Wykład VII
Ruch harmoniczny
Wykład VII
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
prosty
F=-kx
• W dowolnej chwili
F
F = m
a
a
• Ale tutaj F = -kx
•
ma =
• Więc: -kx = ma =
k
x
m
F
F = -kx
a
a
m
d x
dt
2
2
d x
dt
k
m
x
2
2
Tj różniczkowe równ. na x(t)!
m
d x
dt
2
2
Ruch harmoniczny prosty
Ruch harmoniczny prosty
d x
dt
k
m
x
2
2
d x
dt
x
2
2
2
k
m
Niech x = A cos(t)
t
sin
A
dt
dx
x
t
cos
A
dt
x
d
2
2
2
2
niech
gdzie
jest
szybkością kątową
Ruch harmoniczny prosty
-rozwiązanie
• Pokazaliśmy, że
ma rozwiązanie x = A cos(t) .
• Ale x = A sin(t) tez może być rozwiązaniem.
d x
dt
x
2
2
2
k
m
T
2
k
m
Ruch harmoniczny prosty
-rozwiązanie
• Wykres
A
cos(
t )
• A
= amplituda drgań
=t
T = 2/
A
A
=t = 0
=T = 2
Ruch harmoniczny prosty
cd.
• Wykres A cos(t + )
Ruch harmoniczny prosty
• Wykres A cos(t - /2)
A
=
/
= A sin(t)!
Prędkość i przyśpieszenie
k
x
m
0
położenie: x(t) = A cos(t + )
prędkość:
v(t) = -A sin(t + )
przyspieszenie:
a(t) = -
A cos(t + )
a t
dv t
dt
( )
( )
v t
dx t
dt
( )
( )
x
MAX
= A
v
MAX
= A
a
MAX
=
A
Ruch harmoniczny prosty
-parametry
• x = A cos(t + )
A = amplituda
t + = faza
= szybkość kątowa (częstość) frequency
= faza początkowa
• T –okres (czas trwania jednego drgania).
• f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce
czasu)
f = 1/T
= 2f = 2/ T
Wahadło matematyczne
d
dt
2
2
2
g
L
gdzie
g
l
T
2
Wahadło fizyczne
d
Mg
z-axis
R
xCM
d
dt
2
2
2
MgR
I
gdzie
=
0
cos(t + )
MgR
I
T
2
Ruch Harmoniczny Prosty:
Podsumowanie
d s
dt
s
2
2
2
rozwiązanie:
s = A cos(t + )
Siła:
k
m
k
s
m
0
k
m
s
0
s L
I
MgL
Energ
Energ
ia potencjalna sprężystości
ia potencjalna sprężystości
const
U
K
E
Ruch harmoniczny z
tłumieniem
• tarcie: f = -b v = -b dx/dt (b=constant)
• Z II zasady dynamiki Newtona
k
x
m
F
F = -kx
a
a
Tj inne równanie różniczkowe
na x(t)!
2
2
dt
x
d
m
dt
dx
b
kx
v
-bv
0
2
2
x
m
k
dt
dx
m
b
dt
x
d
Ruch harmoniczny z
tłumieniem - rozw. ogólne
2
2
4
'
m
b
m
k
x(t) = A(t) cos(’t + )
gdzie A(t) = x
0
exp(-bt/m) i
0
2
2
x
m
k
dt
dx
m
b
dt
x
d
x(t) = A(t) cos(’t + )
Ruch harmoniczny z
tłumieniem – energia
mechaniczna E(t)
Bez tłumienia: E = 1/ k x
0
= constant
Z tłumieniem: E(t) = 1/ A(t)
= 1/ k x
0
exp(-bt/m)
(całkowita energia mech. maleje z czasem)
Drgania wymuszone
-rezonans
k
m
d
REZONANS
d