Badanie dynamiki wielu 

zjawisk jednocześnie

Janusz Górczyński

 

2

Indeksy proste i agregatowe

Dotychczas 

zajmowaliśmy 

się 

wyznaczaniem  wskaźników  dynamiki  dla 

pojedynczych  zjawisk,  stąd  tego  typu 

wskaźniki 

będziemy 

nazywać 

indywidualnymi lub prostymi.

 

W praktyce  z  reguły  będziemy  chcieli 

badać  wiele  zjawisk  jednocześnie  (np. 
zmiany  cen  szeregu  artykułów,  wielkość 
produkcji kilku różnych produktów).

 

3

Indeksy zespołowe

Ocena łączna dynamiki zmian takich niejedno-

rodnych 

zjawisk 

wymaga 

zbudowania 

zespołowego 

(agregatowego) 

wskaźnika. 

Poprawna  konstrukcja  takiego  zespołowego 
wskaźnika  nie  jest  prosta,  a  jedna  z głównych 
trudności  związana  jest  z  wyrażeniem  roli 
(wagi) pojedynczych zjawisk .

Jednym 

z 

możliwych 

rozwiązań 

jest 

zbudowanie 

wskaźnika 

agregatowego 

jako 

ważonej  średniej  z  indywidualnych  wskaźników. 
Wagi  muszą  być  tak  dobrane,  aby  spełniony  był 
warunek proporcjonalności. 

 

4

Indeksy zespołowe (cd)

Warunek proporcjonalności można 
sformułować następująco:

• Jeżeli wszystkie wskaźniki indywidualne są 

takie same, to wskaźnik agregatowy 
również musi być taki sam. 

• W sytuacji, gdy wskaźniki indywidualne są 

zróżnico-wane, to wskaźnik agregatowy 
musi być zawarty między najmniejszym a 
największym wskaźnikiem indywidualnym. 

 

5

Podstawowe wskaźniki 

agregatowe

W dalszej części tego pokazu będziemy się 

zajmować 

trzema 

najważniejszymi 

w badaniach  ekonomicznych  wskaźnikami   
agregatowymi:

indeksem 
agregatowym cen, 
indeksem agregatowym 
ilości, 

indeksem agregatowym 
wartości 

 

6

Założenia ogólne

Powiedzmy, że interesuje nas dynamika zmian 
cen, ilości i wartości m produktów w ustalonym 
momencie czasu t=1 (moment badany) 
względem ustalonego czasu t=0 (moment 
podstawowy). Oznaczmy odpowiednio przez: 

w

j0

; w

j1

   Wartość j-tego  (j=1,2,...m) produktu w 

okresie podstawowym i badanym 

q

j0

; q

j1

   Ilość j-tego  (j=1,2,...m) produktu w 

okresie podstawowym i badanym

p

j0

; p

j1

   Cenę jednostkową  j-tego  

(j=1,2,...m) produktu w okresie 
podstawowym i badanym

 

7

Podstawowe związki

Między wartością, ilością i ceną dla 
poszczególnych produktów w obu badanych 
momentach czasu zachodzi związek: 

jt

jt

jt

p

q

w





dla t = 0; 1 oraz dla j = 1, 2, ..., m

 

8

Indeksy indywidualne

Dla poszczególnych produktów możemy oczywiście 
wyznaczyć indeksy indywidualne opisujące zmianę 
ich wartości, ilości i ceny w okresie badanym 
względem okresu podstawowego. 

)

...,

,

2

,

1

(

0

1

m

j

w

w

i

j

j

w

j





Indywidualny indeks 
wartości 

)

...,

,

2

,

1

(

0

1

m

j

q

q

i

j

j

q

j





Indywidualny 
indeks ilości 

)

...,

,

2

,

1

(

0

1

m

j

p

p

i

j

j

p

j





Indywidualny 
indeks cen 

 

9

Formalne warunki poprawności

Indeksy indywidualne wartości, ilości i cen muszą 
spełniać pewne formalne warunki poprawności 
zwane testami. 
Do najważniejszych testów należą: 

Test odwracalności w czasie 

)

...,

,

2

,

1

;

,

,

(

1

1

0

0

1

m

j

p

q

w

k

k

k

k

k

j

j

j

j









Test odwracalności czynników 

)

...,

,

2

,

1

(

0

0

1

1

0

1

m

j

i

i

p

q

p

q

w

w

i

p

j

q

j

j

j

j

j

j

j

w

j















 

10

Agregatowy indeks wartości

Dla określenia łącznej dynamiki zmian wartości 
wszystkim  produktów w momencie badanym 
względem momentu podstawowego można 
wyznaczyć agregatowy indeks wartości: 

























m

j

j

j

m

j

j

j

m

j

j

m

j

j

w

p

q

p

q

w

w

I

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

 

11

Standaryzacja agregatowego indeksu 

wartości

 

Łączne  zmiany  wartości  wszystkim  produktów  w 
momencie  badanym  względem  podstawowego 
mogą wynikać zarówno ze zmian ilości produktów 
jak i ich ceny. 

Indywidualny  wpływ  każdego  z  tych  dwóch 
czynników na zmiany wartości może być ustalony 
poprzez 

tzw. 

standaryzację 

agregatowego 

indeksu  wartości  polegającą  na  ustaleniu  w  obu 
badanych  momentach  na  stałym  poziomie 
drugiego z tych czynników.

 

12

Indeksy agregatowe cen i ilości

Wybranie momentu podstawowego do ustalenia 
ilości produktów lub ich ceny prowadzi nas do 
agregatowego indeksu wg tzw. formuły 
Laspeyresa, a wybór momentu badanego 
prowadzi do indeksu  wg  tzw. formuły 
Paaschego 

Agregatowy indeks określający wpływ zmian cen 

na  dynamikę  wartości  (ustalone  są  ilości 
produktów) 

nazywamy 

indeksem 

agregatowym  cen.  Podobnie  agregatowy 
indeks 

określający 

wpływ 

zmian 

ilości 

produktów  na  dynamikę  wartości  (ustalone  są 
ceny 

produktów) 

nazywamy 

indeksem 

agregatowym ilości.

 

13

Indeks agregatowy cen wg formuły 

Laspeyresa















m

j

j

j

m

j

j

j

L

p

q

p

q

p

I

1

0

0

1

0

1

Agregatowy indeks cen wg formuły Laspeyresa 
informuje nas o tym, jak zmieniałaby się łączna 
wartość produktów w okresie badanym 
względem podstawowego, gdyby ilości 
produktów w obu badanych momentach były 
takie same i równe ich ilości w momencie 
podstawowym.

 

14

Indeks agregatowy cen wg formuły 

Laspeyresa (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu 
cen agregatowy indeks cen wg formuły 
Laspeyresa można zapisać w trochę innej postaci: 

















m

j

j

j

m

j

j

j

p

j

L

p

q

p

q

p

i

I

1

0

0

1

0

0

wykorzystano 
zależność: 

0

1

j

p

j

j

p

i

p





 

15

Indeks agregatowy cen wg formuły 

Laspeyresa - interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 14 agregatowy 
indeks cen wg formuły Laspeyresa jest ważoną 
średnią arytmetyczną indywidualnych 
indeksów cen, gdzie rolę wag spełniają wartości 
poszczególnych produktów w momencie 
podstawowym. 

Tym samym tak zdefiniowany agregatowy 
indeks cen informuje nas o przeciętnej 
zmianie cen w badanym okresie. 

 

16

Indeks agregatowy cen wg 

formuły Paaschego















m

j

j

j

m

j

j

j

P

p

q

p

q

p

I

1

1

0

1

1

1

Agregatowy indeks cen zdefiniowany wg formuły 
Paaschego informuje nas o tym, jak zmieniałaby 
się łączna wartość produktów w okresie 
badanym względem podstawowego, gdyby ilości 
produktów w obu badanych momentach były 
takie same i równe ich ilości w momencie 
badanym. 

 

17

Indeks agregatowy cen wg 

formuły Paaschego (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu cen 
agregatowy indeks cen wg formuły Paaschego 
można zapisać w trochę innej postaci: 















m

j

p

j

j

j

m

j

j

j

P

p

i

q

p

q

p

I

1

1

1

1

1

1

wykorzystano 
zależność: 

p

j

j

j

i

p

p

1

0



 

18

Indeks agregatowy cen wg 

formuły Paaschego-interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 17 
agregatowy indeks cen wg formuły 
Paaschego jest ważoną średnią 
harmoniczną z indywidualnych 
indeksów cen, gdzie wagami są 
wartości produktów w momencie 
badanym.

 

19

Indeks agregatowy ilości wg 

formuły Laspeyresa















m

j

j

j

m

j

j

j

L

q

q

p

q

p

I

1

0

0

1

1

0

Agregatowy indeks ilości 
zdefiniowany wg formuły 
Laspeyresa informuje nas 
o tym, jak zmieniałaby się 
łączna wartość produktów 
w okresie badanym 
względem podstawowego, 
gdyby ceny produktów w 
obu badanych momentach 
były takie same i równe ich 
cenom w momencie 
podstawowym.

 

20

Indeks agregatowy ilości wg formuły 

Laspeyresa (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu 
ilości agregatowy indeks ilości wg formuły 
Laspeyresa można zapisać w trochę innej postaci: 

















m

j

j

j

m

j

j

j

q

j

L

q

q

p

q

p

i

I

1

0

0

1

0

0

wykorzystano 
zależność 

0

1

j

q

j

j

q

i

q





 

21

Indeks agregatowy ilości wg formuły 

Laspeyresa-interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 20 
agregatowy indeks ilości jest ważoną 
średnią arytmetyczną 
z indywidualnych indeksów ilości, gdzie 
wagami są wartości produktów w 
momencie podstawowym. 
Tym samym indeks ten informuje nas o 
przeciętnym poziomie zmian ilości 
produktów w obu badanych okresach

 

 

22

Indeks agregatowy ilości wg 

formuły Paaschego















m

j

j

j

m

j

j

j

P

q

q

p

q

p

I

1

0

1

1

1

1

Agregatowy indeks ilości 
zdefiniowany wg formuły 
Paaschego informuje nas o 
tym, jak zmieniałaby się 
łączna wartość produktów 
w okresie badanym 
względem podstawowego, 
gdyby ceny produktów w 
obu badanych momentach 
były takie same i równe ich 
cenom w momencie 
badanym.

 

23

Indeks agregatowy ilości wg 

formuły Paaschego (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu 
ilości agregatowy indeks ilości wg formuły 
Paaschego można zapisać w trochę innej 
postaci: 















m

j

q

j

j

j

m

j

j

j

P

q

i

q

p

q

p

I

1

1

1

1

1

1

wykorzystano 
zależność: 

q

j

j

j

i

q

q

1

0



 

24

Indeks agregatowy ilości wg 

formuły Paaschego - 

interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 23 
agregatowy indeks ilości wg formuły 
Paaschego jest ważoną średnią 
harmoniczną z indywidualnych 
indeksów ilości, gdzie wagami są 
wartości produktów w momencie 
badanym. 

 

25

Uwagi co do równości indeksów

W zastosowaniach praktycznych wartości indeksów 
agrega-towych  cen  lub  ilości  obliczone  wg  formuł 
Laspeyresa  czy  Paaschego  nie  będą  takie  same. 
Im  większe  będą  zmiany  w  cenach  czy  ilościach 
produktów, tym bardziej indeksy te będą się różnic 
miedzy sobą. Można wykazać, że dla obu indeksów 
zachodzą związki:

)

1

(

)

1

(

;

;

q

p

q

p

L

q

P

q

q

p

q

p

L

p

P

p

V

V

r

I

I

V

V

r

I

I





















 

26

Indeksy są równe w trzech 

sytuacjach

Nie istnieje związek między indywidualnymi 

indeksami cen i ilości r

pq

= 0.

Nie występuje zmienność indywidualnych indeksów 

cen (V

q

=0), co oznacza jednakowe tempo zmian cen 

dla wszystkich produktów.

Nie występuje zmienność indywidualnych 

indeksów ilości (V

p

=0), co oznacza jednakowe 

tempo zmian ilości wszystkich produktów.

 

27

Indeks „idealny” Fishera

Omówione dotychczas indeksy agregatowe cen i 
ilości wg formuł Laspeyresa i Paaschego nie 
spełniają warunków testu odwracalności w 
czasie i odwracalności czynników.

W 1927 roku I. Fisher zaproponował formułę 
indeksu, który spełnia te warunki:

P

p

L

p

F

p

I

I

I





P

q

L

q

F

q

I

I

I





Jak widzimy „idealny” indeks Fishera jest 
średnią geometryczną z odpowiednich 
indeksów wyliczonych wg formuł Laspeyresa 
i Paaschego.

 

28

Związki między indeksami

Dla zdefiniowanych w tym materiale indeksów 
spełniona jest następująca równość:

F

q

F

p

L

q

P

p

P

q

L

p

w

I

I

I

I

I

I

I













Powyższa relacja nosi nazwę równości 
indeksowej

Wynika z niej, że kryterium odwracalności 
czynników zostaje spełnione, jeżeli stosujemy 
tzw. mieszanie formuł, czyli mnożymy indeks 
Laspeyresa cen przez indeks Paaschego ilości 
lub odwrotnie.

 

29

Przykład liczbowy 1

Na podstawie poniższych danych 
przeprowadźmy analizę dynamiki cen, ilości i 
wartości niektórych artykułów spożywanych 
przez jednego mieszkańca w roku 1990 
względem spożycia tych artykułów w roku 1985 

Lp

Nazwa

Jedno-stki

1985

1990

1985

1990

produktu

1

Jaja świeże

szt.

14,12

1 137,00

220

190

2

Masło

kg

400 23 284,00

6,7

7,8

3

Mięso schab

kg

540 32 330,00

30

37,6

4

Ziemniaki

kg

17,11

491

143

148

Cena

Ilość

j

0

j

p

1

j

p

0

j

q

1

j

q

 

30

Przykład liczbowy 1 (cd)

Nazwa produkt

Jaja świeże

3 106,40

216 030,00

80,524

0,864

69,544

Masło

2 680,00

181 615,20

58,21

1,164

67,767

Mięso schab

16 200,00

1 215 608,00

59,87

1,253

75,038

Ziemniaki

2 446,73

72 668,00

28,697

1,035

29,7

24 433,13

1 685 921,20

0

0

0

j

j

j

q

p

w





1

1

1

j

j

j

q

p

w





0

1

j

j

p

j

p

p

i 

0

1

j

j

q

j

q

q

i 

0

1

j

j

w

j

w

w

i 

Analizę dynamiki zaczniemy od wyznaczenia 
wartości poszczególnych produktów w obu 
badanych okresach oraz wyznaczymy indeksy 
indywidualne cen, ilości i wartości. 

 

31

Przykład liczbowy 1 

- wstępna interpretacja

Analiza 

indeksów 

indywidualnych 

cen 

poszczególnych produktów wskazuje, że w badanym 
okresie  ceny  jaj  świeżych  wzrosły  ponad  80-cio 
krotnie,  ceny  masła  ponad  58-krotnie,  ceny  schabu 
prawie 60-cio krotnie, a ceny ziemniaków prawie 29-
cio krotnie.

Ilości  produktów  nie  podlegały  oczywiście  takiej 
dynamice;  spożycie  jaj  świeżych  zmalało  o  prawie 
13%,  masła  wzrosło  o  ponad  16%,  mięsa 
schabowego  o  ponad  25%,  a ziemniaków  jedynie  o 
3,5%.

Indeksy 

indywidualne 

wartości 

można 

zinterpretować 

analogicznie 

jak 

indeksy 

indywidualne  cen;  widzimy,  że  wartości  trzech 
pierwszych  produktów  wzrosły  68-75-cio  krotnie,  a 
wartość ziemniaków prawie 30-to krotnie. 

 

32

Wyznaczenie indeksów agregatowych

Przed wyznaczeniem agregatowych indeksów 
cen i ilości wg formuł Laspeyresa i Paaschego 
wyznaczymy jeszcze pomocnicze wielkości: 

Nazwa 

produktu

Jaja świeże

2 682,80

250 140,00

Masło

3 120,00

156 002,80

Mięso schab

20 304,00

969 900,00

Ziemniaki

2 532,30

70 213,00

28 639,10 1 446 255,80

1

0 j

j

q

p

0

1 j

j

q

p

 

33

Wyznaczenie indeksów agregatowych 

(cd)

Korzystając z pośrednich wyników zawartych 
w 

obu 

ostatnich 

tabelach 

wyliczamy 

agregatowe indeksy:

Wartośc
i 

0014

,

69

13

,

433

24

20

,

921

685

1





w

I

Interpretacja: przeciętna wartość badanych 

produktów spożywczych wzrosła ponad 69-
cio krotnie w 1990 roku względem roku 
1985 

 

34

Wyznaczenie indeksów agregatowych 

(cd)

Cen wg Laspeyresa 

59,1924

433,13

 

24

255,80

446

1





L

p

I

58,8678

639,10

28

921,20

 

685

1





P

p

I

Cen wg Paaschego

 Analiza indeksów cen i ilości wskazuje, że 
główną przyczyną tak dużego wzrostu wartości 
był wzrost cen – odpowiednio ponad 59-cio 
krotny wg formuły Laspeyresa i prawie 59-cio 
krotny wg formuły Paaschego.

 

35

Wyznaczenie indeksów agregatowych 

(cd)

Ilości wg 
Laspeyresa 

1,1721

433,13

 

24

639,10

28





L

q

I

Ilości wg 
Paaschego 

1,1657

255,80

446

1

921,20

 

685

 

1





P

q

I

Zmiana ilości spożytych produktów w 
niewielkim stopniu przyczyniła się w badanym 
okresie do wzrostu wartości produktów (rzędu 
16,5% do 17,2%) .

 

36

Indeksy Fishera

Na zakończenie tego przykładu wyznaczmy 
jeszcze indeksy Fishera cen i ilości produktów. 
Otrzymamy odpowiednio: 

59,0299

8678

,

58

1924

,

59







F

p

I

1,1689

1657

,

1

1721

,

1







F

q

I

 

37

Indeksy Fishera - interpretacja

Możemy więc powiedzieć, że w badanym okresie 
zmiana cen produktów (przy ustalonej ilości) 
spowodowałaby ponad 59-cio krotny wzrost 
wartości spożywanych produktów. W tym samym 
okresie zmiana ilości spożywanych produktów 
(przy ustalonej cenie) spowodowałaby wzrost 
wartości produktów o 16,89%. 

 

38

Dziękuję za uwagę