WYKŁAD 14

Proste zadanie geometryczne:

        Turysta  zabłądził  w  dość  rzadkim  lesie  w  pochmurny 
dzień,  uniemożliwiający  określenie  kierunków.  Postanowił 
iść prosto przed siebie, aby jak najszybciej wydostać się z 
lasu. Długość jego kroku wykonywanego prawą nogą była 
większa  o 

1  milimetr

  od  długości  kroku  wykonywanego 

lewą nogą, o czym turysta nie wiedział. 
   Odległość pomiędzy osią śladu jego prawej i osią śladu 
lewej  stopy,  mierzona  prostopadle  do  kierunku  marszu, 
wynosiła 

10 cm.

 

      Po  wykonaniu 

1256

  kroków  turysta  zatrzymał  się,  aby 

zorientować się w terenie. Jak daleko znajdował się w tym 
momencie od punktu wyjścia?

 

 

Szkic rozwiązania:
        Turysta  wykonał  prawą  nogą  628  kroków,  co  spowodowało,  że 
„przeszła”  ona  dystans  o  62,8cm  dłuższy  niż  noga  lewa.  Musiał  on 
zatem  poruszać  się 

po  łuku  okręgu

,  przy  czym  długości  łuków  dla 

obu nóg różniły się o podaną liczbę, a promienie okręgów różniły się o 
10cm. Łatwo zauważyć, że 

ΔS = 2π(r

1

 – r

2

) = 2

π·10cm ≈ 62,8cm.

 

Wniosek?

        Zadanie  to  można  uznać  za  przykład  ilustrujący

 

tezę,  którą 

sformułował jeden z największych fizyków XX wieku: Eugene Wigner - 
o 

niepojętej skuteczności matematyki

  przy  opisywaniu  struktury 

świata fizycznego. 
        Matematyka  ma  swe  źródło  w  pytaniach  dotyczących  świata 
fizycznego  i  uzasadnia  swą  użyteczność  dostarczając  odpowiedzi  na 
niektóre z nich. 
        Często  jednak  idea  matematyczna  musi  żyć  dla  samej  siebie, 
istniejąc  jakby  w  otchłani,  rozwijana  i  dyskutowana  ze  względu  na 
siebie  jako  czysty  obiekt  matematyczny,  zanim  jej  wewnętrzne 
tajemnice  zostaną  drobiazgowo  zanalizowane  i  dostrzeże  się  jej 
znaczenie fizyczne. 

 

 

          Być  może 

matematyka  jest  dlatego  efektywna,  ponieważ 

reprezentuje podstawowy język ludzkiego mózgu

. Może jedyne 

wzorce,  które  możemy  spostrzegać,  to  wzorce  matematyczne,  bo 
matematyka jest narzędziem naszej percepcji. 

        Lecz  może 

matematyka  dlatego  jest  efektywna

  przy 

organizowaniu  bytu  fizycznego, 

ponieważ  czerpie  natchnienie  ze 

świata  fizycznego.

  A  może  jej  sukcesy  są  kosmiczną  ułudą?  Być 

może  nie  ma  rzeczywistych  struktur,  a  są  jedynie  te,  które  sami 
narzucamy w swym umysłowym ograniczeniu. 

    Są to pytania natury filozoficznej. Pragmatyczna rzeczywistość jest 
taka,  że 

matematyka  jest  najbardziej  efektywną  i  godną 

zaufania  metodą,  jaką  znamy,  dla  zrozumienia  tego,  co 
widzimy dookoła nas.

 

       

Dlaczego  więc  napotykamy  takie  trudności  w  próbach  jej 

nauczania?  Dlaczego  pokutują  i  nasilają  się  stereotypy 
myślowe  o  jej  niedostępności  dla  „przeciętnego”  ucznia,  o 
„katowaniu”  uczniów  matematyką  szkolną,  o  jej  roli  jako 
podstawowego  „narzędzia”  selekcji,  przy  czym  nauczyciel 
matematyki postrzegany jest w roli myśliwego polującego na 
bezbronnych uczniów.

 

 

          Proponuję,  aby  nie  szukać  dziś  odpowiedzi  na  tak 
postawione pytania (co prawda, podobnie jak pytania, są 
one  zadziwiająco  proste)  lecz  poświęcić  uwagę  tej  części 
szkolnej matematyki, która jest traktowana przez uczniów 
(czasem  także  i  przez  nauczycieli)  jako  szczególnie 
trudna, czyli 

geometrii

.

GEOMETRIA

•OPISANIE ŚWIATA
•MODELOWANIE    
MATEMATYCZNE

•PROSTOTA OPISU
•UKAZANIE ZŁOŻONOŚCI
•WIERNOŚĆ AKSJOMATOM

•ZAANGAŻOWANIE 
WYOBRAŹNI

•UŻYCIE PRECYZYJNYCH 
DEFINICJI

•ODKRYWANIE ŚWIATA
•MOTYWACJA DO 
DZIAŁANIA I NAUKI

 

 

          Zauważmy,  jak 

wiele  pojęć  geometrycznych 

wymaga  bardzo  precyzyjnych  definicji, 

a  jak  często 

wręcz  niechlujnie  ten  problem  jest  potraktowany  w 
dostępnych podręcznikach. 
    
        Zajmując  się  badaniem  efektów  pracy  nauczycieli 
matematyki, 

przeprowadziłem 

badania 

wśród 

absolwentów  gimnazjów

  w  zakresie  rozumienia  przez 

nich podstawowych pojęć matematyki.

    Właściwe rozumienie uczeń może osiągnąć dopiero po 
uprzednim  zapoznaniu  się  z  właściwie  sformułowaną 
definicją  pojęcia.  Większość  pytań  w  kwestionariuszu 
ankiety  dotyczyła  zatem  definicji  podstawowych  pojęć. 
Uznając 

pojęcie  miary  za  niezmiernie  istotne  w 

nauce geometrii

, starałem się uzyskać wiedzę o stopniu 

rozumienia przez uczniów podstawowych miar: odległości, 
pola, objętości, kąta.  

 

 

          Z  pytań  zadanych  w  kwestionariuszu  ankiety  prezentuję  kilka 
dotyczących geometrii:
1. 

Romb

 to……………

2. Dwie proste są 

prostopadłe

, jeżeli .............

3. 

1

o

 to …...........

4. Równość 

 = 3,14

 jest: a) prawdziwa, b) fałszywa, c) nie wiadomo.

5. 

1  dm

3

  jest  równy:  a)  10  cm

3

,  b)  100  cm

3

,  c)  1000  cm

3

,  d)  10000 

cm

3

.

6. 

Okrąg 

nie jest

: a) linią, b) figurą geometryczną, c) wielokątem.

 

 

Odpowiedzi, które można było uznać za sensowne, stanowiły:

1. 

(Romb)

            - 88%

2. 

(Prostopadłe)

   - 37%

3. 

(1

o

)

                  - 52%

4. 

( = 3,14)

         - 13%

5. 

(1 dm

3

)

             -17%

6. 

(Okrąg)             

- 68%

    

Zauważmy szczególnie niepokojącą sytuację w zakresie 

rozumienia  pojęcia  miary

,  podstawowego  przecież  w 

geometrii.

 

 

Traktat o mierzeniu trawnika

1.      Traktujemy  trawnik  jako 
gładką powierzchnię.

2.      Mierzymy  wzdłuż  jednej  i 
drugiej współrzędnej.

3.  Wyniki  mnożymy  przez
siebie.  Otrzymujemy  np.  100
metrów kwadratowych.

4.  Odchodzimy  zadowoleni  z 
siebie.

          Ale  czy  to  co  zmierzyliśmy,  to  faktycznie  powierzchnia 
trawnika?

 

 

        Trawnik  nie  jest  gładki!  Wręcz 
przeciwnie, 

jest 

niezwykle 

porowaty!  Musimy  zatem  wykonać 
pomiar  jeszcze  raz,  dokładniej.
1.  Zatrudniamy kilkunastu BARDZO 
cierpliwych i starannych ludzi. 
2.  Dajemy  im  dokładne  linijki, 
notatniki.
3. 

Każemy 

im 

zmierzyć 

powierzchnię  każdego  źdźbła  i 
każdego listka.
            Po  wielu  dniach  otrzymujemy  wynik,  wielokrotnie  więcej  niż 
poprzednio, na przykład 1000 metrów kwadratowych.

            Mikroskop  ujawnia  nowy  poziom  złożoności  struktury  trawy... 
Pojawiają się malutkie włoski, pojedyncze komórki. Nasz pomiar nadal 
jest niedokładny!
      Gdybyśmy mogli zmierzyć powierzchnię komórek otrzymalibyśmy 
zapewne wynik rzędu milionów metrów kwadratowych!
      A gdy zbliżymy się do skali pojedynczych atomów?
      Atomy nie mają czegoś takiego jak powierzchnia. 

 

 

     

Powierzchnia trawnika ma więc charakter fraktalny.

       

Fraktal

  (łac.  fractus  –  złamany,  cząstkowy)  Ze  względu  na 

olbrzymią  różnorodność  przykładów  matematycy  obecnie  unikają 
podawania  ścisłej  definicji  i  proponują  określać  fraktal  jako  zbiór, 
który:

• 

ma nietrywialną strukturę w każdej skali,

•  struktura  ta  nie  daje  się  łatwo  opisać  w  języku  tradycyjnej 
geometrii euklidesowej,

•  jest  samopodobny,  jeśli  nie  w  sensie  dokładnym,  to 
przybliżonym lub stochastycznym,

•  jego  wymiar  Hausdorffa  jest  większy  niż  jego  wymiar 
topologiczny,

•ma względnie prostą definicję rekurencyjną,

• ma naturalny („poszarpany”, „kłębiasty” itp.) wygląd. 

        Prawdziwe  fraktale  istnieją  tylko  w  świecie  idealnych  konstrukcji 
matematycznych,  ale  w  świecie  przyrody  istnieje  wiele  tworów 
przypominających  je  swoim  kształtem,  np.  struktura  płatka  śniegu, 
liścia paproci czy korony drzew. 

 

 

    Dla ilustracji problemu posłużmy się dość powszechnie znanym 

zbiorem Cantora.

1.  Odcinek  [0,1]  dzielimy  na  trzy 

1.  Odcinek  [0,1]  dzielimy  na  trzy 

równe 

części 

i 

usuwamy 

równe 

części 

i 

usuwamy 

środkową. 

środkową. 

2. 

Z 

pozostałymi 

dwoma 

2. 

Z 

pozostałymi 

dwoma 

odcinkami 

postępujemy 

odcinkami 

postępujemy 

analogicznie. 

analogicznie. 

3. 

W 

konsekwencji 

takiego 

3. 

W 

konsekwencji 

takiego 

postępowania 

w 

granicy 

postępowania 

w 

granicy 

nieskończonej 

ilości 

kroków 

nieskończonej 

ilości 

kroków 

powstaje zbiór punktów Cantora.

powstaje zbiór punktów Cantora.

Kilka definicji:

1. 

Wymiar topologiczny

 to wymiar 

d

 należący do 

N

, oznacza ilość 

liczb potrzebnych do opisania współrzędnych punktu w przestrzeni d-
wymiarowej.  Z  tej  definicji  jasno  wynika,  że  punkt  ma  wymiar  0, 
odcinek  i  okrąg  mają  wymiar  1,  kwadrat,  koło  są  dwuwymiarowe, 
natomiast sześcian czy ostrosłup trójwymiarowe.

 

 

2. 

Wymiar  topologiczny  pokryciowy

  zwartej  przestrzeni 

metrycznej 

X

 to najmniejsza liczba naturalna 

n

, taka że istnieje takie 

pokrycie przestrzeni 

X

 kulami otwartymi dowolnie małej średnicy, by 

żaden jej punkt nie należał do więcej niż 

n+1

 kul.

3.      Wymiarem  samopodobieństwa  (wymiarem  Hausdorffa)

 

nazywamy liczbę                                     gdzie liczba 

s 

oznacza 

skalę podobieństwa obiektu do jego części, natomiast liczba 

a

 mówi, 

na ile części podzieliliśmy wyjściowy obiekt.

          Zbiór  Cantora  powstaje  w  wyniku  iteracji.  Na  każdym  jej  kroku 
zbiór  dzieli  się  na  dwa  mniejsze,  a  każdy  z  tych  nowo  utworzonych 
zbiorów  jest  trzykrotnie  mniejszy,  niż  zbiór  z  poprzedniego  etapu 
procesu. Stąd wynika, iż jego wymiar Haussdorfa jest równy

s

a

s

a

D

log

log

1

log

log







631

,

0

3

log

2

log





D

     Zatem zbiór Cantora jest przykładem najprostszego fraktala.

 

 

Dalsze przykłady fraktali:

I Trójkąt Sierpińskiego

        Jeden  z  najbardziej  znanych, 
klasycznych  fraktali,  nazwany  na 
cześć 

wybitnego 

polskiego 

matematyka 

Wacława 

Sierpinskiego (1882-1962) który go 
po raz pierwszy skonstruował.

            Wymiar  samopodobieństwa: 
log3/log2 = 1,585.  

II Krzywa Kocha

        Jest  to  brzeg  figury  -  fraktala, 
przypominającego płatek śniegu.
Krzywa  ta  jest  nieskończenie  długa, 
lecz 

ogranicza 

ona 

skończoną 

powierzchnię.
Ta  krzywa  nie  zawiera  żadnych 
odcinków  -  w  każdym  swym  punkcie 
ma 'zagięcie', a więc w żadnym swym 
punkcie nie ma stycznej.

 

 

III Zbiór Mandelbrota

        Zbiór  tworzą  te  punkty 
płaszczyzny zespolonej,         
        dla  których  ciąg  opisany 
równaniem rekurencyjnym: 

z

0

 = 0

z

n+1

 = z

n

2

 + p

nie dąży do nieskończoności.

IV Zbiór Julii

        Zbiór  tworzą  te  punkty 
płaszczyzny zespolonej,           
    dla  których  ciąg  opisany 
równaniem rekurencyjnym: 

z

0

 = p

z

n+1

 = z

n

2

 + c

nie dąży do nieskończoności.

 

 

 

 

Ewolucja  metod  nauczania  matematyki  na  przykładzie  zadań 
egzaminacyjnych:

1960:  Drwal  sprzedał  ciężarówkę  tarcicy  za  sumę  1000  zł.  Wiedząc, 
że koszt produkcji drewna wynosił 4/5 jego ceny, oblicz zysk drwala.

 

1970:  Drwal  sprzedał  ciężarówkę  tarcicy  za  sumę  1000  zł.  Wiedząc, 
że  koszt  produkcji  wyniósł  4/5  jego  ceny,  czyli  800  zł,  oblicz  zysk 
drwala. 

1980: (nowy, ambitny program matematyki) Drwal dokonał wymiany 
zbioru  T  tarcicy  na  zbiór  P  pieniędzy.  Moc  zbioru  P  wyrażona  w 
liczbach  kardynalnych  wyniosła  1000,  przy  czym  każdy  z  jego 
elementów  jest  wart  1  zł.  Zaznacz  w  prostokątnej  tabeli  1000 
punktów, aby przedstawić graficznie elementy zbioru P. Zbiór kosztów 
produkcji zawiera 200 elementów mniej niż zbiór M. Przedstaw zbiór K 
jako podzbiór M i odpowiedz na pytanie: jaka jest moc zbioru Z zysku 
wyrażona w liczbach kardynalnych?

  

1990:  Drwal  sprzedał  ciężarówkę  tarcicy  za  1000  zł.  Koszt  produkcji 
drewna  wyniósł  800  zł,  a  zysk  drwala  200  zł.  Zakreśl  liczbę  200.

 

2000:  Ścinając  stare  piękne  i  bezcenne  drzewa,  ekologicznie 
niezorientowany drwal zarobił 200 zł. Co myślisz o takim sposobie na 
życie?  W  podgrupach  postarajcie  się  przygotować  teatrzyk 
przedstawiający, jak czują się leśne ptaszki i dzika zwierzyna. 
2010: Kto to jest drwal?