Mechanika 

Mechanika 

Ogólna

Ogólna

Statyka 

Statyka 

Wykład II

Wykład II

Adam F. 

Adam F. 

Bolt

Bolt

2

 

Plan wykładu

Plan wykładu

Część I  Statyka



Pojęcia i zasady mechaniki technicznej



 Zbieżne układy sił



 Podstawy redukcji układów sił



 Redukcja i równowaga płaskich układów 
sił



 Tarcie



Przestrzenny układ sił



Środki ciężkości

Wykład II
Zbieżne układy 
sił

Plan wykładu

 

 

 Zbieżne układy 
sił



Płaski układ sił zbieżnych



 Przestrzenny układ sił zbieżnych



 Równowaga płaskiego układu sił 
zbieżnych



Równowaga trzech sił 
nierównoległych



Równowaga przestrzennegogo 
układu sił zbieżnych

Sposób geometryczny 
wyznaczania wypadkowej



Polega na zbudowaniu woieloboku 
sił, w którym wektory sił odkłada 
się rónolegle do ich linii działania 
(jako wektory swobodne)

Płaski układ sił zbieżnych:



Płaski układ sił zbieżnych P

1

, 

P

2

,P

3

, ... P

n 

przyłożonych do punktu 

O można zastąpić siłą wypadkową P 
równą sumie geometrycznej tych sił 
i przyłożoną również  w punkcie O.

Płaski i przestrzenny układ sił 

zbieżnych:

Sposób 

Sposób 

analityczny

analityczny

Sposób 

Sposób 

analityczny

analityczny

Sposób analityczny

Sposób analityczny

Twierdzenie o rzucie sumy wektorów

 

Wyznaczenie wypadkowej P i kąta 

Wyznaczenie wypadkowej P i kąta 





• wyznaczenie składowych P

x 

i P

y

Określenie wartości liczbowych wypadkowej P 
i kąta 



 

Przestrzenny układ sił zbieżnych

Przestrzenny układ sił zbieżnych P P . . 
„ P, przyłożonych do jednego punktu O 
można zastąpić jedną siłą wypadkową P 
przyłożoną w tymże punkcie i równą 
sumie geometrycznej tych sił.

Wypadkowa dowolnej liczby n sił przyłożonych do jednego 

Wypadkowa dowolnej liczby n sił przyłożonych do jednego 

punktu

punktu

Sposób geometryczny 
wyznaczania wypadkowej

Zastosowanie zasday równoległoboku

Zastosowanie zasday równoległoboku

Oznaczając kąty 
nachylenia sił do 
osi x, y, z przez:












, (i 

=1,2,..,n),
Oblicza się 
wartości 
algebraiczne 
rzutów 
wypadkowej P 
sił P

i

, na 

odpowiednie osie 
układu

Sposób analityczny wyznaczenia 
wypadkowej

Aby wyznaczyć wypadkową układu sił P

1, 

P

2

 ,....,P

n

, których 

linie działania przechodzą przez punkt 0, przyjmuje się 
prostokątny układ osi Oxyz.

Obliczenie wartości  

Obliczenie wartości  

składowych

składowych

Sposób analityczny wyznaczenia 
wypadkowej

Określenie 

Określenie 

wartości 

wartości 

liczbowej  

liczbowej  

( modułu ) 

( modułu ) 

wypadkowej 

wypadkowej 

P

P

 

 

oraz jej 

oraz jej 

cosinusów 

cosinusów 

kirunkowych

kirunkowych

Sposób analityczny wyznaczenia 
wypadkowej cd.

Równowaga
płaskiego i przestrzennego 
układu sił zbieżnych

 

Równowaga płaskiego układu sił 

zbieżnych

•W szczególnym przypadku suma geometryczna 
płaskiego układu sił zbieżnych może być równa 
zeru.

•Wielobok zbudowany z tych sił jest wielobokiem 
zamkniętym a układ jego jest w równowadze.

 

Warunki równowagi płaskiego układu sił 

zbieżnych

Rozwiązywanie  zagadnień równowagi 
płaskiego układu sił zbieżnych

•  

Dla układu sił zbieżnych o 

określonych liniach działania, należy 
dysponować danymi liczbowymi (n — 
2) sił. 
•  Wartości liczbowe dwóch 
niewiadomych sił można wyznaczyć z 
warunku równowagi

• Zakłada się, że na bryłę działają trzy 
nierównoległe siły P P i P (rys. a), będące w 
równowadze.

Równowaga trzech sił nierównoległych

m

m

m

m



wypadkowa dwóch z tych sił (np. P

1

 i P

2

 czyli 

P

1,2

 musi się równoważyć z siłą trzecią P

3

 a 

więc siły P

1,2

 i P

3

 muszą być równe co do 

wartości liczbowych, przeciwne co do 
kierunku i muszą działać wzdłuż jednej 
prostej.



 Stąd wynika, że linia działania siły P

3

 musi 

przechodzić także przez punkt 0, w którym 
przecinają się linie działania sił P

1

 i P

2

 .



 Oprócz tego, wielobok (trójkąt) sił P

1

 ,P

2

 i P

3

  

musi być zamknięty (rys. b).

Równowaga trzech sił nierównoległych

Równowaga przestrzennego układu sił 
zbieżnych

Równowaga przestrzennego układu sił 
zbieżnych

Warunek  równowagi w postaci 

Warunek  równowagi w postaci 

wektorowej

wektorowej

Równowaga przestrzennego układu sił 
zbieżnych

Przy rozwiązywaniu zagadnień równowagi 
dotyczących n sił zbieznych o określonych 
liniach działania musimy dysponować 
danymi liczbowymi (n-1) sił. 

Wartości pozostałych trzech niewiadomych 
możemy wyznaczyć z równań równowagi.

Przy układaniu równań równowagi możemy 
rzutować siły na trzy dowolne nierównoległe 
do jednej płaszczyzny osi i nie musimy 
ograniczać się do osi wzajemnie 
prostopadłych ( rzut wypadkowej na każdą 
oś jest równy zeru).

Dziekuje:D