W wielu badaniach medycznych 

gromadzimy dane będące liczebnościami. Na 
przykład możemy klasyfikować chorych w 
badanej próbie do różnych kategorii pod 
względem wieku, płci czy natężenia choroby, 
czyli kilku badanych cech. Przedstawiane do 
tej pory w naszym cyklu metody statystyczne 
stają się użyteczne dla danych jednej cechy, 
danymi jakościowymi lub ilościowych. 
Techniki statystyczne omówione w tym 
odcinku należą do najbardziej przydatnych w 
analizie danych jakościowych i ilościowych. 
Umożliwiają one dokonanie oceny zależności 
między zmiennymi tego typu. 

Wykład 3. 

ANALIZA 

WSPÓŁZALEŻNOŚCI

 

 

Tabele wielodzielcze (kontyngencji).

 

 

Tabele wielodzielcze (kontyngencji). 

• Pierwszym krokiem jest przedstawienie zebranych danych 

indywidualnych w postaci tabeli wielodzielczej (kontyngencji). 

Wymaga to zliczenia jednostek w odpowiednich komórkach 

tabeli z danymi. Zliczanie to bez użycia komputera jest 

żmudne, zwłaszcza dla dużej liczby przypadków. 

• Tabele wielodzielcze stanowią podstawę do obliczania 

pozostałych statystyk określających siłę związku. Tabela 

wielodzielcza przedstawia rozkład obserwacji ze względu na 

kilka cech jednocześnie. 

Załóżmy, że dysponujemy n obserwacjami dla jakościowej cechy 

X (posiadającej kategorie X1, X2, ... Xk) i jakościowej cechy Y 

(o kategoriach Y1, Y2, ...Yp) (tab. 1). 

Liczebności nij określają liczbę elementów próby, dla których 

cecha X ma wariant Xi i jednocześnie cecha Y - wariant Yj. 

Tablica wielodzielcza pokazuje więc określony łączny rozkład 

obu cech. Liczebności w ostatnim wierszu i w ostatniej 

kolumnie nazywamy empirycznymi brzegowymi rozkładami, 

odpowiednio cechy Y i cechy X. 

Na przykład, chcąc ocenić wpływ używek (papieros, kawa, 

alkohol) na pewną chorobę, zebraliśmy dane na temat ich 

używania w grupie 90-osobowej. Zastosowano podział na 4 

kategorie: nigdy (tzn. nie używano nigdy), niewiele (używano w 

małych ilościach), średnio (używano w średnich ilościach) i 

dużo (używano w dużych ilościach). 

 

 

Przykład tabeli wielodzielczej

Grupa

Kobiety

Mężczyźni

Razem

n

%

n

%

n

%

Cukrzyca

25

35,7

20

40,0

45

37,5

Bez 

cukrzycy

45

64,3

30

60,0

75

62,5

 

 

Tabela 

Lp.

Kawa

Papierosy

Alkohol

Płeć

1

nigdy

dużo

niewiele

m

2

niewiele

nigdy

nigdy

m

3

dużo

dużo

średnio

k

4

niewiele

niewiele

dużo

m

5

średnio

niewiele

niewiele

k

6

dużo

dużo

dużo

m

7

nigdy

średnio

niewiele

k

8

srednio

dużo

nigdy

m

9

nigdy

nigdy

średnio

k

10

dużo

dużo

dużo

m

Zliczając otrzymane dane dla papierosów i płci, otrzymamy 
następującą tabelę wielodzielczą (tab. 3) 

 

 

Tabela 3

 

Płeć

Papiero
s
nigdy

Papiero
s

niewiel
e

Papiero
s
średnio

Papiero
s
dużo

Razem

kobieta 11

8

6

5

30

mężczy
zna

4

4

28

24

60

razem

15

12

34

29

90

Widać wyraźną przewagę mężczyzn w grupie 

palących dużą lub średnią liczbę papierosów, natomiast 
około 3-krotnie więcej kobiet niż mężczyzn nigdy nie 
paliło. Informacje byłyby bogatsze po dołączeniu danych 
odsetkowych. Odsetki wylicza się względem: ostatniej 
rubryki (płci), ostatniego wiersza (liczby wypalanych 
papierosów) oraz całkowitej liczby respondentów. 
Następny etap analizy statystycznej tak zebranych danych 
to próba weryfikacji hipotezy, że dwie jakościowe cechy w 
populacji są niezależne

. 

 

 

 

Najczęściej stosowanym narzędziem jest test    . 

. 

Został on opracowany przez Karla Pearsona w 
1900 roku i jest metodą, dzięki której można się 
upewnić, czy dane zawarte w tabeli 
wielodzielczej dostarczają wystarczającego 
dowodu na związek tych dwóch zmiennych. Test  
   

polega na porównaniu częstości 

zaobserwowanych z częstościami oczekiwanymi 
przy założeniu hipotezy zerowej (o braku związku 
między tymi dwiema zmiennymi). Częstości 
oczekiwane obliczamy, wykorzystując częstości 
marginalne (z tablicy wielodzielczej) według 
następującego wzoru: 

Wówczas hipotezę zerową orzekającą, że cechy X 
i Y są niezależne, możemy zweryfikować testem 
według następującego schematu:

 

 

Weryfikacja hipotezy 

zerowej: 

H0: cechy X i Y są 

niezależne 

Wobec hipotezy 

alternatywnej: H1: cechy X 

i Y są zależne 

Do weryfikacji hipotezy 

stosujemy statystykę: 

gdzie E - oczekiwana częstość komórki oraz O - 
obserwowana częstość komórki 
Przy założeniu hipotezy zerowej opisywana 
statystyka ma asymptotyczny rozkład 

o s = (k - 1) (p - 1) 
stopniach swobody

 

 

 

Rys. 1. 
Na przykład badano zależność między liczbą 
wypalanych papierosów a wystąpieniem 
pewnych zmian patologicznych w płucach w 
grupie 1500 osób. Zebrane dane przedstawiono 
w wielodzielczej tabeli 4. 
Tabela 4

 

   

Niepalący

Palący

mało

Palący

dużo

Razem

zmiany 

występują

ce

51

250

560

861

zmian nie 

ma

370

210

59

639

razem

421

460

619

1500

 

 

Wyliczymy wartość oczekiwaną E11. Zgodnie z 

definicją: 

Wyniki obliczeń pozostałych wartości oczekiwanych 

przedstawiono w tabeli 5. w nawiasach obok wartości 

obserwowanych.

 

Tabela 5 

   

Niepalący

Palący
mało

Palący
dużo

Razem

zmiany
występują

51
(241,654)

250
(264,04)

560
(353,306)

861

zmian
nie ma

370
(179,346)

210
(195,96)

59
(263,694)

639

razem

421

460

619

1500

Wartość statystyki 

wynosi 

 
701,0731

Z kolei wartość krytyczna odczytana z tablic dla poziomu istotności  alfa = 0,001 wynosi 13,817 

alfa

 = 13,817. Pozwala więc nam odrzucić 

hipotezę zerową

 > 

i stwierdzić, że na poziomie istotności alfa = 0,001 istnieje 
zależność między liczbą wypalanych papierosów dziennie a 
wystąpieniem patologicznych zmian w płucach. 

701,0731.

 

 

Błąd standardowy SE=

n

S

Rozstęp = wartość największa-wartość 
najmniejsza
Mediana Me=wartość środkowa w 
posortowanych danych
Modalna – wartość najczęściej 
występująca
Są to miary położenia i rozproszenia 
(zmienności)
Zadanie: s=4; SE=?
125,134,146,134,130
Me=?            Modalna=?

 

 

Przedział ufności dla średniej 

w populacji





 - nieznana średnia w populacji, 

•  , s średnia i odchylenie standardowe 

obliczone z próby dla cechy X, mającej 
rozkład normalny, to 

• P(     -1,96s< 



 <     +1,96s)=0,95  

• Przykład        =175; s=10, to 
• P(155,4< 



 < 194,6)=0,95

 

 

ANALIZA 

WSPÓŁZALEŻNOŚCI

Analiza  struktury  zjawisk  dotyczyła jednej 

cechy. W praktyce jednak bywa tak, że 
badane      jednostki  statystyczne   
charakteryzowane   są przez  kilka  cech.  
Cechy  te  nie  są  od siebie odizolowane,   
mają   na   siebie   wpływ   oraz posiadają  
wzajemne uwarunkowania. Dlatego często   
     zachodzi        potrzeba        badania 
współzależności   między   tymi   cechami.

   

     

        

 

 

Kowariancja  jest średnią arytmetyczną 

iloczynu odchyleń  zmiennych   X  i  Y   

od   ich   średnich arytmetycznych: 

        

        Rozpatrując      kowariancję      uzyskać    

  można następujące   informacje   o   

istniejącym   związku pomiędzy  

zmiennymi  X  i  Y:

1. Jeżeli cov(x,y)>0 – dodatnia korelacja
2. Jeżeli cov(x,y)<0 – ujmena korelacja
3. Jeżeli cov(x,y)=0 – brak korelacji







 

















n

i

i

i

y

y

x

x

n

y

x

1

1

,

cov

 

 

Przeprowadzając   analizę   można   spotkać   

dwa rodzaje współzależności zmiennych:

1. Współzależność  funkcyjną,   polegającą   

na   tym, że   zmiana    wartości    jednej   

zmiennej   pociąga określoną  zmianę  

wartości  drugiej  zmiennej. 

2. Współzależność  stochastyczną  

(probabilistyczną), polegającą  na  tym,  

że   wraz   ze   zmianą   jednej zmiennej 

zmienia się rozkład prawdopodobieństwa 

drugiej    zmiennej.     Szczególnym    

przypadkiem zależności       

stochastycznej       jest       zależność 

korelacyjna.   

 

 

Zależności korelacyjne zachodzą 

wówczas, gdy określonym wartościom 
jednej  zmiennej odpowiadają      ściśle 
     określone    średnie wartości   
drugiej   zmiennej. 

        Zdarzają   się  jednak  sytuacje,  w  

których nie    istnieje     
współzależność     (korelacja) ale   ma   
miejsce   zbieżność   występowania 
zjawisk.  Taką  zbieżność określa się 
mianem korelacji pozornej. 

 

 

Najczęściej     spotykanymi     metodami 

wykrywania  związków  korelacyjnych są:

Metoda        porównywania        

przebiegu szeregów     statystycznych.

Metoda     graficzna.

 

 

 

 

          y

i 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                         

             0                                                                   x

i

    

 

 

 

 

          y

i 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                         

             0                                                                   x

i

    

 

 

Związek ujemny (wzrost wartościchy X indukuje obniżanie 

wartości cechy Y)

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

Związek dodatni

Brak związku

 

 

Cechę    dwuwymiarową    oznacza     się    jako 

uporządkowaną       parę     (X,Y).      Składowymi 
mogą       być       zarówno      cechy      ilościowe    
 jak  i  jakościowe.  To  od  tego, z jakimi cechami 
mamy    do   czynienia   zależy   wybór    sposobu 
opisu   współzależności. 

        Podstawą    analizy   jest  zbiorowość  

jednostek        scharakteryzowanych      parą   
własności                 ,

   gdzie i=1,2,...,n. 
        Badając  zbiorowość  jednostek  pod  względem 

 

wyróżnionych cech otrzymuje się ciąg par  wartości:

 



 







.

,

,...,

,

,

,

2

2

1

1

n

n

y

x

y

x

y

x





i

i

y

x ,

 

 

MIARY 

WSPÓŁZALEŻNOŚCI

Do badania zależności między zmiennymi  

X i Y wykorzystuje     się     najczęściej    
współczynnik korelacji  liniowej  
Pearsona,  będący  miarą   siły związku  
    prostoliniowego     między     dwiema 
cechami mierzalnymi. Współczynnik ten 
wylicza się ze wzoru:

 

     gdzie:
     cov(x,y) - kowariancja zmiennych X i Y
s             - odchylenie standardowe.





   

y

s

x

s

y

x

r

xy





,

cov

 

 

Kowariancja  jest średnią 

arytmetyczną iloczynu odchyleń  
zmiennych   X  i  Y   od   ich   
średnich arytmetycznych: 







 

















n

i

i

i

y

y

x

x

n

y

x

1

1

,

cov

Rozpatrując      kowariancję      uzyskać   

   można następujące   informacje   o   
istniejącym   związku pomiędzy  
zmiennymi  X  i  Y:

Jeżeli cov(x,y)>0 – dodatnia korelacja
Jeżeli cov(x,y)<0 – ujmena korelacja
Jeżeli cov(x,y)=0 – brak korelacji

 

 

Kowariancji        nie         można          stosować   

  do   bezpośrednich   porównań.   Dlatego 
jest ona standaryzowana  przez  odchylenia  
standardowe, dzięki    czemu    otrzymuje    
się    współczynnik korelacji  liniowej  
Pearsona.

        Właściwości współczynnika korelacji:
1. Przyjmuje wartości z przedziału <-1;1>
2. Dodatni znak świadczy o  dodatnim,  zaś  

ujemny o ujemnym związku korelacyjnym

3. Im                    ,  tym        związek       

korelacyjny   jest     silniejszy.

0



xy

r

 

 

Sposoby komentowania współczynnika 

korelacji

:

a)                       -    współzależność    nie   występuje,
b)                       -    słaby   stopień    współzależności,
c)                       -    umiarkowany     (średni)    stopień    

             współzależności,

d)                        -    znaczny  stopień współzależności,
e)                        -    wysoki  stopień  współzależności,
f)                        -    bardzo           wysoki          stopień   

                                               

    współzależności,

g)                        -   całkowita (ścisła) współzależność 
                                    (zależność    funkcyjna   pomiędzy
                                     badanymi  cechami).

0



XY

r

3

,

0

0





XY

r

5

,

0

3

,

0





XY

r

7

,

0

5

,

0





XY

r

9

,

0

7

,

0





XY

r

1

9

,

0





XY

r

1



XY

r

 

 

• Współczynnik korelacji liniowej Pearsona 

(dalej nazywany po prostu współczynnikiem 

korelacji), wymaga, aby zmienne były 

ciągłe. Określa on stopień proporcjonalnych 

powiązań wartości dwóch zmiennych. 

Wartość korelacji (współczynnik korelacji) 

nie zależy od jednostek miary, w jakich 

wyrażamy badane zmienne, np. korelacja 

pomiędzy wzrostem i ciężarem będzie taka 

sama bez względu na to, w jakich 

jednostkach (cale i funty czy centymetry i 

kilogramy) wyrazimy badane wielkości. 

Określenie "proporcjonalne" znaczy zależne 

liniowo, to znaczy, że korelacja jest silna, 

jeśli może być opisana przy pomocy linii 

prostej (nachylonej do góry lub na dół).

 

 

Analizę  współzależności   należy   

uzupełnić o      współczynnik      
determinacji,      będący kwadratem  
współczynnika  korelacji  liniowej 
Pearsona (      ).

        Współczynnik  determinacji  

informuje,  jaka część  zmiennej  
objaśnianej  jest   wyjaśniona przez 
zmienną objaśniającą. Przy pomocy 
tego współczynnika   można   
wnioskować,  czy  na zmienną  
objaśniającą  wpływają również inne 
czynniki, nie podlegające badaniu. 

2

xy

r

 

 

Prosta regresji: y=ax+b, 

gdzie 

a = cov(x,y)/

S^2;  b=     - a

• Linia, o której mowa, nazywa się linią regresji 

albo linią szacowaną metodą najmniejszych 
kwadratów, ponieważ jej parametry określane są 
w ten sposób, by suma kwadratów odchyleń 
punktów pomiarowych od tej linii była 
minimalna. Zwróćmy uwagę, że fakt podnoszenia 
odległości do kwadratu powoduje, iż 
współczynnik korelacji reaguje na sposób 
rozmieszczenia danych (jak to zobaczymy w 
dalszej części opisu).

•   

x

y

yy

 

 

Tabele wielodzielcze

• Tabele wielodzielcze
•   W wielu badaniach medycznych 

gromadzimy dane będące 

liczebnościami. Na przykład możemy 

klasyfikować chorych w badanej próbie 

do różnych kategorii pod względem 

wieku, płci czy natężenia choroby. 

Przedstawiane do tej pory w naszym 

cyklu metody statystyczne stają się 

bezużyteczne dla danych tego typu, 

zwanych danymi jakościowymi. 

 

 

W   sytuacji,   gdy   obserwacje   

statystyczne dotyczące   badanych   
zmiennych   są   liczne, bazowanie   na   
wartościach    szczegółowych może  być  
uciążliwe.   W   celu   zapewnienia 
przejrzystości zebranych danych 
sporządza się wówczas tablicę korelacyjną.

         Na   skrzyżowaniu   kolumn    z    

wierszami wpisuje się liczebności 
jednostek  zbiorowości statystycznej,     u    
których    zaobserwowano jednoczesne      
występowanie       określonych wartości      
 i      .

i

x

i

x

i

y

 

 

Schemat tablicy 

korelacyjnej:

 x

i

             y

j 

y

1

 

y

2

 

... 

y

t

 

i

t

i

ij

n

n 



1

 

x

1

 

x

2 

. 
. 
. 

x

k 

n

11

 

n

21

 

. 
. 
. 

n

k1

 

n

12

 

n

22

 

. 
. 
. 

n

k2

 

. 
. 
. 
. 
. 
. 

n

1t

 

n

2t

 

. 
. 
. 

n

kt

 

n

1 

n

2

 

. 
. 
. 

n

k

 

j

k

i

ij

n

n 



1

 

n

.1 

n

.2

 

… 

n

.t

 

n 

 

 

Tabele wielodzielcze stanowią podstawę do 

obliczania pozostałych statystyk 

określających siłę związku.

 

gdzie E - oczekiwana liczebność komórki oraz   O 
lub nij - obserwowana liczebność komórki 

 

 

Na przykład badano zależność między liczbą 

wypalanych papierosów a wystąpieniem pewnych 

zmian patologicznych w płucach w grupie 1500 

osób. Zebrane dane przedstawiono w następującej 

tabeli wielodzielczej

    

Niepalący 

Palący 

mało 

Palący 

dużo 

Razem 

zmiany występujące 

51 

250 

560 

861 

zmian nie ma 

370 

210 

59 

639 

razem 

421 

460 

619 

1500 

 

Wyliczymy wartość oczekiwaną E

11

. Zgodnie z 

definicją:

 

 

 

Wyniki obliczeń pozostałych wartości 

oczekiwanych przedstawiono w tabeli. w 

nawiasach obok wartości obserwowanych.

 

•  

 

 

Inny przykład tabeli korelacyjnej. 
Wykształcenie badanych osób 
przebywających w Domach Pomocy 
Społecznej  z uwzględnieniem płci

Wykształcenie

Płeć

Żeńska

Męska

                           

Liczba
podstawowe           
    %

53

86,9%

16

43,2%

                           
Liczba
zawodowe              

    %

2

3,3 %

14

37,8 %

                           
Liczba
średnie                  
%

6

9,8 %

5

13,5 %

                           
Liczba

wyższe                    
   %

0

0,0 %

2

5,4 %

                           
Liczba
Razem                    

    %

61

100,0 %

37

100,0 %

 

 

W  tablicy  korelacyjnej  zawarte są 
rozkłady brzegowe  i  warunkowe.   
Rozkład  brzegowy (por.     ostatnia    
kolumna    określa    rozkład brzegowy  
cechy  X,  ostatni   wiersz – rozkład 
brzegowy   cechy   Y)    prezentuje    
strukturę wartości   jednej   zmiennej   (X   
lub   Y)    bez względu  na kształtowanie 
się wartości drugiej zmiennej. 

        Rozkłady  brzegowe  i warunkowe 

mogą być scharakteryzowane   pewnymi   
sumarycznymi wielkościami    (najczęściej  
  są    to    średnie arytmetyczne)

 

 

Średnie     arytmetyczne     z      

rozkładów brzegowych     wyznacza     
się    ze   wzorów:

            Średnie     arytmetyczne     z      

rozkładów warunkowych     oblicza      
się     następująco:    

i

k

i

i

n

x

n

x









1

1

j

t

i

j

n

y

n

y









1

1

ij

k

i

i

j

j

n

x

n

x









1

.

1

ij

t

i

j

i

i

n

y

n

y









1

.

1

 

 

W    sytuacji,     gdy    wraz    ze     

wzrostem (spadkiem) wartości jednej 
zmiennej następuje wzrost     (spadek)  
   warunkowych    średnich drugiej 
zmiennej,  wówczas można  stwierdzić 
istnienie       korelacji       dodatniej      
między zmiennymi.    W   sytuacji,   
kiedy   występuje przeciwny   kierunek 
  zmian,   można   mówić o  korelacji  
ujemnej. 

 

 

Jeżeli  różnice  pomiędzy  

średnimi  są   takie same, tzn.:

   wówczas   związek   między   

zmiennymi   jest liniowy. 

1

2

3

1

2

...















t

t

x

x

x

x

x

x

1

2

3

1

2

...















k

k

y

y

y

y

y

y

 

 

Dla tabel dwudzielczych 2x2 postaci 

wartość statystyki wyznaczamy według 

prostszego, praktycznego wzoru: 

a 

b 

c 

d 

 

 

 

Na przykład w próbie liczącej 100 mężczyzn 

w wieku 50-60 lat zbadano częstość 

występowania choroby wieńcowej i 

podwyższonego ciśnienia tętniczego. 

Chcemy ocenić, czy choroba wieńcowa 

współistnieje z podwyższonym ciśnieniem 

tętniczym 

Obliczając 

według wzoru podanego wyżej, 
otrzymujemy

 

= 
26,23 

 

 

Innym  miernikiem korelacyjnego związku cech 

jest   współczynnik   korelacji   rang   
Spearmana. Współczynnik    ten    stosowany    
jest    głównie     do badania współzależności 
cech niemierzalnych, bądź cechy mierzalnej i 
niemierzalnej.  Może być on   również   
stosowany   w    badaniu    związku 
korelacyjnego  pomiędzy  cechami   
mierzalnymi (szczególnie w przypadku małej 
próby). 

         Konstrukcja    współczynnika    korelacji    

rang opiera  się  na  zgodności  pozycji,  którą 
zajmuje każda    z    odpowiadających    sobie    
 wielkości     we    wzrastającym    lub     
malejącym     szeregu wartości   cechy.

 

 

Współczynnik   korelacji   rang  Spearmana  

(Q)      wylicza się w oparciu o wyznaczone 
różnice rang (    ) oraz liczby par 
obserwacji (n):

przy czym:

gdzie:
             - rangi zmiennej X oraz Y (i=1,2,...n)

n

n

d

Q

n

i

i













3

1

2

6

1

i

i

y

x

i

v

v

d





i

i

y

x

v

v ,

 

 

gdy

        Współczynnik    korelacji    rang    

przyjmuje wartości    z    przedziału    
                ,  a   jego interpretacja        
   jest        analogiczna       do 
współczynnika    korelacji    Pearsona

1



Q

0

1

2







n

i

i

d

1

1







Q

 

 

Przykład. W celu zbadania, czy istnieje związek 
między zdyscyplinowaniem pacjentów względem 
zaleceń personelu medycznego a wynikami 
terapii na pewną dolegliwość poddano 
obserwacji 10 pacjentów. Otrzymano 
następujące wyniki obserwacji zestawione w 
tabeli

:

Pacjent

Ranga 

zdyscyply-

-nowanie

Ranga

terapii

Różnica 

rang (d)

Kwadrat 

różnicy 

rang (d

2

)

1
2
3
4
5
6
7
8
9

10

6
2
5
1

10

4
9
3
8
7

4
1
5
3

10

7
6
2
9
8

2
1
0

-2

0

-3

3
1

-1
-1

4
1
0
4
0
9
9
1
1
1

Razem

0

30