalny standardowy
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z [-]
G
[
-]
Z rozkładem normalnym
Z rozkładem normalnym
(Gaussa) zmiennej
(Gaussa) zmiennej
mierzalnej mamy do
mierzalnej mamy do
czynienia wtedy, gdy na
czynienia wtedy, gdy na
wartość tej zmiennej
wartość tej zmiennej
wpływa nieskończenie
wpływa nieskończenie
wiele (w praktyce
wiele (w praktyce
wystarczy samo „wiele”)
wystarczy samo „wiele”)
niezależnych
niezależnych
czynników
czynników
Odległość rzutu piłką
Odległość rzutu piłką
palantową
palantową
• skład włókien mięśniowych,
• zdolności koordynacyjne,
• wysokość ciała,
• stopień wytrenowania ruchu,
• stan zdrowia,
• motywacja,
• kierunek i prędkość wiatru,
• temperatura powietrza.
Rozkład wysokości ciała w
Rozkład wysokości ciała w
populacji mężczyzn
populacji mężczyzn
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0
50
100
150
200
wysokość ciała [cm]
G
[
1
/c
m
]
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0
50
100
150
200
wysokość ciała [cm]
G
[
1
/c
m
]
Kształt krzywej w zależności
Kształt krzywej w zależności
od średniej i odchylenia
od średniej i odchylenia
standardowego
standardowego
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0
10
20
30
40
50
wartość cechy
G
ę
st
o
ść
r
o
zk
ła
d
u
N(20,5)
N(30,3)
5
2
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0
10
20
30
40
50
wartość cechy
G
ę
st
o
ść
r
o
zk
ła
d
u
N(20,5)
N(30,3)
5
2
Rozkład normalny
Rozkład normalny
standardowy
standardowy
średnia z
śr
=0,
odchylenie standardowe =1
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z [-]
G
[
-]
68%
95%
99,9%
średnia z
śr
=0,
odchylenie standardowe =1
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z [-]
G
[
-]
68%
95%
99,9%
Zasada trzech odchyleń
Zasada trzech odchyleń
standardowych
standardowych
• Jeżeli wartość zmiennej dla danego
przypadku oddalona jest
o więcej niż
3 odchylenia standardowe od
średniej
zachodzi uzasadnione
podejrzenie, że mamy do czynienia z
tzw.
błędem grubym
wynikającym z
pomyłki w zapisie danych. Przypadek
taki należy zweryfikować, a wobec
braku sensownego potwierdzenia po
prostu usunąć.
Zmienna unormowana
Zmienna unormowana
Jeżeli przez
oznaczymy wartość średnią, a
przez
odchylenie standardowe dla
populacji, to obliczenia wartości
unormowanej
x
*
i
dokonuje się dla każdej
wartości
x
i
według wzoru:
x*
i
=(x
i
-)/.
W praktyce zwykle nie znamy
i
dla
populacji, posługujemy się więc wzorem:
x*
i
=(x
i
-x
śr
)/s.
Ocena wartości zmiennej na
Ocena wartości zmiennej na
podstawie wartości
podstawie wartości
unormowanej
unormowanej
Jeżeli w populacji mężczyzn
średnia wysokości ciała
wynosi
175±8,1
cm to
wartość unormowana dla
mężczyzny o wysokości 198
wynosi:
h
*
=(198-175)/8,1= 2,84,
a dla mężczyzny o wysokości
165:
h
*
=(165-175)/8,1=-1,23.
Skala T - alternatywny
Skala T - alternatywny
sposób przedstawienia
sposób przedstawienia
wartości unormowanej
wartości unormowanej
T=50+10x
*
,
dla x
*
=2,84 T=78,
dla x
*
=0,00 T=50,
dla x
*
=-1,23 T=38.
Rozkład prawoskośny
Rozkład prawoskośny
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0
5
10
15
20
25
Wartość cechy
Gęstość rozkładu
MODA
MEDIANA
ŚREDNIA
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0
5
10
15
20
25
Wartość cechy
Gęstość rozkładu
MODA
MEDIANA
ŚREDNIA
Transformacja logarytmiczna
Transformacja logarytmiczna
z=log(x)
z=log(x)
0
5
10
15
20
x
z = log
2
(x);
x=1, 2, 4, 8, 16
z=0, 1, 2, 3, 4
0
5
10
15
20
x
z = log
2
(x);
x=1, 2, 4, 8, 16
z=0, 1, 2, 3, 4
Efekt transformacji z=ln(x)
Efekt transformacji z=ln(x)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0
5
10
15
20
25
Wartość cechy
Gęstość rozkładu
MODA
MEDIANA
ŚREDNIA
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0
5
10
15
20
25
Wartość cechy
Gęstość rozkładu
MODA
MEDIANA
ŚREDNIA
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
Gęstość rozkładu
Wartość cechy
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
Gęstość rozkładu
Wartość cechy
Dlaczego tak nam zależy na
Dlaczego tak nam zależy na
normalności rozkładu
normalności rozkładu
danych?
danych?
• Większość testów statystycznych dotyczących
oceny parametrów zmiennych mierzalnych i
zależności między tymi zmiennymi wymaga
normalności rozkładu danych.
• Tablice dystrybuanty standardowego
rozkładu normalnego mogą służyć do
obliczania frakcji przypadających na zadane
przedziały zmiennych.
Ocena normalności rozkładu
- testy normalności
• Test Shapiro-Wilka - małe liczebności (10-50);
• test Lilieforsa - duże liczebności (50+);
• test Kołmogorowa-Smirnowa - duże liczebności.