$

"

Logika - wykład 

4

Wynikanie logiczne. Wnioskowania

dr Tomasz Kowalski

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 2 / 39

$

"

Przykład 1

Co mają wspólnego ze sobą zdania:

W czasie tegorocznych wakacji byłem 
w Warszawie i w Krakowie.

A:

W czasie tegorocznych wakacji byłem w 
Warszawie.

B:

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 3 / 39

$

"

Przykład 1

Co mają wspólnego ze sobą zdania:

Jan jest młodszy od Kazimierza.

A:

Kazimierz jest starszy od Jana.

B:

W obu przykładach można 
powiedzieć, że zdanie B 
wynika ze zdania A.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 4 / 39

$

"

Wynikanie logiczne

można zdefiniować na dwa sposoby:

Ze zdania A wynika zdanie B, gdy nie 
jest możliwa sytuacja, aby zdanie A 
było prawdziwe, a jednocześnie zdanie 
B - fałszywe.

1.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 5 / 39

$

"

Wynikanie logiczne

można zdefiniować na dwa sposoby:

Ze zdania A wynika zdanie B, gdy 
prawdziwa jest implikacja:

Jeżeli A, to B.

2.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 6 / 39

$

"

Badanie wynikania logicznego - 

procedura

schemat zdania A

––––––––––––––

schemat zdania B

Aby sprawdzić w praktyce, czy z jednego zdania 
wynika logicznie drugie zdanie, musimy najpierw 
napisać schematy obu zdań. 
Schematy te piszemy (na ogół) w specjalnej formie 
– schemat pierwszego nad kreską, a pod kreską 
schemat drugiego:

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 7 / 39

$

"

Badanie wynikania logicznego - 

procedura

Następnie sprawdzamy, czy jest możliwa sytuacja, 
aby zdanie A było prawdziwe, a B fałszywe. 

Wyciągamy z takich założeń wszelkie konsekwencje – 
podobnie jak to czyniliśmy przy badaniu tautologii i 
kontrtautologii. 

schemat zdania A

––––––––––––––

schemat zdania B

1

0

Gdy taka sytuacja 

jest

 

możliwa – zdanie B 

nie 

wynika

 logicznie ze zdania 

A.

Gdy taka sytuacja 

nie jest

 

możliwa – zdanie B 

wynika

 

logicznie ze zdania A.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 8 / 39

$

"

Przykład – wynikanie 

logiczne

Czy ze zdania: 

Jeśli człowiek ma ważny cel w życiu, to jest 
szczęśliwy.

wynika zdanie:
Jeśli człowiek nie ma ważnego celu w życiu, to nie jest 
szczęśliwy.

p: Człowiek ma ważny cel w 
życiu.

q: Człowiek jest 
szczęśliwy.

p  q

~ p  ~ q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 9 / 39

$

"

Przykład – wynikanie 

logiczne

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że 

zdanie „znad kreski” jest prawdziwe, a zdanie 

„spod kreski” - fałszywe

Brak sprzeczności oznacza, że możliwa jest sytuacja, 
aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie 
fałszywe. 

0

1

1

0

0

1

0

1

p  q

~ p  ~ q

Tym samym w tym przypadku zdanie drugie nie 
wynika logicznie ze zdania pierwszego.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 10 / 39

$

"

Przykład – wynikanie 

logiczne

p  q

p  ~ q

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że 

zdanie „znad kreski” jest prawdziwe, a zdanie 

„spod kreski” - fałszywe

0

1

0

1

0

0

1

Brak sprzeczności oznacza, że możliwa jest sytuacja, 
aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie 
fałszywe. 

Tym samym w tym przypadku zdanie drugie nie 
wynika logicznie ze zdania pierwszego.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 11 / 39

$

"

Przykład – wynikanie 

logiczne

Sprawdzimy, czy ze zdania: 
Jeżeli świadek mówi prawdę, to oskarżony nie jest 
winny.

wynika zdanie:
Świadek nie mówi prawdy lub oskarżony nie jest 
winny.

p: Świadek mówi 
prawdę.

q: Oskarżony jest 
winny.

p  ~ q

~ p  ~ q

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 12 / 39

$

"

Ćwiczenie – wynikanie 

logiczne

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że 

zdanie górne jest prawdziwe, a zdanie 

dolne fałszywe.

0

1

0

0

1

1

1

1

p  ~ q

~ p  ~ q

0

Sprzeczność.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że przedstawione 
wynikanie jest logicznie poprawne.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 13 / 39

$

"

Przykład – wynikanie 

logiczne

Czy ze zdania:
Brutus zabił Cezara:
wynika logicznie zdanie
Brutus zabił Cezara lub Kasjusz zabił Cezara.

p: Brutus zabił Cezara.  

q: Kasjusz zabił Cezara.  

Schemat 
wynikania:

p

p  q

Sprawdzimy, czy jest możliwa 
sytuacja, że zdanie górne jest 
prawdziwe, a zdanie dolne 
fałszywe.

1

0

1

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że przedstawione 
wynikanie jest logicznie poprawne.

Sprzeczność.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 14 / 39

$

"

Przykład – wynikanie 

logiczne

Czy ze zdania:
Brutus zabił Cezara:
wynika logicznie zdanie
Jeżeli Brutus zabił Cezara, to Kasjusz nie zabił 
Cezara.

p: Brutus zabił Cezara.  

q: Kasjusz zabił Cezara.  

Schemat 
wynikania:

p

p  ~ q

Sprawdzimy, czy jest możliwa 
sytuacja, że zdanie górne jest 
prawdziwe, a zdanie dolne 
fałszywe.

1

0

1

Ponieważ jest możliwa sytuacja, że zdanie „znad kreski” 
jest prawdzi-we, a zdanie  „spod kreski”- fałszywe, to 
wynikanie nie jest poprawne.

0

1

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 15 / 39

$

"

Twierdzenie o dedukcji

Do sprawdzania, czy z jednego zdania wynika 
logicznie drugie zdanie, wykorzystać można 
drugą definicję i pojęcie tautologii. 

Ze zdania A wynika logicznie zdanie B wtedy i 
tylko wtedy, gdy formuła A  B jest tautologią. 

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 16 / 39

$

"

Wykorzystanie tautologii w wynikaniu 

logicznym

Jeśli formuła jest tautologią, to oznacza to, 
iż ze zdania pierwszego wynika logicznie 
zdanie drugie; jeśli formuła tautologią nie 
jest, wynikanie nie zachodzi.

W tym przypadku, aby sprawdzić czy z jednego 
zdania wynika drugie, musimy:

1. napisać schematy tych 
zdań, 

2. połączyć je spójnikiem 
implikacji, 

3. sprawdzić, czy tak zbudowana formuła jest 
tautologią. 

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 17 / 39

$

"

Przykład – wynikanie 

logiczne

Sprawdzić, czy ze zdania: 

Gospodarka rozwija się dobrze wtedy i tylko wtedy, 
gdy podatki nie są wysokie, 

wynika logicznie zdanie:

 Jeżeli podatki są wysokie, to gospodarka nie rozwija 
się dobrze.

p: Gospodarka rozwija się 
dobrze, 

q: Podatki są 
wysokie.

p  ~ q

q  ~ p

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 18 / 39

$

"

Przykład – wynikanie 

logiczne

p  ~ q

q  ~ p

Formuła powstała z połączenia implikacją 
schematów zdań wygląda następująco:

( p  ~ q ) 



 ( q  ~ 

p )

Otrzymana sprzeczność świadczy, że formuła jest 
tautologią, a więc, zgodnie z twierdzeniem o 
dedukcji, ze zdania pierwszego wynika logicznie 
zdanie drugie. 

Sprawdzimy, czy formuła 
może stać się schematem 
zdania fałszywego tzn. czy 
pod głównym spójnikiem 
może pojawić się 0.

0

1

0

1

0

1

1

1

0

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 19 / 39

$

"

Przykład – wynikanie 

logiczne

Sprawdzić, czy ze zdania: 

Jeśli na imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się 
nie udała, 

wynika logicznie zdanie:

 Jeśli impreza się nie udała, to był na niej Zdzisiek 
lub Wacek. .

p: Zdzisiek był na imprezie. 

q: Wacek był na 
imprezie.

( p  q )  ~ 

r

~ r  ( p  

q )

r: Impreza udała 
się.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 20 / 39

$

"

Przykład – wynikanie 

logiczne

( p  q )  ~ 

r

~ r  ( p  

q )

Formuła powstała z połączenia implikacją 
schematów zdań wygląda następująco:

[ ( p  q )  ~ r ] 



 [ ~ r  ( p  q )]

Brak sprzeczności świadczy, że formuła nie jest 
tautologią.          A zatem ze zdania pierwszego nie 
wynika logicznie zdanie drugie. 

Sprawdzimy, czy formuła 
może stać się schematem 
zdania fałszywego tzn. czy 
pod głównym spójnikiem 
może pojawić się 0.

0

1

0

1

0

0

0

0

0 0

0

0

1

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 21 / 39

$

"

Wnioskowanie logiczne

Przypomnijmy: logika zajmuje się dowodzeniem. 
Nie w sensie militarnym, lecz dowodzeniem 
rozumianym jako uzasadnianie rozumowań i 
wnioskowań.

Wnioskowanie jest to proces myślowy, podczas 
którego na podstawie uznania za prawdziwe 
pewnych zdań (przesłanek) dochodzimy do uznania 
za prawdziwe kolejnego zdania (wniosku). 

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 22 / 39

$

"

Uzasadnienia nielogiczne

Nie są prawomocne np. uzasadnienia odwołujące sie 
do:

1. autorytetu lub powszechnych mniemań,

2. myślenia życzeniowego,

3. ustaleń na drodze demokratycznych 
wyborów,

4. przemocy, pochlebstwa, itp.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 23 / 39

$

"

Przykład wnioskowania

1. Jeśli jaskółki rano nisko latają, to po 
południu będzie deszcz.

2. Dziś rano jaskółki nisko latają.

 

Dziś po południu będzie 
padać.

Wniosek:

Przesłanki:

Jest to wnioskowanie wg tzw. reguły 
odrywania.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 24 / 39

$

"

Przykład wnioskowania

1. Jeśli jest wypłata, to Jan wraca do domu 
pijany.

2. Dziś Jan wrócił z pracy trzeźwy.

 

Dziś nie było wypłaty.

Wniosek:

Przesłanki:

Jest to wnioskowanie wg tzw. reguły modus 
tollendo tollens.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 25 / 39

$

"

Reguła wnioskowania

Sprawdzenie poprawności wnioskowania 
rozpoczynamy od napisania schematów wszystkich 
zdań wchodzących w jego skład. 

Taki układ schematów nazywamy regułą 
wnioskowania .

schematy przesłanek

––––––––––––––

schemat wniosku

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 26 / 39

$

"

Reguły dedukcyjne i 

niededukcyjne

Wśród reguł wyróżniamy:

1.reguły dedukcyjne (inaczej mówiąc 

niezawodne),

2.reguły niededukcyjne (zawodne). 

Reguła dedukcyjna (niezawodna) jest to 
taka reguła, w której wniosek wynika 
logicznie z przesłanek.

Reguła niededukcyjna (zawodna) - 
wniosek nie wynika logicznie z 
przesłanek. 

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 27 / 39

$

"

Badanie dedukcyjności 

reguły

Badanie dedukcyjności reguły przeprowadzamy 
sprawdzając, czy możliwa jest sytuacja, aby 
wszystkie przesłanki były prawdziwe, a 
jednocześnie wniosek fałszywy. 

schematy przesłanek

––––––––––––––

schemat wniosku

1

0

Gdy taka sytuacja 

jest

 

możliwa –wnioskowanie 

nie 

jest

 poprawne.

Gdy taka sytuacja 

nie jest

 

możliwa – wnioskowanie 

jest

 poprawne.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 28 / 39

$

"

Przykład - wnioskowanie 

dedukcyjne

Sprawdzić, czy następujące wnioskowanie jest 
dedukcyjne:

Jeśli będę pracować całą  noc, to rozwiążę 
wszystkie zadania. 
Gdy rozwiążę wszystkie zadania, zrozumiem 
materiał. 
Zatem: Jeśli będę pracować całą, noc, to 
zrozumiem materiał i rozwiążę wszystkie zadania.

q: Rozwiążę wszystkie 
zadania.

p: Będę pracować całą  
noc.

r: Zrozumiem materiał.

 p  q 

q  r

p  ( r  q )

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 29 / 39

$

"

Przykład - wnioskowanie 

dedukcyjne

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że 

wszystkie przesłanki są prawdziwe, ale 

wniosek jest fałszywy.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wnioskowanie 
jest poprawne.

p  q,

p  ( r  q )

q  r

1

1

0

1

0

1

1

1 1

1 1

Sprzeczność.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 30 / 39

$

"

Przykład - badanie 

niezawodności reguły

Sprawdzić, czy następujące wnioskowanie jest 

dedukcyjne: 

Jeśli Kubuś wyjadł miodek, to o ile miodek był 
w dzbanku, to Kubuś ubrudził sobie łapki.

Kubuś nie ubrudził sobie 
łapek. 

Zatem: Kubuś nie wyjadł miodku lub miodku nie 
było w  dzbanku

p: Kubuś wyjadł 
miodek.

q: Miodek był w 
dzbanku.

r: Kubuś ubrudził sobie 
łapki.

p  ( q  r )

~ r

~ p  ~ 

q 

Dokonamy symbolizacji zdań 

występujących jako przesłanki i 

wniosek.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 31 / 39

$

"

Przykład - badanie 

niezawodności reguły

p  ( q  r ),

~ r

~ p  ~ 

q 

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że 

wszystkie przesłanki są prawdziwe, ale 

wniosek jest fałszywy.

1

1

0 0 0

1

1

0

0

1

0

1

Sprzeczność.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wnioskowanie jest 
poprawne.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 32 / 39

$

"

Przykład - badanie 

niezawodności reguły

Argumentacje kalifa Omara na temat konieczności 
spalenia Biblioteki Aleksandryjskiej: 
 
Jeżeli  wasze książki są zgodne z Koranem, to one są 
zbyteczne.
Jeżeli  wasze książki nie są zgodne z Koranem, to one 
są  szkodliwe.
Szkodliwe lub zbyteczne książki muszą być zniszczone.
_________________________________________
        Wasze  książki muszą być zniszczone.

p: Książki są zgodne z 
Koranem.

q: Książki są zbyteczne.

r: Książki są szkodliwe.
s: Książki muszą być 
zniszczone.

p  q

~ p  r 

s 

( q  r )  

s

Dokonamy symbolizacji zdań 

występujących jako przesłanki i 

wniosek.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 33 / 39

$

"

Przykład - badanie 

niezawodności reguły

p  q,

~ p  r 

,

s 

( q  r )  

s

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że 

wszystkie przesłanki są prawdziwe, ale 

wniosek jest fałszywy.

1

1

1

0

0

0

0 0

0

0

0

0

1

Sprzeczność.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że badana reguła 
jest niezawodna, a wnioskowanie poprawne.

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 34 / 39

$

"

Do dyskusji

  p  q 
~ p  ~ q 

[Jeśli] jest człowiek, [to] jest problem. 

[Jeśli] nie ma człowieka, [to] nie ma 
problemu. 

Czy ze zdania pierwszego wynika logicznie zdanie 
drugie:

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 35 / 39

$

"

Do dyskusji

  p  q 
~ q  ~ p 

[Jeśli] jest człowiek, [to] jest problem. 

[Jeśli] nie ma problemu, [to] nie ma 
człowieka.

Poprawne wynikanie:

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 36 / 39

$

"

Zadanie

W pokoju jest pięciu mężczyzn. Każdy z nich jest albo 
kłamcą (zawsze kłamie),  albo prawdomównym 
(zawsze mówi prawdę). 

Każdemu z tych mężczyzn zadano pytanie:                    
                            "Ilu kłamców jest wśród was?" 

Padły odpowiedzi: "jeden", "dwóch", "trzech", 
"czterech", "pięciu". 

Ilu kłamców jest w tym pokoju? 

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 37 / 39

$

"

Wykładowcy

Korytarzem szkolnym zmierza na zajęcia dwóch 
nauczycieli akademickich. 

Jeden, młody dźwiga pod pachami pomoce 
naukowe, książki, konspekty, a drugi - starszy już, 
doktor idzie tylko z małym notesem w dłoni... 

Młody podsumowuje tę sytuację:

- Kolega to ma dobrze, kolega to wszystko ma już w 
głowie!

Na to odpowiada ten drugi:

- Znacznie niżej drogi kolego, znacznie niżej. 

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 38 / 39

$

"

Wnioskowanie dedukcyjne

Przychodzi synek do mamusi i pyta:

- Mamusiu, to prawda, że dzieci przynosi bocian?

- Tak synku. 

- To mamusiu po co właściwie trzymamy tatę?

- A Święty Mikołaj przynosi prezenty? 

- Tak kochanie. 

- A Ty gotujesz, sprzątasz i robisz zakupy? 

- Tak skarbie. 

 Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne. 

Wnioskowania

 Slajd nr 39 / 39

$

"