Obwody prądu zmiennego

Podział sygnałów w 

elektrotechnice:

Podział sygnałów:

Sygnałami w elektrotechnice nazywamy najczęściej funkcje napięcia lub 
prądu, ale sygnałem może inna funkcja wielkości występującej w teorii 
obwodów np. częstotliwość.

Sygnałem przemiennym będziemy nazywali okresową  funkcję 
pewnej wielkości, której całka za okres jest równa zero.

Jeśli Pole1 = Pole2  to sygnał nazywamy przemiennym, nie ma przy 
tym znaczenia czy kształt krzywej określającej Pole1 jest taki sam jak 
w przypadku Pola2. W dalszym ciągu będziemy rozważali sygnały 
sinusoidalne, dla których wykażemy, że są przemienne.

Funkcja sinusoidalna – koło 

trygonometryczne.

O funkcji sinusoidalnej (na przykładzie prądu):

)

t

sin(

I

)

t

(

i

m











 

       -postać czasowa prądu, 

gdzie: I

m

- amplituda,

- faza pocztkowa prądu (sygnału), -pulsacja prądu (częstość kołowa)

Funkcja sinusoidalna – koło 

trygonometryczne.

Obwody sinusoidalne z elementami R, 

L, C

Wykresem przedstawiającym zmianę 
wartości wielkości A w czasie jest 
sinusoida, taki przebieg nazywamy 
sinusoidalnym.

W podanym wzorze wartość A(t) to 
wartość chwilowa, Am nazywamy 
amplitudą, czyli największa wartością 
chwilową, t okresem, ω pulsacja, 
zwana również prędkością kątowa 
natomiast φ fazą początkową.

Przesunięcie fazowe

Zwróć uwagę, że określenie kąta przesunięcia pomiędzy dwoma 
wskazami ma sens tylko wtedy gdy wirują z jednakową 
prędkością. Mówiąc kąt pomiędzy prądem i napięciem mamy na 
myśli kąt mierzony od wskazu I do U w kierunku mniejszego z 
dwóch dopełniających się kątów.

Przesunięcie fazowe

I

U

- 

Przesunięcie fazowe

Przesunięcie fazowe

Zwróć uwagę, że jeżeli dwie sinusoidy ( o tej samej częstotliwości) 
mają wspólne miejsca zerowe to kąt przesunięcia pomiędzy ich 
wskazami jest równy zero. Mówimy wówczas, o tzw. zgodności faz 
lub że oba przebiegi są w fazie. 

Obwody sinusoidalne z elementami R, 

L, C

Prąd (napięcie), którego 
wartość w czasie zmienia się 
tak jak sinusoida, nazywamy 
prądem (napięciem) 
sinusoidalnym.

Wartość średnia sygnału 

okresowego (składowa 

stała):.

Wartość średnia sygnału 

okresowego (składowa 

stała):.

+

-

Wniosek: przebieg przemienny ma wartość 
średnią = 0

Zwróć uwagę, że tak zdefiniowane wartości średnia i półokresowa 
przyjmują jednakowe wartości dla funkcji sinusoidalnej, przy czym 
definiowanie wartości średniej półokresowej ma sens tylko dla 
przebiegów przemiennych. 

Obwody sinusoidalne z elementami R, 

L, C

Wartością średnią prądu 
sinusoidalnego o okresie T, 
nazywamy całkę za okres T 
podzieloną przez T. 

Definicja wartości 

skutecznej prądu 

zmiennego:

     Jeżeli prąd stały o wartości I przepływając przez 
opornik o rezystancji R spowoduje wydzielenie się tyle 
samo ciepła w czasie T ile wydzieliłoby się w tym samym 
czasie przy przepływie prądu okresowego i(t) o okresie T 
to taka wartość I jest wartością skuteczną prądu 
zmiennego i(t)

Interpretacja fizyczna 

wartości skutecznej

dQ

dt

R

i

2







i

R













T

0

T

0

2

2

2

dt

i

T

1

I

RT

I

Rdt

i

Q

Zwróć uwagę, że w przypadku prądu stałego ciepło Q w interpretacji 
graficznej jet polem prostokąta P

2

T, Zatem aby obliczyć ciepło wydzielane 

w rezystorze przy przepływie prądu zmiennego w tym samym czasie T 
musimy obliczyć pole pod krzywą i(t)

2

R. Porównując (zgodnie z definicją ) 

oba ciepła otrzymamy ogólny wzór na wartość skuteczną sygnału. 

Wartość skuteczna 

sygnału









T

t

t

2

df

sk

0

0

dt

)]

t

(

i

[

T

1

I

Udowodnij, że dla sinusoidy

2

I

dt

)

t

(

sin

I

T

1

I

m

T

0

2

2

m

sk

















2

Czy wartość skuteczna dla każdego przebiegu okresowego 
jest równa

 amplitudzie przez

          ?

Wartość skuteczna 

sygnału

Do obliczenia wartości skutecznej wykorzystamy następującą własność 
trygonometryczną:

2

2

cos

1

sin

sin

2

1

sin

cos

2

cos

2

2

2

2





















































































dt

)

2

t

2

cos(

dt

1

T

2

I

dt

)

2

t

2

cos(

1

T

2

I

dt

2

)

2

t

2

cos(

1

I

T

1

T

0

T

0

2

m

T

0

2

m

T

0

2

m

 

2

I

2

I

t

T

2

I

m

2

m

T
0

2

m









Przebieg 
przemienny
=0

Jeżeli spróbujemy obliczyć wartość skuteczną innego przebiegu 
okresowego np.. piłokształtnego to okaże się, że wartość skuteczna 
tego przebiegu będzie inna.

Różne przebiegi okresowe charakteryzują się różnymi stosunkami 
wartości skutecznej do amplitudy lub skutecznej do średniej. Stąd w 
elektrotechnice definiuje się szereg współczynników takich jak:

Obwody sinusoidalne z elementami R, 

L, C

Wartością skuteczną prądu 
sinusoidalnego 
o okresie T nazywamy taką wartość 
prądu stałego, który przepływając 
przez rezystancję R w czasie jednego 
okresu prądu T powoduje wydzielenie 
takiej ilości energii cieplnej, jak prąd 
sinusoidalny w tym samym czasie.

Całkowita energia wydzielona 
podczas okresu T jest ograniczona 
przebiegiem krzywej kwadratu 
prądu.
Jeżeli prąd przepływający przez 
rezystor L byłby stały, to jego 
wartość wyniosłaby I, natomiast 
energia wydzielona na rezystorze 
wyniosłaby W.
Szukany prąd równoważny prądowi 
I nazywamy wartością skuteczną, 
wartość skuteczną prądu 
sinusoidalnego jest równa 
amplitudzie Im/√2, w ten sam 
sposób określa się wartość 
skuteczną napięcia sinusoidalnego. 

Moc chwilowa 

)

t

(

i

)

t

(

u

)

t

(

p





Załóżmy, że przy zastrzałkowaniu 
źródłowym otrzymano następujące 
przebiegi prądu i napięcia:

W przypadku przebiegów zmiennych interpretacja mocy chwilowej jest 
taka sama jak w obwodach prądu stałego. Czyli jeżeli  iloczyn prądu i 
napięcia jest większy od zera dla zastrzałkowania źródłowego tzn. że 
dwójnik wydaje energię.

I

U

t

1

u

i

u,i