TEORIA PORTFELA W 

TEORIA PORTFELA W 

ZAKRESIE  

ZAKRESIE  

PROJEKTÓW 

PROJEKTÓW 

FINANSOWYCH

FINANSOWYCH

 

 

 

 

1. Korelacja stóp zwrotu 

1. Korelacja stóp zwrotu 

akcji

akcji

   

   

Z reguły inwestor tworzy portfel 

Z reguły inwestor tworzy portfel 

akcji, biorąc pod uwagę więcej niż 

akcji, biorąc pod uwagę więcej niż 

jedną spółkę. W takiej sytuacji 

jedną spółkę. W takiej sytuacji 

znaczenia nabiera problem 

znaczenia nabiera problem 

określenia, w jakim stopniu stopy 

określenia, w jakim stopniu stopy 

zwrotu akcji jednej spółki są 

zwrotu akcji jednej spółki są 

powiązane ze stopami zwrotu 

powiązane ze stopami zwrotu 

akcji innej spółki. Jest to problem 

akcji innej spółki. Jest to problem 

tzw. korelacji stóp zwrotu akcji. 

tzw. korelacji stóp zwrotu akcji. 

Na tej koncepcji opiera się w 

Na tej koncepcji opiera się w 

dużym stopniu teoria portfela. 

dużym stopniu teoria portfela. 

 

 

 

 

    

    

Powiązanie stóp zwrotu akcji 

Powiązanie stóp zwrotu akcji 

dwóch spółek mierzy się za 

dwóch spółek mierzy się za 

pomocą 

pomocą 

współczynnika korelacji

współczynnika korelacji

 

 

który określony jest wzorem:

który określony jest wzorem:

    

    









  

2

1

1

2

2

1

1

12

/ S

S

R

R

R

R

p

m

i

i

i

i

























 

 

 

 

    

    







1



1





współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji, 

współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji, 

    

    

R1 – oczekiwana stopa zwrotu pierwszej akcji,

R1 – oczekiwana stopa zwrotu pierwszej akcji,

    

    

R – oczekiwana stopa zwrotu drugiej akcji,

R – oczekiwana stopa zwrotu drugiej akcji,

    

    

s1 – odchylenie standardowe pierwszej akcji,

s1 – odchylenie standardowe pierwszej akcji,

    

    

s – odchylenie standardowe drugiej akcji,

s – odchylenie standardowe drugiej akcji,

    

    

R1i – możliwe stopy zwrotu pierwszej akcji,

R1i – możliwe stopy zwrotu pierwszej akcji,

    

    

Ri – możliwe stopy zwrotu drugiej akcji.

Ri – możliwe stopy zwrotu drugiej akcji.

 

 

 

 

     

     

Współczynnik ten określa siłę i kierunek 

Współczynnik ten określa siłę i kierunek 

powiązania stóp zwrotu tych akcji. Do 

powiązania stóp zwrotu tych akcji. Do 

najważniejszych właściwości tego 

najważniejszych właściwości tego 

współczynnika należą:

współczynnika należą:



Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z 

Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z 

przedziału [-1;1]

przedziału [-1;1]



Wartość bezwzględna współczynnika korelacji 

Wartość bezwzględna współczynnika korelacji 

wskazuje na siłę powiązania stóp zwrotu akcji. 

wskazuje na siłę powiązania stóp zwrotu akcji. 

Im wyższa jest wartość bezwzględna tym 

Im wyższa jest wartość bezwzględna tym 

powiązanie jest silniejsze.

powiązanie jest silniejsze.



Znak współczynnika korelacji wskazuje na 

Znak współczynnika korelacji wskazuje na 

kierunek powiązania stóp zwrotu akcji. Gdy jest 

kierunek powiązania stóp zwrotu akcji. Gdy jest 

on dodatni oznacza to, że wzrostowi (spadkowi) 

on dodatni oznacza to, że wzrostowi (spadkowi) 

stopy zwrotu jednej akcji towarzyszy wzrost 

stopy zwrotu jednej akcji towarzyszy wzrost 

(spadek) stopy zwrotu drugiej akcji. Gdy jest on 

(spadek) stopy zwrotu drugiej akcji. Gdy jest on 

ujemny oznacza to, że wzrostowi (spadkowi) 

ujemny oznacza to, że wzrostowi (spadkowi) 

stopy zwrotu jednej akcji towarzyszy spadek 

stopy zwrotu jednej akcji towarzyszy spadek 

(wzrost) stopy zwrotu drugiej akcji. 

(wzrost) stopy zwrotu drugiej akcji. 

 

 

 

 

 

 

. Portfel akcji dwóch 

. Portfel akcji dwóch 

spółek

spółek

   

   

Jest to przypadek portfela 

Jest to przypadek portfela 

dwuskładnikowego tzn. portfela 

dwuskładnikowego tzn. portfela 

zawierającego akcje dwóch 

zawierającego akcje dwóch 

spółek.

spółek.

   

   

Dla udziałów akcji w portfelu w

Dla udziałów akcji w portfelu w

1

1

 i 

 i 

w

w

  

  

zachodzi poniższa równość:

zachodzi poniższa równość:

                     

                     

w

w

1

1

+w

+w





=1

=1

Oznacza to, że udziały akcji w 

Oznacza to, że udziały akcji w 

portfelu nie są liczbami ujemnymi.

portfelu nie są liczbami ujemnymi.

 

 

 

 

. Portfel akcji dwóch 

. Portfel akcji dwóch 

spółek

spółek



Oczekiwana stopa zwrotu 

Oczekiwana stopa zwrotu 

dana jest 

dana jest 

wzorem:

wzorem:

12

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2



s

s

w

w

s

w

s

w

V

p







Wynika z tego, że oczekiwana 
stopa zwrotu portfela akcji 
dwóch spółek jest średnią 
ważoną oczekiwanych stup 
zwrotu akcji, przy czym wagami 
są udziały akcji w portfelu

 

 

 

 

. Portfel akcji dwóch 

. Portfel akcji dwóch 

spółek

spółek



Wariancja stopy zwrotu

Wariancja stopy zwrotu

 

 

n

n

p

r

w

r

w

r

w

r

...

2

2

1

1







Z powyższego wynika, że ryzyko 
portfela zależy od ryzyka akcji, czyli 
od stopnia powiązania stóp zwrotu 
tych akcji

 

 

 

 

3. Portfel dowolnej 

3. Portfel dowolnej 

liczby spółek

liczby spółek



Jest to tzw. portfel wieloskładnikowy

Jest to tzw. portfel wieloskładnikowy



Wprowadzimy następujące 

Wprowadzimy następujące 

oznaczenia: 

oznaczenia: 

n

n

 

 

- liczba spółek; 

- liczba spółek; 

ri - oczekiwana stopa zwrotu akcji i-

ri - oczekiwana stopa zwrotu akcji i-

tej spółki; 

tej spółki; 

Si - ryzyko (odchylenie 

Si - ryzyko (odchylenie 

standardowe) 

standardowe) 

akcji i-tej spółki; 

akcji i-tej spółki; 

rij - współczynnik korelacji stóp 

rij - współczynnik korelacji stóp 

zwrotu akcji i-tej oraz j-tej spółki; 

zwrotu akcji i-tej oraz j-tej spółki; 

wi - udział akcji i-tej spółki w 

wi - udział akcji i-tej spółki w 

portfelu.

portfelu.

 

 

 

 

3. Portfel dowolnej 

3. Portfel dowolnej 

liczby spółek

liczby spółek

Udziały są liczbami z przedziału 

Udziały są liczbami z przedziału 

  [0; 1] - założymy, że nie 

  [0; 1] - założymy, że nie 

występuje krótka sprzedaż - i 

występuje krótka sprzedaż - i 

zachodzi równość: 

zachodzi równość: 

1

...

2

1







n

w

w

w

 

 

 

 

3. Portfel dowolnej 

3. Portfel dowolnej 

liczby spółek

liczby spółek

Oczekiwana stopa zwrotu i ryzyko portfela 

Oczekiwana stopa zwrotu i ryzyko portfela 

złożonego z akcji 

złożonego z akcji 

n 

n 

spółek wyrażone są za 

spółek wyrażone są za 

pomocą następujących wzorów: 

pomocą następujących wzorów: 

n

n

p

r

w

r

w

r

w

r

...

2

2

1

1









 















n

i

n

i

n

i

j

ij

j

i

j

i

i

p

S

S

w

w

S

w

D

1

1

1

1

2

1

2

2



5

,

0

2

)

(Dp

S

p



gdzie:
rP - oczekiwana stopa zwrotu 
portfela; 
Dp - wariancja portfela; 
Sp - odchylenie standardowe 
portfela.

 

 

 

 

3. Portfel dowolnej 

3. Portfel dowolnej 

liczby spółek

liczby spółek



Ze wzoru wynika, że 

Ze wzoru wynika, że 

stopa zwrotu portfela

stopa zwrotu portfela

 

 

jest ważoną średnią oczekiwanych stóp 

jest ważoną średnią oczekiwanych stóp 

zwrotu akcji poszczególnych spółek, przy 

zwrotu akcji poszczególnych spółek, przy 

czym wagami są ich udziały w portfelu. Jest 

czym wagami są ich udziały w portfelu. Jest 

to taka sama właściwość jak w przypadku 

to taka sama właściwość jak w przypadku 

portfela dwuskładnikowego. 

portfela dwuskładnikowego. 



Wariancja

Wariancja

, czyli ryzyko portfela, zależy od 

, czyli ryzyko portfela, zależy od 

ryzyka składników portfela oraz od korelacji 

ryzyka składników portfela oraz od korelacji 

stóp zwrotu par składników. Widać, że ujemne 

stóp zwrotu par składników. Widać, że ujemne 

wartości współczynników korelacji powodują 

wartości współczynników korelacji powodują 

zmniejszanie się ryzyka (wariancji) portfela. 

zmniejszanie się ryzyka (wariancji) portfela. 

Im bardziej ujemnie powiązane są akcje 

Im bardziej ujemnie powiązane są akcje 

spółek, tym większy jest spadek wariancji 

spółek, tym większy jest spadek wariancji 

portfela. 

portfela. 

 

 

 

 

4. Portfel zawierający 

4. Portfel zawierający 

akcje i instrumenty wolne 

akcje i instrumenty wolne 

od ryzyka

od ryzyka

Poprzednie przykłady 
dotyczyły portfeli 
obarczonych pewnym 
ryzykiem. 
W tym przypadku istnieje 
możliwość redukcji ryzyka 
portfela przez właściwą jego 
dywersyfikację. 

 

 

 

 

4. Portfel zawierający 

4. Portfel zawierający 

akcje i instrumenty wolne 

akcje i instrumenty wolne 

od ryzyka

od ryzyka

Możliwe jest to poprzez umieszczenie w 

portfelu instrumentów wolnych od 

ryzyka. Do takich zalicza się np.: 



obligacje skarbowe o stałym 

obligacje skarbowe o stałym 

oprocentowaniu

oprocentowaniu



bony skarbowe

bony skarbowe

Zakup instrumentów wolnych od ryzyka 

Zakup instrumentów wolnych od ryzyka 

zmniejsza ryzyko portfela. Z reguły 

zmniejsza ryzyko portfela. Z reguły 

jednak instrumenty te charakteryzują się 

jednak instrumenty te charakteryzują się 

niższą oczekiwaną stopą zwrotu niż 

niższą oczekiwaną stopą zwrotu niż 

akcje.

akcje.

 

 

 

 

4. Portfel zawierający 

4. Portfel zawierający 

akcje i instrumenty wolne 

akcje i instrumenty wolne 

od ryzyka

od ryzyka

Uwzględnienie w portfelu 

Uwzględnienie w portfelu 

instrumentów wolnych od 

instrumentów wolnych od 

ryzyka można potraktować 

ryzyka można potraktować 

jako utworzenie portfela 

jako utworzenie portfela 

dwuskładnikowego, przy 

dwuskładnikowego, przy 

czym pierwszy składnik to 

czym pierwszy składnik to 

instrumenty wolne od ryzyka, 

instrumenty wolne od ryzyka, 

a drugi to portfel efektywny 

a drugi to portfel efektywny 

zawierający ryzykowne akcje.

zawierający ryzykowne akcje.

 

 

 

 

5. Inne kryteria tworzenia 

5. Inne kryteria tworzenia 

portfela

portfela



Dotychczas skupiliśmy się w 

Dotychczas skupiliśmy się w 

zasadzie tylko na jednym podejściu 

zasadzie tylko na jednym podejściu 

do tworzenia portfela, a mianowicie 

do tworzenia portfela, a mianowicie 

wyznaczaniu portfela efektywnego, 

wyznaczaniu portfela efektywnego, 

czyli takiego który maksymalizuje 

czyli takiego który maksymalizuje 

dochód (oczekiwaną stopę zwrotu) 

dochód (oczekiwaną stopę zwrotu) 

przy zadanym ryzyku i minimalizuje 

przy zadanym ryzyku i minimalizuje 

ryzyko przy zadanym dochodzie, 

ryzyko przy zadanym dochodzie, 

oraz takiego, który maksymalizuje 

oraz takiego, który maksymalizuje 

użyteczność inwestora.

użyteczność inwestora.

 

 

 

 

5. Inne kryteria tworzenia 

5. Inne kryteria tworzenia 

portfela

portfela



Podejście to oparte jest na pewnych 

Podejście to oparte jest na pewnych 

założeniach i może być stosowane w jednej z 

założeniach i może być stosowane w jednej z 

trzech sytuacji:

trzech sytuacji:

- inwestor maksymalizuje oczekiwaną 

- inwestor maksymalizuje oczekiwaną 

użyteczność, a funkcja jego użyteczności jest 

użyteczność, a funkcja jego użyteczności jest 

funkcją kwadratową

funkcją kwadratową

- inwestor maksymalizuje oczekiwaną 

- inwestor maksymalizuje oczekiwaną 

użyteczność, a rozkład stóp zwrotu akcji jest 

użyteczność, a rozkład stóp zwrotu akcji jest 

wielowymiarowym rozkładem normalnym

wielowymiarowym rozkładem normalnym

- inwestor nie analizuje inwestycji w 

- inwestor nie analizuje inwestycji w 

kategoriach maksymalizacji użyteczności, 

kategoriach maksymalizacji użyteczności, 

dąży jedynie do zwiększenia dochodu i 

dąży jedynie do zwiększenia dochodu i 

zmniejszenia ryzyka

zmniejszenia ryzyka

 

 

 

 

5. Inne kryteria tworzenia 

5. Inne kryteria tworzenia 

portfela

portfela



Przedstawimy teraz niektóre 

Przedstawimy teraz niektóre 

inne kryteria tworzenia 

inne kryteria tworzenia 

portfela. Ograniczymy się 

portfela. Ograniczymy się 

przy tym do portfela w 

przy tym do portfela w 

którym znajdują się jedynie 

którym znajdują się jedynie 

akcje.

akcje.

Kryteriów jest wiele, a ich 

Kryteriów jest wiele, a ich 

analiza pozwoliła na podział 

analiza pozwoliła na podział 

ich na sześć klas

ich na sześć klas

 

 

 

 

5. Inne kryteria tworzenia 

5. Inne kryteria tworzenia 

portfela

portfela

1. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie;

1. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie;

. Maksymalizacja dochodu przy zadanym ryzyku;

. Maksymalizacja dochodu przy zadanym ryzyku;

3. Minimalizacja ryzyka;

3. Minimalizacja ryzyka;

4. Maksymalizacja ryzyka;

4. Maksymalizacja ryzyka;

5. Optymalizacja kryterium łączącego dochód i 

5. Optymalizacja kryterium łączącego dochód i 

ryzyko;

ryzyko;

6. Optymalizacja kryterium uwzględniającego więcej 

6. Optymalizacja kryterium uwzględniającego więcej 

niż dwie charakterystyki

niż dwie charakterystyki

 

 

 

 

6. Metoda stochastycznej 

6. Metoda stochastycznej 

dominacji w teorii portfela

dominacji w teorii portfela

(stochastic dominance)

(stochastic dominance)

Podejście to jest ogólniejsze niż 

Podejście to jest ogólniejsze niż 

klasyczna teoria portfela, w tym 

klasyczna teoria portfela, w tym 

sensie, że opiera się na mniejszej 

sensie, że opiera się na mniejszej 

liczbie założeń.

liczbie założeń.

Jedyne założenia jakie się czyni w tej 

Jedyne założenia jakie się czyni w tej 

metodzie dotyczą preferencji 

metodzie dotyczą preferencji 

inwestora. 

inwestora. 

Przedstawimy dwa kryteria 

Przedstawimy dwa kryteria 

stochastycznej dominacji:

stochastycznej dominacji:

- stochastyczna dominacja rzędu I

- stochastyczna dominacja rzędu I

- stochastyczna dominacja rzędu II

- stochastyczna dominacja rzędu II

 

 

 

 

6. Metoda stochastycznej 

6. Metoda stochastycznej 

dominacji w teorii portfela

dominacji w teorii portfela

(stochastic dominance)

(stochastic dominance)

 

 

Stochastyczna dominacja rzędu I

Stochastyczna dominacja rzędu I

W kryterium tym czyni się jedynie założenie, że 

W kryterium tym czyni się jedynie założenie, że 

inwestor woli posiadać więcej niż mniej. W teorii 

inwestor woli posiadać więcej niż mniej. W teorii 

użyteczności oznacza to, że funkcja użyteczności 

użyteczności oznacza to, że funkcja użyteczności 

inwestora jest rosnąca.

inwestora jest rosnąca.

 

 

Stochastyczna dominacja rzędu II

Stochastyczna dominacja rzędu II

W tym kryterium oprócz założenia, że inwestor 

W tym kryterium oprócz założenia, że inwestor 

przedkłada większy dochód nad mniejszy, 

przedkłada większy dochód nad mniejszy, 

przyjmuje się drugie założenie, mianowicie to, że 

przyjmuje się drugie założenie, mianowicie to, że 

inwestor charakteryzuje się awersją do ryzyka. 

inwestor charakteryzuje się awersją do ryzyka. 

Wtedy każda dodatkowa stopa zwrotu przynosi mu 

Wtedy każda dodatkowa stopa zwrotu przynosi mu 

mniejszą satysfakcję niż poprzednia jednostka. W 

mniejszą satysfakcję niż poprzednia jednostka. W 

kategoriach teorii użyteczności jest to równoważne 

kategoriach teorii użyteczności jest to równoważne 

z malejącą krańcową użytecznością

z malejącą krańcową użytecznością

 

 

 

 

   

   

Dziękuję za uwagę.

Dziękuję za uwagę.

      

      

;-)

;-)