„Nie ma sensu w byciu
precyzyjnym, jeśli nie wiesz
nawet, o czym mówisz.”
John von Neumann
„Nie ma sensu w byciu
precyzyjnym, jeśli nie wiesz
nawet, o czym mówisz.”
John von Neumann
WŁASNOŚCI FUNKCJI.
Miejsce zerowe, monotoniczność, wartość
najmniejsza i największa to najprostsze
własności
funkcji
które
poznajesz
w
gimnazjum. Zdobądź porządne podstawy a
nie będziesz miał problemów z funkcjami w
szkole ponad gimnazjalnej.
DEFINICJA FUNKCJI.
Funkcją określoną na zbiorze X o
wartościach w zborze Y nazywamy takie
przyporządkowanie, które każdemu
elementowi x należącemu do zbioru X
przyporządkowuje dokładnie jeden
element y ze zboru Y.
UWAGA
Podkreślone elementy definicji są bardzo
ważne. Niespełnienie któregoś z nich
sprawia, że dane przyporządkowanie nie jest
funkcją.
Dla przypomnienia:
MIEJSCE ZEROWE
FUNKCJI.
Miejsce zerowe funkcji jest to ten
argument x X, dla którego wartość
funkcji jest równa zero (f(x) = 0).
UWAGA
Zgodnie z definicją miejsce zerowe to argument
funkcji a nie punkt. Często popełnianym błędem jest
podawanie miejsca zerowego jako punktu postaci
(x, 0). Miejsce zerowe to argument, nie punkt.
Funkcja może mieć wiele miejsc zerowych, może
również nie mieć miejsc zerowych.
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 1.
Funkcja f określona jest tabelą:
Jakie są jej miejsca zerowe?
Musimy znaleźć te x dla których y = 0
Miejsca zerowe tej funkcji to x = 3 oraz x = 11
x
-1
0
3
5
9
11
13
y
-12
4
0
8
-1
0
14
x
-1
0
3
5
9
11
13
y
-12
4
0
8
-1
0
14
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 2.
Funkcję f przedstawiono na
wykresie obok. Jakie są miejsca
zerowe tej funkcji?
Na wykresie bardzo łatwo odczytać miejsca
zerowe funkcji. Wystarczy odczytać x w
których wykres przecina oś OX. Miejsca
zerowe tej funkcji to: x = -3, x = -1, x = 1, x
= 2 i x = 4
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 3.
Funkcję f określono grafem. Znajdź jej
miejsca zerowe.
Miejscem zerowym jest ten x, któremu
przyporządkowano 0, a więc miejscem
zerowym funkcji określonej powyższym
grafem jest x = 3
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 4.
Znajdź miejsce zerowe funkcji określonej
wzorem
y = 2x – 4.
Ab znaleźć miejsce zerowe funkcji określonej
wzorem korzystamy bezpośrednio z definicji:
miejsce zerowe funkcji to ten x dla którego y
=
0.
Wstawiamy
do
wzoru
y = 0 i rozwiązujemy równanie:
0 = 2x – 4
4 = 2x /:2
2 = x
Miejscem zerowym tej funkcji jest x = 2.
MONOTONICZNOŚĆ
FUNKCJI.
Monotoniczność funkcji to określenie, czy
funkcja rośnie, jest stała czy maleje.
Wykres funkcji rosnącej:
Funkcja f jest rosnąca gdy dla coraz
większych argumentów wartości funkcji są
coraz większe, czyi gdy dla każdego x
1
X
i x
2
X takich, że x
1
< x
2
zachodzi: f(x
1
) <
f(x
2
)
MONOTONICZNOŚĆ
FUNKCJI.
Funkcja f jest malejąca gdy dla coraz
większych argumentów wartości funkcji są
coraz mniejsze, czyi gdy dla każdego x
1
X i x
2
X takich, że x
1
< x
2
zachodzi: f(x
1
)
> f(x
2
)
Wykres funkcji malejącej:
MONOTONICZNOŚĆ
FUNKCJI.
Funkcja f jest stała gdy po mimo zmiany
argumentów wartości funkcji się nie
zmieniają, czyi gdy dla każdego x
1
X i x
2
X zachodzi: f(x
1
) = f(x
2
).
Wzór takiej funkcji to f(x) = c gdzie c to
stała (liczba, np. f(x) = 3)
Wykres funkcji stałej:
NAJMNIEJSZA I NAJWIĘKSZA
WARTOŚĆ FUNKCJI.
Tych pojęć chyba nie trzeba definiować. Po
prostu najmniejsza wartość funkcji to
najmniejszy y jaki przyjmuje funkcja, a
największa wartość funkcji to największy y
jaki przyjmuje funkcja.
PRZYKŁAD 1.
Wartość największa tej funkcji:
y
max
= 3
Wartość najmniejsza tej funkcji
y
min
= -5
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 2.
Funkcja ta nie ma wartości największej
(wykres biegnie w górę i po prawej nie
kończy się „kółeczkiem” więc rośnie w
nieskończoność).
Wartość najmniejsza: y
min
= -2.
PRZYKŁAD 3.
Wartość największa: y
max
= 4.
Funkcja ta nie ma wartości najmniejszej
(wykres biegnie w dół i nie kończy się
„kółeczkiem”
więc
funkcja
maleje
w
nieskończoność)
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 4.
Podaj wartość największą i najmniejszą
określonej tabelą funkcji.
Wystarczy podać najmniejszy i największy y
z tabeli.
y
max
= 4
y
min
= -4
x
0
1
2
3
4
y
-1
3
4
-4
3
x
0
1
2
3
4
y
-1
3
4
-4
3
WARTOŚCI DODATNIE I
UJEMNE NA WYKRESIE
FUNKCJI.
Z wykresu funkcji łatwo odczytać gdzie
funkcja przyjmuje wartości dodatnie a gdzie
ujemne.
Jeśli wykres biegnie nad osią OX funkcja
przyjmuje wartości dodatnie.
Jeśli wykres biegnie pod osią OX funkcja
przyjmuje wartości ujemne.
WARTOŚCI DODATNIE I
UJEMNE NA WYKRESIE
FUNKCJI.
Na wykresie
kolorem
czerwonym
zaznaczono
miejsca, w których
funkcja przyjmuje
wartości dodatnie,
na zielono miejsca
zerowe, a na
niebiesko miejsca
w których funkcja
przyjmuje wartości
ujemne.
WARTOŚCI DODATNIE I UJEMNE
NA WYKRESIE FUNKCJI.
Z wykresu można
odczytać, że funkcja
przyjmuje wartości
dodatnie dla
x [-6, -5), dla x (-
1, 1) i dla x (5, 6].
Wartości ujemne
funkcja przyjmuje dla
x (-5, -1) i dla x
(1, 5).
Miejsca zerowe tej
funkcji to x = -5, x =
-1, x = 1 i x = 5.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
Zadanie 1.
Odczytaj z wykresu własności funkcji:
- dziedzinę,
-zbiór wartości,
- miejsca zerowe funkcji,
- monotoniczność,
- w jakich przedziałach funkcja przyjmuje
wartości ,dodatnie a w jakich ujemne,
- wartość największą i najmniejszą.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
Zadanie 1 – ciąg dalszy.
- Dziedzinę funkcji odczytujemy na osi OX –
są to wszystkie x dla których istnieje wykres.
Wykres tej funkcji kończy się „kółeczkami”
więc jej dziedzina to przedział: D
f
= [-6, 5].
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
Zadanie 1 – ciąg dalszy.
-Zbiór wartości odczytujemy na osi OY – to
wszystkie y dla których istnieje wykres.
ZW
f
= [-2, 3].
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
Zadanie 1 – ciąg dalszy.
-Miejsca zerowe to te x w których wykres
przecina oś OX, mamy więc: x = -4 i x = 2.
- Funkcja jest rosnąca w przedziale [-6, -1),
malejąca w przedziale (-1, 3), stała w
przedziale (3, 5].
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
Zadanie 1 – ciąg dalszy.
-Funkcja ta przyjmuje wartości ujemne dla x
(-6, -4) oraz dla x (2, 5]. Wartości
dodatnie funkcja przyjmuje dla x (-4, 2).
- Największa wartość tej funkcji to y
max
= 3.
Najmniejsza wartość funkcji to y
min
= -2.