Dyfuzja w procesach
biologicznych
Dyfuzja w procesach
biologicznych
Wyróżnia się dwa rodzaje
dyfuzji:
- Chemiczną
- Populacyjną
Proces odwrotny
-KLASTERYZACJA-
- osobniki skupiają się w jednym
miejscu
Proces ten można modelować przy
użyciu automatów komórkowych.
Idea automatów komórkowych
została wprowadzona przez
Johna von Neumanna jako
uproszczony model fizyki
rzeczywistego świata.
Równanie dyfuzji substancji
chemicznej:
Model z jedną zmienną przestrzenną
Założenia:
- Substancje A i B są cieczami nie reagującymi ze sobą
- Cząsteczki cieczy przemieszczają się tylko wzdłuż rurki
-Jest to funkcja gładka
substancja A
substancja B
Zmiana stężeń obu substancji następuje
przez ich przepływ przez brzeg badanego
obszaru.
Do opisu tego przepływu stosujemy prawo,
zgodnie z którym masa substancji
przechodząca przez przekrój rurki w ciągu
krótkiego czasu δt jest proporcjonalna do
tego czasu, pochodnej oraz pola
przekroju rurki i wynosi:
∂ A
∂x
pierwszy brzeg
drugi brzeg
, gdzie D – to współczynnik proporcjonalności
Funkcja A(t,x) opisuje stężenie cieczy w zależności
od położenia w rurce x i czasu t
S- pole przekroju
t
x
x
t
A
DS
Q
x
)
,
(
t
x
x
x
t
A
DS
Q
x
x
)
,
(
Ogólne równanie dyfuzji dla jednej zmiennej
przestrzennej:
2
2
)
,
(
)
,
(
x
x
t
A
D
t
x
t
A
Równanie opisujące dyfuzję w
przestrzeni trójwymiarowej o
współrzędnych (x, y, z )
2
2
2
2
2
2
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
z
z
y
x
t
A
y
z
y
x
t
A
x
z
y
x
t
A
A
D > 0
Dodatniość współczynnika
dyfuzji,
oznacza, że dyfuzja jest
jednokierunkowa– zawsze
zachodzi w kierunku od większego
do mniejszego stężenia.
Ruchy Browna
TO LOSOWE PRZEMIESZCZANIE SIĘ Z
MIEJSCA NA MIEJCE
( LOSOWE RUCHY CZĄSTECZEK )
x
x
x
x
x
x
x
x
Analiza losowego ruchu osobnika wzdłuż
prostej.
Założenia:
- W chwili t cząsteczka znajduje się w odcinku [x, x +δx]
- W przedziale czasu [t, t+δt] cząsteczka przeskakuje z
prawdopodobieństwem λ
l
w lewo – do odcinka [x-δx, x]
lub w prawo z prawdopodobieństwem λ
p
do odcinka
[x+ δx, x+ 2δx]
Ilość cząsteczek w rozpatrywanym odcinku wynosi:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
t
u
x
x
t
u
x
t
u
x
x
t
u
x
t
u
x
t
t
u
l
l
p
p
Ruchy Browna-Szereg
Taylor'a
Gdy prawdopodobieństwo skoku w lewo
lub w prawo jest jednakowe to:
...)
)
(
2
1
(
...)
)
(
2
1
(
...
)
(
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
u
x
x
u
x
x
u
x
x
u
t
t
u
t
t
u
l
p
2
1
l
p
...
)
(
2
1
...
)
(
2
1
2
2
2
2
2
2
x
x
u
t
t
u
t
t
u
W równaniu przechodzimy do granicy δt 0
i δx 0 co prowadzi do powstania
równania dyfuzji:
∂u
∂ t
=
D∂
2
u
∂
2
x
DYFUZJA CIECZY A ROZPRZESTRZENIANIE
SIĘ POPULACJI - Skellam
Zaproponował model opisujący populację, która namnaża
się w sposób ciągły ze współczynnikiem rozrodczości α
i rozprzestrzeniania się na pewnym nieograniczonym
terytorium:
funkcja opisująca zagęszczenie
populacji w czasie i przestrzeni
operator Laplace'a –
przemieszczanie się osobników
w przestrzeni
współczynnik dyfuzji –
odzwierciedla mobilność
populacji – chęć osobników do
przemieszczania się
D > 0
N (t, x)
N
D
N
t
N
2
2
x
N
N
Współczynnik
rozrodczości
W układach równań REAKCJI – DYFUZJI można
otrzymać tzw.
niestabilność dyfuzyjną.
- pojawia się ona, jeśli rozwiązanie
stacjonarne stabilne w układzie bez
dyfuzji traci stabilność w układzie z dyfuzją i
zamiast niego pojawia się stabilne rozwiązanie
niejednorodne przestrzennie - wzór
przestrzenny
- Turing zauważył, że wprowadzenie dyfuzji
może zdestabilizować rozwiązanie stacjonarne
jednorodne przestrzennie.
Model melanogenezy :
- Opisuje formowanie się wzorców na skórze
ssaków -
Jest to model, w którym bierze się pod uwagę
reakcję chemiczną prowadzącą do
różnorodnego rozmieszczenia ciemnego
ubarwienia , za które odpowiada melanina.
Opisuje syntezę melaniny z substratu (tyrozyny)
w obecności enzymu ( tyrozynazy).
Równania opisujące syntezę melaniny:
-
małe stężenie składników - szybkość reakcji jest
proporcjonalna do ich stężenia. W miarę wzrostu
stężenia substratu, reakcja ulega wyhamowaniu, a w
mianowniku ułamka zaczyna dominować
składnik liniowy s. W przypadku k = 0 funkcja ta nazywa
się typu Michaelisa-Mentena
-
duże stężenie składników – dominuje wówczas czynnik
kwadratowy i reakcja dławi się samoistnie.
ϱ sa
1sks
2
s
2
STRUMIEŃ DYFUZJI:
- Opisuje go prawo A. Ficka , które mówi, że :
„Strumień cząstek jest zwrócony przeciwnie do
kierunku wzrostu gęstości i jest
proporcjonalny do gradientu gęstości.”
• Pierwsze prawo Ficka stosowane jest kiedy
stężenie strumienia dyfuzji objętościowej nie
zmienia się z czasem Jin = Jout.
W przestrzeni jednowymiarowej strumień
dyfuzji wynosi:
Gdzie:
-D -jest współczynnikiem proporcjonalności dyfuzji
-J jest strumieniem składnika
-φ jest stężeniem
- x jest odległością od źródła dyfundującej substancji
- Drugie prawo Ficka jest stosowane, gdy
strumień dyfuzji zmienia się lokalnie w czasie
:
- W przypadku dyfuzji w przestrzeni dwu lub
więcej wymiarowej drugie prawo Ficka
przyjmuje postać:
TEMPO DYFUZJI TLENU JEST JEDNYM
Z CZYNNIKÓW OGRANICZAJĄCYCH
ROZMIARY CIAŁA ORGANIZMÓW
WIELOKOMÓRKOWYCH, U KTÓRYCH
NIE WYSTĘPUJE UKŁAD
KRWIONOŚNY.
BIBLIOGRAFIA:
- „Matematyka w biologii”. Urszula Foryś,
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne. Warszawa
2005
- „Matematyka dla biologów”. Dariusz Wrzosek,
Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego.
Warszawa 2008
- „Matematyka dla przyrodników i inżynierów”.
Donald A. McQuarrio. Wydawnictwo. Naukowe
PWN, Warszawa 2005