16b. OPTYKA   FALOWA

Dualizm 

korpuskularno-falowy

 

 

16.8.  Falowa natura materii

Zjawiska  fizyczne  i  opisujące  je  prawa  przyjęto 

dzielić na klasyczne i współczesne. 

Fizyka współczesna 

opiera  się  o  falową  naturę  materii  i  zawiera  nową 
fundamentalną stałą odkrytą przez Plancka w 1900 
r

.  Przekonanie  wśród  fizyków  o  falowej  naturze  materii 

ugruntowało się w latach dwudziestych XX w.

Zgodnie z takim określeniem fizyki współczesnej, 

to wszystko o czym dotychczas mówiliśmy jest fizyką 
klasyczną. W tej części pokażemy, że wszystkie cząstki 
elementarne charakteryzują się właściwościami 
falowymi, które wpływają na ich zachowanie szczególnie 
w niedużych odległościach. Nie wyjaśniając uprzednio 
falowych właściwości materii, niemożliwe byłoby 
zrozumienie budowy atomów i molekuł, właściwości 
cząstek elementarnych oraz takich działów fizyki jak: 
fizyka ciała stałego, fizyka jądrowa, czy też astrofizyka. 
Wynikające z falowej natury materii podstawowe 
założenia i formalizm matematyczny stanowią przedmiot 
badań mechaniki kwantowej. 

 

 

Zdumiewający  przewrót  w  naszych  poglądach  na 

czas  i  przestrzeń  spowodował  Einstein.  Jednakże 
zobaczymy,  że  falowa  natura  materii,  dualizm 
korpuskularno-falowy  i  ich  konsekwencje,  okażą  się 
bardziej 

zdumiewające 

i 

przeczące 

zdrowemu 

rozsądkowi  niż  einsteinowski  postulat  o  stałości 
prędkości  światła  we  wszystkich  inercjalnych  układach 
odniesienia. 

Falowa 

natura 

materii 

jakościowo 

przejawia  się  w  tym,  że  każdą  cząstkę  cechują 
właściwości 

falowe  i 

odwrotnie,  dowolna 

fala 

charakteryzuje  się  właściwościami  cząstek.  Jako 
pierwszy  przykład  demonstrujący  tę  właściwość  fal, 
rozważymy promieniowanie termiczne.

 

 

16. 8. 1. Promieniowanie termiczne

 

Jednym  z  podstawowych  zjawisk  fizycznych, 

którego nie można wyjaśnić na gruncie fizyki klasycznej, 
jest 

promieniowanie 

termiczne 

ciał 

(zwane 

też 

promieniowaniem 

cieplnym 

lub 

temperaturowym). 

Usunięcie 

sprzeczności 

między 

wynikami 

doświadczalnymi a teorią dało początek teorii kwantów.

Promieniowaniem 

termicznym 

nazywamy 

promieniowanie wysyłane przez ciała ogrzane do pewnej 
temperatury.  Emitowane  fale  mają  długości  fal  z 
szerokiego  zakresu  widma,  ale  zwykle  główna  część 
przypada na podczerwień. Promieniowanie termiczne jest 
wynikiem 

przyśpieszeń 

jakich 

doznają 

ładunki 

elektryczne  atomów  i  cząstek.  Zatem  promieniowanie  to 
powstaje kosztem ich ruchu cieplnego.

 

 

Promieniowanie 

termiczne 

charakteryzujemy 

wprowadzając  pojęcie  zdolności  emisyjnej  ciała 
e(,T)  zdefiniowanej  tak,  że  e(,T)d  jest  energią 
promieniowania  wysyłanego  w  jednostce  czasu  z 
jednostki  powierzchni  o  temperaturze  T,  w  postaci 
fal elektromagnetycznych o częstościach zawartych 
w przedziale od do + d.

Widmo  promieniowania  termicznego  wysyłanego  przez 
ciało  zależy  w  pewnym  stopniu  od  składu  tego  ciała. 
Wprowadzono pojęcie ciała emitującego promieniowanie 
o  widmie  mającym  charakter  uniwersalny. 

Ciało  takie 

nazywamy  ciałem  doskonale  czarnym,  ponieważ 
całkowicie  absorbuje  promieniowanie  termiczne 
nań padające

. Przykładem ciała,  które ma właściwości 

zbliżone do ciała doskonale czarnego, jest sadza. Bardzo 
dobrym  modelem  ciała  doskonale  czarnego  jest 
nieprzezroczyste  ciało  zawierające  wnękę  z  bardzo 
małym  otworem  wejściowym  (rys.  10.1).  Ponadto 
zakładamy, że ścianka wnęki w dużym stopniu absorbuje 
padające 

promieniowanie. 

Powierzchnia 

otworu 

zachowuje  się  tak,  jak  powierzchnia  ciała  doskonale 
czarnego.

 

 

P r o m ie ń

ś w ie tl n y

P o w ie r z c h n ia

o   d u ż e j  z d o l n o ś c i

a b s o r p c y jn e j

Wprowadzimy  jeszcze  pojęcie 
zdolności  absorpcyjnej,  a  ,  i 
zdolności 

odbicia, 

r, 

powierzchni  charakteryzujące 
ciała  promieniujące.       

Wielkość  a  wskazującą  jaki 
ułamek energii padającej na 
powierzchnię 

zostanie 

pochłonięty, 

nazywa 

się 

zdolnością 

absorpcyjną 

powierzchni, 

a 

liczbę 

r 

wskazującą 

jaki 

ułamek 

energii  padającej  zostanie 
odbity, 

nazywa 

się 

zdolnością odbicia

.

Ogólnie  biorąc  dla  dowolnego  ciała  a  i  r  zależą  od 
częstości  padającego  promieniowania  i  temperatury 
powierzchni,  tak  że  a  =  a(



,T)  i  r  =  r(



,T).  Między 

wielkościami a i r zachodzi związek

   

1





T

,

r

T

,

a





(10.1
)

 

 

   

1





T

,

r

T

,

a





Dla  ciała  doskonale  czarnego,  niezależnie  od 
częstotliwości  promieniowania  i  temperatury 
powierzchni a = 1 i r = 0.

Podstawowym 

prawem 

odnoszącym 

się 

do 

promieniowania 

termicznego 

ciał 

jest 

prawo 

Kirchhoffa,  które  mówi,  że 

stosunek  zdolności 

emisyjnej  do  zdolności  absorpcyjnej  jest  dla 
wszystkich powierzchni jednakowy

(10.2)

 

   

T

,

T

,

a

T

,

e











Funkcja ε(ν,T) jest pewną funkcją uniwersalną. Jej sens 
fizyczny  jest  natychmiast  jasny,  gdy  przyjąć  a(ν,T)  =  1. 
Wówczas  ε  (ν,T)  =  e(ν,T),  tzn.,  że  funkcja  ε  (ν,T)  jest 
zdolnością emisyjną ciała doskonale czarnego.

 

 

Aby uzasadnić prawo Kirchhoffa wyobraźmy sobie 

zbiornik  (ciało  z  wnęką)  pozostający  w  temperaturze  T. 
Jeżeli  wyciąć  w  tym  zbiorniku  otwór  o  jednostkowej 
powierzchni,  to  w  ciągu  jednostki  czasu  otworem 
zbiornika  wypromieniuje  ilość  energii  równa  ε(ν,T)dν. 
Jeżeli  otwór  nie  jest  wycięty,  to  pada  na  jednostkową 
powierzchnię  w  czasie  jednostki  czasu  taka  sama  ilość 
energii. Część tej energii zostanie zaabsorbowana a(ν,T) 
ε(ν,T)dν.  W  stanie  równowagi  taką  samą  ilość  energii 
ścianka  musi  wypromieniować.  Zatem  e(ν,T)  =  a(ν,T) 
ε(ν,T), co jest właśnie prawem Kirchhoffa.

Z  powyższego  widać  jednoznacznie,  że  zdolność 

emisyjną  dowolnej  powierzchni  uzyskujemy  mnożąc  jej 
zdolność  absorpcyjną  a(ν,T)  przez  zdolność  emisyjną 
ciała doskonale czarnego ε(ν,T). Ponieważ zawsze , więc 
i  e(ν,T)          ε(ν,T),  tzn.  zdolność  emisyjna  każdej 
powierzchni  nie  jest  większa  od  zdolności  emisyjnej 
ciała doskonale czarnego.  



 

 



m a x 1



m a x 2



T

1

T > T

2

1



Rys. 10.2. Zależność zdolności 
emisyjnej 

ciała 

doskonale 

czarnego od częstotliwości dla 
dwóch temperatur T

1

 i T

2

.

Pomiary  zdolności  emisyjnej 
ciała  doskonale  czarnego 
doprowadziły  do  wyników 
zaprezentowanych  na  rys. 
10.2,  gdzie  przedstawiono 
ε(ν,T) 

jako 

funkcję 

częstotliwości 

dla 

dwóch 

różnych  temperatur  T

1

  i  T

2

 

(

T

1

 < T

2

).

Całkowita  energia  E 

wypromieniowana 

przez 

jednostkową  powierzchnię  w 
czasie  jednostki  czasu  jest 
równa 

polu 

powierzchni 

ograniczonej 

każdą 

z 

krzywych.  Energia  ta  rośnie 
z temperaturą według prawa

4

T

E





Wzór powyższy nazywa się prawem Stefana-Boltzmanna, gdyż 
był po raz pierwszy wyznaczony przez Stefana, a teoretycznie 
wyprowadzony przez Boltzmanna 

 

 

4

T

E





Stała  σ  jest  stałą  Stefana-Boltzmanna  a 
jej wartość wynosi 5,6710

–8

 Wm

–2

K

–4

.

Funkcja  ε(ν,T)  ma  maksimum,  które  zależy  od 
temperatury.  Im  wyższa  temperatura,  tym  maksimum 
przypada  dla  wyższej  częstotliwości.  Między  ν

max

  a  T 

zachodzi prosta zależność

(10.4)

Prawo to nazywa się prawem Wiena.

T

const

max







 

 

Pod  koniec  XIX  w.  przeprowadzono  bardzo 

staranne  pomiary  promieniowania  termicznego  ciała 
doskonale  czarnego.  Okazało  się  jednak,  że  próby 
wyprowadzenia  prawa  opisującego  to  widmo  oparte  na 
zasadach  fizyki  klasycznej,  prowadzą  do  absurdalnych 
wyników.  Np.  Rayleigh  i  Jeans  stosując  prawa 
klasycznej 

elektrodynamiki 

dla 

promieniowania 

zrównoważonego (w którym promieniowanie emitowane 
przez 

drgające 

elektrony 

atomowe 

stanowiące 

oscylatory, jest pochłaniane przez inne atomy) otrzymali 
wzór

 

kT

c

T

,

2

2

2









Zauważmy,  że  z  tego  wzoru  wynika,  iż  gęstość  energii 
jest  proporcjonalna  do   

    i  przy   

staje się nieskończona. 

Jest to oczywiście sprzeczne z eksperymentem. Jedynie 
w zakresie niskich częstotliwości zgodność jest dobra.

2









 

 

Próbując  usunąć  rozbieżności  między  teorią  a 
doświadczeniem, M. Planck w 1900 r. wysunął hipotezę, 

że  elektryczny  oscylator  harmoniczny  stanowiący 
model  elementarnego  źródła  promieniowania,  w 
procesie  emisji  promieniowania  może  tracić 
energię  tylko  porcjami,  czyli  kwantami  ΔE,  o 
wartości proporcjonalnej do częstości ν jego drgań 
własnych

. Czyli

(10.6)

gdzie współczynnik proporcjonalności h nosi nazwę 
stałej Plancka i wynosi 6,62610

–34

 Js. 

Wymiarem h jest 

działanie = (energia)(czas) = (długość)(pęd) = 
(moment pędu). 

W związku z tym stałą Plancka nazywa się też 
elementarnym kwantem działania. 





h

E 

 

 

Uogólniając  swoje  rozważania  Planck  zapostulował,  że 
energia oscylatora może przyjmować wartości

,

n = 0, 1, 2...

(10.7)

gdzie n jest liczbą kwantową. 

Jeżeli teraz przyjąć, że rozkład oscylatorów po 

możliwych dyskretnych stanach energii jest określony 
rozkładem Boltzmanna (patrz pkt. 15.4) to 
prawdopodobieństwo znajdowania się oscylatorów w 
stanie o energii nh



 w temperaturze T jest równe ,

 gdzie c jest stałym współczynnikiem określonym z 
warunku unormowania

      Wówczas średnia 

energia oscylatora wynosi 



nh

E

n







kT

/

nh

exp

c

p

n







1





n

n

p







































0

0

0

n

n

n

n

kT

/

nh

exp

kT

/

nh

exp

nh

nh

p

E









 

 







































0

0

0

n

n

n

n

kT

/

nh

exp

kT

/

nh

exp

nh

nh

p

E









(10.8)

Średnia energia 
oscylatora

Oznaczając  

     przez x i rozpisując wzór 

(10.8) otrzymamy





kT

/

h

exp









...

x

x

x

...

x

x

x

h

E





















3

2

2

1

3

2

1



Zauważmy, że 





2

2

1

1

3

2

1

x

...

x

x











natomiast

x

...

x

x

x













1

1

1

3

2

(x < 

1)

zatem

 

 













1

1

1

1

1

2

















kT

/

h

exp

h

x

x

kT

/

h

exp

h

E









Uwzględniając, że w stanie równowagi 

termicznej wydatek energii promieniowania 
oscylatorów jest całkowicie kompensowany przez 
pochłanianie padającego na nie promieniowania, 
Planck pokazał, że 

 







E

c

T

,

2

2

2







Wobec tego









1

1

2

2

3





kT

/

h

exp

c

h

T

,











(10.9
)

 

 









1

1

2

2

3





kT

/

h

exp

c

h

T

,











Wzór  ten  jest  słynnym  wzorem  Plancka  na 

zdolność  emisyjną  ciała  doskonale  czarnego.  Wzór 
ten  określa  rozkład  widmowy  promieniowania 
ciała,  który  jest  w  bardzo  dobrej  zgodności  z 
doświadczeniem.

Znając            możemy wyliczyć całkowitą energię 

emitowaną 

w 

jednostce 

czasu 

z 

jednostkowej 

powierzchni 

ciała 

doskonale 

czarnego 

poprzez 

scałkowanie wyrażenia               . 

Otrzymujemy w ten sposób całkowitą zdolność emisyjną 
E ciała doskonale czarnego

 

T

,





 

T

,



























0

3

2

0

1

2

kT

/

h

exp

d

c

h

d

T

,

E















 

 

 



















0

3

2

0

1

2

kT

/

h

exp

d

c

h

d

T

,

E















Wprowadzając pomocniczą zmienną

kT

/

h

x













0

3

4

3

2

4

1

2

x

e

dx

x

T

h

c

k

E



otrzyma
my

Występująca  tu  całka  wynosi  



/15.  Ostatecznie 

więc mamy

4

4

3

2

4

5

15

2

T

T

h

c

k

E









Uzyskaliśmy 
teoretycznie wzór 
Stefana-Botzmanna, 
przy czym stała Stefana-
Botzmanna jest równa 

3

2

4

5

15

2

h

c

k







 

 

Interesujące jest jeszcze zachowanie się funkcji             
dla  małych  częstotliwości.  Występującą  w  mianowniku 
funkcję  wykładniczą  można  rozwinąć  w  szereg, 
zostawiając dwa pierwsze wyrazy. Dostajemy wówczas

 

T

,









kT

/

h

kT

/

h

kT

/

h

exp

















1

1

1

Wzór (10.9) dla niskich częstotliwości promieniowania 
przybiera więc postać 

 

2

2

2









kT

c

T

, 

Jest 

to 

właśnie 

wzór 

Reyleigha-

Jeansa.

 

 

Oznaczając podobnie jak poprzednio 

i  narzucając  warunek  istnienia  maksimum  (d



/dx  =  0), 

mamy

Pierwiastek  tego  równania  wynosi  około  2,822,  stąd 
wynika

 s

–1

K

–1

T.

kT

/

h

x





x

e

x







3

3

10

10

877

5

822

2









,

T

h

k

,

T

h

k

x

max

max



Otrzymaliśmy  zatem  prawo  przesunięć  Wiena. 

Również  to  prawo  uzyskane  z  prawa  Plancka  jest  w 
bardzo  dobrej  zgodności  z  doświadczeniem.  Widzimy 
więc,  że  postulat  Plancka  o  tym,  że  energia  nie  może 
być wypromieniowana w sposób ciągły, doprowadził do 
teoretycznego 

wyjaśnienia 

promieniowania 

ciała 

doskonale czarnego.

Porcje energii promienistej emitowanej przez 

ciało  wynoszą  hν.  Porcje  te  zostały  nazwane 
kwantami  lub  fotonami.  Hipoteza  Plancka  dała 
początek  fizyce  kwantowej,  a  stała  h  występuje 
obecnie  we  wielu  równaniach  fizyki  atomowej, 
jądrowej i ciała stałego.

 

 

16.9. Fotoefekt

 

W  końcu  XIX  w.  odkryto  elektron.  Wkrótce  potem 

zauważono, 

że 

elektrony 

uciekają 

z 

niektórych 

powierzchni  metalicznych,  kiedy  na  powierzchnię  pada 
światło 

(rys. 

10.3). 

Od 

czasu 

eksperymentów 

dyfrakcyjnych przeprowadzonych przez Younga na dwóch 
szczelinach nie było wątpliwości, że światło jest falą. Taki 
pogląd  pozwalał  wyjaśnić  fotoefekt.  Amplitudę  drgań 
swobodnego elektronu w zmiennym polu elektrycznym  

zgodnie  z  wyrażeniem  (9.15)  zapiszemy  w  postaci 

        .  Dlatego  można  było  oczekiwać,  że  elektron 

znajdujący  się  w  pobliżu  powierzchni  opuści  metal  gdy 
amplituda A przekroczy pewną krytyczną wartość. 

t

cos

E

E

o





2



m

/

eE

A

o



 

 

P ły tk a

m e ta lo w a

Ś w ia tło

e

_

e

_

e

_

+

+

+

+

+

+

Rys. 10.3. Neutralny 
elektroskop połączony z 
płytką metalową. Przy 
oświetleniu płytki przez 
światło wybijane są 
fotoelektrony i listki 
elektroskopu ładowane 
są dodatnio

. 

Z falowej teorii światła 
wynikają następujące wnioski: 
elektron nie opuści metalu dopóki  
       nie przekroczy określonej 
wartości krytycznej, energia 
emitowanych elektronów wzrasta 
proporcjonalnie do        , jeżeli 
wielkość  

(a także natężenie) zachować stałą 
a częstotliwość światła zwiększać, 
to liczba emitowanych elektronów 
powinna zmniejszyć się. 

o

E

o

E

2

o

E

 

 

Jednakże wyniki eksperymentalne obaliły powyższe 
przewidywania

: 

  progowego  natężenia  nie  zaobserwowano,  liczba 

uciekających 

elektronów 

okazała 

się 

ściśle 

proporcjonalna do  E

0

2

 przy dowolnie małej intensywności 

padającego promieniowania,

       energia  elektronów  okazała  się  niezależna  od 

wielkości   E

0

  , 

       zauważono  zależność  energii  elektronów  od 

częstotliwości;  okazało  się,  że  istnieje  progowa 
częstotliwość  ν

0

  ,  powyżej  której  energia  emitowanych 

elektronów  rośnie  liniowo  ze  wzrostem  częstotliwości  – 
faktycznie  energia  kinetyczna  elektronów  zmienia  się  w 
przedziale od zera do maksymalnej wartości K

max

. Na rys. 

10.4  pokazano  otrzymaną  eksperymentalną  zależność 
K

max

 od częstości  ν.

 

 







K

m a x

Rys. 10.4. Zależność maksymalnej energii kinetycznej elektronów 

wybitych z metalu od częstotliwości światła.

W 1905 r. A. Einstein podał poprawne wyjaśnienie 

fotoefektu. Zaproponował śmiałą w tym czasie ideę, 

że światło stanowi zbiór kwantów z których każdy 
posiada energię hν. Założył również, że te kwanty 

światła (obecnie zwane fotonami) zachowują się 

podobnie do cząstek materialnych i że przy 

zderzeniu foton może być pochłonięty, a cała jego 

energia przekazana jest elektronowi. 

 

 

Wówczas nawet Planckowi wydawało się to dziwne. 

Jak wobec tego pogodzić prawo interferencji fal z tym, że 
jednocześnie światło składa się z cząstek? Przecież np. w 
doświadczeniu z dwoma szczelinami cząstka 
przechodziłaby bądź przez jedną bądź przez drugą 
szczelinę, co wyklucza utworzenie obrazu 
interferencyjnego. 

Teoria  Einsteina  wyjaśnia  fakty  eksperymentalne. 
Załóżmy,  że  aby  elektron  mógł  opuścić  metal  konieczna 
jest strata energii W

0

. Wówczas przy pochłonięciu fotonu 

o  energii  hν,  energia  elektronu  opuszczającego 
powierzchnię wynosi hν-W

0

. Jest to możliwa maksymalna 

energia kinetyczna

o

max

W

h

K







Powyższy związek jest zgodny z przebiegiem prostej 
eksperymentalnej przedstawionej na rys. 10.4. Einstein 
przewidział, że nachylenie prostej powinno być 
określone stałą Plancka h. 

Wielkość W

o

 nazywana jest pracą wyjścia i zależy 

od rodzaju metalu. 

 

 

Jeżeli elektron jest początkowo w stanie 

spoczynku, to przedostając się do metalu przyjmując 
energię kinetyczną U

o

. Inaczej mówiąc, układ elektron 

w metalu można przedstawić w postaci jamy potencjału 
o głębokości U

o

, jak schematycznie pokazano na rys. 

10.5. Wewnątrz metalu zewnętrzne elektrony atomu są 
swobodne (tj. nie są związane z określonymi atomami), 
a ich energia kinetyczna może się zmieniać od zera do 
E

F

. Wielkość E

F

 nazwana jest energią Fermiego. Jeżeli 

elektronowi o energii Fermiego dostarczyć dodatkowo 
energii W

o

, to jego energia  K= E

F

 + W

0

 zaledwie 

wystarcza na to ażeby opuścić metal. Innymi słowy, 
kiedy elektron opuści metal, jego energia staje się 
równa K = 0. Z rys. 10.5 widzimy, że E

F

 + W

0

 = U

o

, czyli 

W

0

 = U

o

- E

F

P o w ie r z c h n ia

h - W



o

h 

W

o

E

E

F

- U

o

0

E n e r g i a

p o te n c ja l n a

Rys. 10.5. Jama potencjału w 

której znajdują się elektrony 

metalu. Elektron o energii E

F

 

pochłania foton i przechodzi na 

wyższy poziom energetyczny

.

 

 

W zjawisku fotoefektu po pochłonięciu fotonu o energii 
hν,  elektron  z  poziomu  o  energii  E

F

  przechodzi  na 

wyższy  poziom  energetyczny.  Przy  tym  energia 
elektronu na zewnątrz metalu okazuje się równa 

hν- W

0

. 

Jest  to  maksymalna  możliwa  energia,  którą  może 
posiadać  wybity  elektron  K

max

=hν-  W

0

.  Jeżeli  elektron 

znajduje  się  na  niższym  poziomie  (poniżej  linii 
przerywanej) i  pochłania foton o tej energii, to energia 
na zewnątrz metalu będzie mniejsza od K

max

 .

 

 

16.10. Efekt Comptona

 

Stosując  klasyczną  elektrodynamikę  wykazaliśmy, 

że światło przenoszące energię  E posiada pęd    p=E/c . 
Tak  więc  kwant  świetlny  o  energii  E=hν  powinien 
charakteryzować się pędem p= hν/c. Jeżeli zamienić ν/c 
na 1



, to

(10.11)

Einstein  przewidział,  że  kwanty  świetlne  (fotony) 

będą 

zachowywać 

się 

podobnie 

do 

cząstek 

elementarnych  o  pędzie  p=h/λ  . 

W  przypadku 

fotoefektu  ten  minimalny  pęd  przekazywany  jest  całej 
próbce  metalu  i  wybitemu  z  niego  elektronowi.  Pęd 
przyjęty przez metal w takich warunkach jest zbyt mały 
i  nie  można  go  zmierzyć

, 

jednakże  przy  zderzeniu 

fotonu 

ze 

swobodnym 

elektronem 

wielkość 

przekazywanego  pędu  można  zmierzyć.  Proces  ten  – 
rozpraszanie 

fotonu 

na 

elektronie 

swobodnym, 

nazywany  jest  efektem  Comptona

.  Po  raz  pierwszy 

proces  ten  był  eksperymentalnie  potwierdzony 
przez A. Comptona w 1923 r.



h

p

 

 

Wyprowadzimy  teraz  związek 

łączący  długość  fali  rozproszonego 
fotonu  z  kątem  rozpraszania  i 
długością 

fali 

fotonu 

przed 

zderzeniem. Niech foton o energii pc 
i  pędzie  p  zderza  się  z  nieruchomym 
elektronem  o  energii  spoczynkowej 
mc

2

 . Po zderzeniu pęd fotonu będzie 

równy  p’  i  skierowany  pod  kątem  Θ, 
jak to pokazano na rys. obok 

D o

P o

e

p



'

p

'

e

p

Pęd  elektronu  odrzutu  będzie  równy  p’

e

  ,  a 

całkowita  energia  relatywistyczna  E’

e

  .  Stosujemy 

mechanikę 

relatywistyczną, 

ponieważ 

prędkość 

elektronu  może  osiągnąć  prędkości  bliskie  prędkości 
światła.  Zgodnie  z  prawem  zachowania  energii, 
całkowita  energia  przed  zderzeniem  równa  jest 
całkowitej energii po zderzeniu, wobec tego

'

e

E

c

'

p

mc

pc







2

 

 

czyli

(10.12)

Prawo zachowania pędu daje

Podnosząc obie strony do kwadratu

i odejmując ostatnie równanie od (10.12) mamy 









2

2

c

/

E

mc

'

p

p

'

e







'

e

p

'

p

p











2

2

2

2

'

e

p

'

p

'

p

p

p











2

2

2

2

2

2

2

2

2

'

e

'

e

p

c

E

cos

'

pp

mc

'

p

pmc

'

pp

c

m















prawą stronę można zamienić na 
m

2

c

2





2

2

2

2

2

2

c

m

pmc

cos

p

mc

p

'

p

c

m













 

 

stąd znajdujemy

Wykorzystując fakt, że p=h/λ otrzymujemy

czyli

(10.13)

W 

eksperymencie 

Compton 

stosował 

promieniowanie  rentgenowskie  o  znanej  długości 
fali i zauważył, że długość fali fotonów zwiększa się 
zgodnie z przewidywaniem według wzoru (10.13).







cos

mc

p

p

'

p







1

1











cos

mc

h

'







1

1

1











cos

mc

h

'







1

Promieniowanie  termiczne,  fotoefekt,  efekt 

Comptona i wiele innych eksperymentów z udziałem 
światła i atomów potwierdziły, że światło faktycznie 
zachowuje się jakby składało się z cząstek o energii 
hν i pędzie h/ν .

 

 

16.11. Dualizm korpuskularno-falowy

Jeżeli  byśmy  w  pierwszych  eksperymentach  ze 

światłem zaobserwowali efekt Comptona i fotoefekt, 

to  bylibyśmy  przekonani  o  tym,  że  światło  jest 
strumieniem  fotonów,

  które  zachowują  się  jak 

wszystkie  ”przyzwoite”  cząstki. 

Przy  takim  układzie 

rzeczy  zaobserwowanie  obrazu  interferencyjnego  od 
dwóch  szczelin  wywołałoby  zdumienie.

 

Faktycznie; 

jak 

cząstki 

mogą 

wykazywać 

właściwości 

klasycznych  fal?

  Przecież  cząstka  może  przejść  tylko 

przez jedną lub drugą szczelinę.

Paradoks  ten  stał  się  bardziej  znaczącym  w  1927 

r. kiedy  to amerykańscy fizycy C. Davisson i L.  Germer 
odkryli  właściwości  falowe  elektronu.  W  rzeczywistości 
trzy  lata  wcześniej  Louis  de  Broglie  w  swej 
rozprawie  doktorskiej  założył,  że  związek  (10.11) 
słuszny jest nie tylko dla fotonów, lecz w ogóle dla 
wszystkich cząstek. Czyli

  i

(10.14)



h

p



h

E 

 

 

De  Broglie  założył,  że  wiązka  cząstek 

dowolnego 

rodzaju 

będzie 

tworzyć 

obraz 

interferencyjny 

na 

odpowiedniej 

podwójnej 

szczelinie  charakterystyczny  dla  doświadczenia 
Younga. 

W  tych  czasach  hipoteza  de  Broglie’a  wydawała 

się  wariacką,  bodajże  niewłaściwą  do  ubiegania  się  o 
stopień  doktora.  Zaledwie  po  upływie  trzech  lat  nauka 
przeżyła  wstrząs  –  eksperyment  potwierdził  hipotezę. 
Wstrząs  był  spowodowany  tym,  że  wydawało  się 
niemożliwe aby takie cząstki jak elektrony zachowywały 
się jednocześnie jak cząstki i fale. 

W przypadku fotonów paradoks można byłoby 

usunąć zakładając, że pojedynczy foton przed 
przejściem przez dwie szczeliny zdolny jest rozszczepić 
się a następnie interferować ze sobą. Jednakże w 
przypadku elektronów, w przyrodzie nigdy nie 
zaobserwowano połowy lub części elektronu. 
Niezależnie od tego czy detektor znajduje się za 
szczeliną A lub B (rys. 10.7) elektron zawsze 
wykrywany jest w całości. 

 

 

S tr u m i e ń

e le k tr o n ó w

O d k r y ta   ty lk o

s z c z e lin a   A

R o z k ła d

e le k tr o n ó w

T y l k o   B

T y lk o   A

A + B

E k r a n

O d k r y ta   ty lk o

s z c z e li n a   B

O d k r y te   o b i e

s z c z e li n y

B

B

B

A

A

A

Rys. 10.7. Rozkład 

intensywności elektronów 

zgodnie z fizyką klasyczną

.

r

2

P

2

P

1

r

1

A

B

R o z k ł a d

k la s y c z n y

O b s e r w o w a n y

r o z k ła d

S tr u m ie ń

e l e k tr o n ó w

Rys. 10.8. Rozkład 

intensywności 

elektronów zgodnie z 

teorią kwantową.

 

 

Z tego punktu widzenia dochodzimy do wniosku, że 
pojedynczy elektron może przejść tylko przez jedną z 
dwóch szczelin na rys. 10.7 Tak więc rozkład elektronów 
na ekranie powinien być sumą rozkładów dla każdej 
szczeliny oddzielnie

. 

Chociaż logika wywodu wydaje się 

być nieskazitelną, rozkład charakterystyczny dla A+B nie 
ma miejsca! Zamiast tego obserwujemy klasyczny obraz 
interferencyjny dla dwóch szczelin przedstawiony na rys. 
10.8

. Nie zachodzi więc zaprzeczenie czystej logiki? 

Przecież wszystko to wygląda jakby 100 +100 = 0. 
Załóżmy, że w punkcie P

1

 na rys. 10.8 znajduje się licznik 

Geigera rejestrujący w każdej sekundzie 100 elektronów 
kiedy otwarta jest dowolna ze szczelin A lub B. Przy tym, 
gdy otwarte są obie szczeliny jednocześnie, licznik 
przestaje rejestrować elektrony. Oznacza to, że w punkcie 
P

1

 przypada minimum interferencyjne . Jeżeli początkowo 

otworzyć tylko szczelinę A, a później stopniowo otwierać 
szczelinę B, to zgodnie ze zdrowym rozsądkiem możemy 
oczekiwać że prędkość zliczeń w miarę odkrywania 
szczeliny B będzie stopniowo wzrastać od 100 do 200 
zliczeń na sekundę. Zamiast tego obserwujemy 
zmniejszanie prędkości zliczeń od 100 do zera. 

 

 

Ponadto, jeżeli licznik Geigera umieścić w punkcie P

2

, to 

w miarę otwierania szczeliny B prędkość zliczeń będzie 
stopniowo wzrastać od 100 do 400 zliczeń na sekundę, 
kiedy  druga  szczelina  jest  całkowicie  otwarta.  Wobec 
tego 100 + 100 = 400.

r

2

P

2

P

1

r

1

A

B

R o z k ła d

k la s y c z n y

O b s e r w o w a n y

r o z k ła d

S tr u m ie ń

e le k tr o n ó w

Jedyny sposób wyjaśnienia tych paradoksalnych 
wyników polega na stworzeniu nowego formalizmu 
matematycznego pozwalającego opisać falowe 
właściwości cząstek materialnych na poziomie 
mikroświata

, a zatem także poprawnie 

przewidującego obserwowane zjawiska 
interferencyjne. Formalizm ten musi być wewnętrznie 
spójny. 

 

 

16. 12. Funkcja falowa

Formalizm  matematyczny  za  pomocą  którego 

usuwa  się  opisane  powyżej  paradoksy,  przypisuje  każdej 
cząstce  materialnej  funkcję  falową  Ψ(x,y,z,t)  będącą 
funkcją  współrzędnych  i  czasu.  Pamiętamy,  że  natężenie 
jest  proporcjonalne  do  kwadratu  amplitudy  funkcji 
falowej.  Powróćmy  na  chwilę  do  eksperymentu  z 
elektronami.  Elektrony  przepuszczane  przez  szczelinę 
padały  w  określone  punkty  na  ekranie,  z  tym,  że  tam 
gdzie  obserwowaliśmy  maksima,  elektrony  padały 
częściej.  Okazuje  się  jednak,  że  nie  możemy  z  góry 
przewidzieć,  w  którym  miejscu  dany  elektron  padnie  na 
ekran.  Znajdując  natomiast  rozkład  natężenia  w  obrazie 
dyfrakcyjnym  można  określić  prawdopodobieństwo,  że 
elektron  padnie  w  określonym  miejscu  ekranu.  Zatem 
kwadrat amplitudy funkcji falowej jest proporcjonalny do 
gęstości  prawdopodobieństwa  znalezienia  elektronu  w 
danym  elemencie  obszaru.  Ponieważ  funkcja  falowa 



 

jest  na  ogół  funkcją  zespoloną,  to  kwadrat  amplitudy  tej 
funkcji wynosi













2

 

 













2

gdzie        jest funkcją sprzężoną z   Ψ     . Tak więc        
           jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa 
znalezienia elektronu w elemencie objętości dxdydz. 
Ponieważ suma prawdopodobieństw znalezienia 
elektronu w poszczególnych elementach objętości 
rozciągnięta na całą przestrzeń musi być równa jeden, 
zatem można tak określić funkcję falową, aby był 
spełniony warunek 

dxdydz

2







1

2





dV

V



Jest  to  warunek  unormowania  funkcji  falowej

. 

Wówczas         jest równe gęstości prawdopodobieństwa 
znalezienia elektronu.

Formalnie  funkcja  falowa  Ψ  charakteryzuje  się 
właściwościami  klasycznych  fal,  lecz  nie  reprezentuje 
takich  wielkości  jak  np.  wychylenie  cząstki  z  położenia 
równowagi.

2



 

 

Jeżeli  zdarzenie  może  przebiegać  w  kilku 

wzajemnie 

wykluczających 

się 

sposobach 

(jak 

powiedzmy,  przy  przechodzeniu  cząstek  przez  jedną  ze 
szczelin  A  i  B)  to  funkcja  falowa  takiego  zdarzenia 
przedstawia  sumę  funkcji  falowych  każdego  ze 
sposobów

To  twierdzenie  (zasada  superpozycji)  jest  identyczne  z 
zasadą  dodawania  amplitud  fal  w  optyce.  W 
rozważanym  wyżej  przykładzie, 



1

  opisuje  falę 

przechodzącą  przez  szczelinę  A,  a 



2

  –  falę 

przechodzącą  przez  szczelinę  B.  Na  ekranie  obie 
funkcje  falowe  pokrywają  się  i  dają  klasyczny  obraz 
interferencyjny  z  dwóch  szczelin,  przy  czym  n-te 
maksimum określone jest wyrażeniem

2

1











d

/

n

sin

n







 

 

Przedstawiony formalizm pociąga za sobą szereg 

niepewności wymagających dalszej interpretacji 
fizycznej. Przypuśćmy, że mamy tak słaby strumień 
elektronów, że wysyłamy pojedyncze elektrony. I w tym 
przypadku po dostatecznie długiej ekspozycji otrzymuje 
się charakterystyczny obraz dyfrakcyjny. A więc falowy 
charakter jest cechą pojedynczych cząstek. 

Zgodnie  z  prezentacją  falową  każdemu  elektronowi 
odpowiada  paczka  falowa  dzieląc  się  jednakowo 
pomiędzy  dwie  szczeliny.  Jednakże  umieszczając  za 
szczeliną  A  detektor,  zauważymy,  że  przez  szczelinę 
nigdy nie przechodzi połówka elektronu. Na tym polega 
atomizm  (zasada  niepodzielności),  według  którego 
intensywność  fali  za  szczeliną  A  charakteryzuje 
prawdopodobieństwo znalezienia całkowitego elektronu 
w  tym  miejscu.  Ponadto  jeżeli  detektor  umieścić  za 
szczeliną  A,  to  obraz  interferencyjny  wygładza  się  i 
otrzymuje  się  klasyczny  wynik,  przekształcając  obraz 
interferencyjny (rys. 10.8) w klasyczny (rys. 10.7). 

 

 

Wielu  fizyków,  włączając  Einsteina,  próbowało 
wymyślić takie doświadczenie w rezultacie którego 
można 

byłoby, 

nie 

naruszając 

obrazu 

interferencyjnego,  ustalić  przez  którą  szczelinę 
przeszła dana cząstka; 

jednakże wszystkie te próby 

były nieudane

.

Wobec  tego  co  przedstawiają  fale  odpowiadające 
elektronowi? Na to pytanie należy odpowiedzieć tak jak 
w  przypadku  fotonów.  Fale  elektromagnetyczne 
propagują  się  swobodnie  w  pustej  przestrzeni.  W 
odróżnieniu od fal mechanicznych w tym przypadku nie 
istnieje ośrodek przenoszący drgania. Funkcja falowa 



 

nie  stanowi  bezpośrednio  obserwowanej  wielkości  i  w 
tym  sensie  nie  wykonuje  ruchu  drgającego.  Fale 
klasyczne  i  fale  odpowiadające  cząstkom  podlegają 
równaniom  matematycznym  tego  samego  typu.  Lecz  w 
przypadku klasycznym amplituda fali jest bezpośrednio 
obserwowana, a dla funkcji falowej 



 – nie.

 

 

16. 13.  Dyfrakcja elektronów

Eksperyment  z  dyfrakcją  elektronów  na  dwóch 
szczelinach 

jest 

bardziej 

złożony, 

ponieważ 

charakterystyczna  długość  fali  elektronów  jest  dużo 
mniejsza od długości fal świetlnych zakresu widzialnego. 
Obliczymy  długość  fali  elektronu  przyśpieszanego 
napięciem  V  =  1000  V,  tzn.  o  energii  kinetycznej  K  = 
1000 eV = 1.610

–16

 J. Wówczas

i po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy 
410

–11

 m. Jest to więc wielkość rzędu promienia atomu. 

Ponieważ jest także porównywalne z odległością między 
atomami w ciele stałym, nasuwa się wniosek, że wiązka 
elektronów odbijając się od płaszczyzn 
krystalograficznych powinna wykazać analogiczne 
efekty jak w przypadku promieni rentgenowskich. 
Uporządkowany szereg atomów na powierzchni metalu 
działa podobnie do szczelin cienkiej siatki dyfrakcyjnej. 
Właśnie w powyższy sposób Davisson i Germer badali 
rozpraszanie powolnych elektronów na płytce niklowej. 

mK

h

p

h

2







 

 

C z o ła

f a l

P o w ie r z c h n ia

k r y s z ta łu

K r y s z ta ł

d

1

1

2

2

D e te k to r

D z ia ło   e le k tr o n o w e                                       K r y s z ta ł







 D

Rys. 10.9. (a) Przyrząd do obserwowania dyfrakcji 

elektronów od powierzchni kryształu. 

(b) Część kryształu silnie powiększona.

 

 

Na rys. 10.9 pokazano schematycznie urządzenie 

do obserwacji dyfrakcji elektronów od powierzchni 
kryształu. Jako detektor cząstek można stosować ekran 
luminescencyjny. Znając wartość kąta Θ  przy którym 
obserwuje się maksimum intensywności, można 
określić stałą Plancka. Jak widać z rys. 10.9b,  

w pierwszym maksimum intensywności powinno być 
równe długości fali h/p. Wobec tego 





sin

d

D 



sin

d

p

h



stąd



sin

pd

h 

 

 

Należy zauważyć, że w tym eksperymencie, jak i 

w kilku innych mających wyjątkowo duże znaczenie dla 
rozwoju fizyki, wielkiego odkrycia dokonano 
przypadkowo. Davisson i Germer nie postawili sobie za 
cel badanie dyfrakcji elektronów. W 1926 r. Davisson 
przedstawił na konferencji w Anglii pewne wyniki badań 
rozpraszania elektronów na powierzchni niklu. Uczeni 
europejscy zwrócili mu uwagę, że wyniki te można 
lepiej zinterpretować dyfrakcją elektronów niż 
klasycznym rozpraszaniem które badał. Po upływie 
kilku miesięcy Davisson i Germer otrzymali nowe 
wyniki jednoznacznie potwierdzające falową naturę 
elektronów, które pozwoliły określić wartość stałej 
Plancka z dokładnością do 1%. 

Wkrótce po pojawieniu się w 1924 hipotezy de 

Broglie'a, angielski fizyk Thompson przystąpił do 
systematycznego badania dyfrakcji elektronów na 
cienkich foliach metalowych. Jednakże dopiero w 1928 r. 
otrzymał transmisyjne efekty dyfrakcyjne wiązki 
elektronów przechodzących przez złotą folię o grubości 
10

–5

 m. 

 

 

Widzimy, że staranne badania i przemyślane 

podejście okazało się mniej szczęśliwe od 
”przypadkowości” Davissona i Germera. Jednakże 
doświadczenie tych dwóch amerykańskich uczonych jest 
dobrym przykładem istoty podejścia naukowego. Jeżeli 
eksperymentator, nawet przypadkowo, zauważy 
niezrozumiały dla niego efekt, to należy dokładnie zbadać 
go, dopóki nie osiągnie się pełnej jasności. 

Obecnie szczegółowo badane są obrazy dyfrakcyjne 

wytwarzane  nie  tylko  przez  elektrony,  protony,  ale 
również  przez  całe  atomy.  Falowa  natura  materii  jest 
wszechstronnie  sprawdzona  i  żadnych  odchyleń  od 
przewidywań 

teorii 

nie 

udało 

się 

dotychczas 

zaobserwować.

 

 

16.14   Zasada nieoznaczoności

Obserwacje przedmiotów opierają się na 

rejestrowaniu światła odbitego przez te 
przedmioty. 

Światło w „zderzeniu” z przedmiotem o 

dużej masie praktycznie nie zaburza jego ruchu, ale 
całkiem inną sytuację mamy w przypadku elektronów

. 

Tutaj też spodziewamy się, że zobaczymy elektron gdy 
odbijemy od niego światło (tak jak widzimy np. stół 
rejestrując światło odbite od niego). W tym jednak 
przypadku elektron w zderzeniu z fotonem dozna 
odrzutu, który całkowicie zmieni jego ruch 
(przypomnijmy sobie efekt Comptona). Zmiany tej nie 
można uniknąć ani dokładnie ocenić. Gdyby więc 
istniały orbity to byłyby one całkowicie niszczone przy 
próbie pomiarów mających potwierdzić ich istnienie. 
Dlatego wolimy mówić o prawdopodobieństwie niż o 
orbitach.

Aby przetestować nasze możliwości pomiarowe 
rozważmy wiązkę elektronów padających z prędkością 
v

0

 na szczelinę o szerokości y, tak jak na rysunku.

 

 

 

Jeżeli elektron przechodzi przez 
otwór to znamy jego położenie z 
dokładnością x. 

Elektrony ulegają ugięciu na 
szczelinie tak, że na ekranie 
obserwujemy obraz dyfrakcyjny. 

Oznacza to, że elektrony mają 
teraz oprócz prędkości poziomej 
także składową w kierunku y (są 
odchylone).

 

Spróbujmy ocenić tę składową pionową prędkości. 

Rozpatrzmy np. elektron padający na ekran w miejscu 
pierwszego minimum dyfrakcyjnego (punkt a na rysunku 
poniżej). Pierwsze minimum jest dane równaniem

ysin



 = 



a dla małego kąta

y 



  



Aby elektron doleciał do punkt a (1-sze minimum) musi 
mieć prędkość pionową v

y

 taką, że 

0

sin

v

v

y











 

 

Korzystając z obu powyższych równań otrzymujemy

lub inaczej 

v

y

y = 



v

0

 

Długość fali wiązki elektronowej jest dana przez h/p 

czyli h/mv

0

. Podstawiając to do ostatniego równania 

otrzymujemy

co można zapisać

p

y

y  h

 

y

y









0

v

v

0

0

v

v

v

m

h

y

y







 

 

p

y

y  h

Jeżeli chcemy poprawić pomiar y (zmniejszyć y) 

to w wyniku zmniejszenia szerokości szczeliny 
otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze 
ugięcie). Inaczej mówiąc zwiększone zostało p

y

. 

Równani to przedstawia ograniczenie nałożone na 
dokładność pomiarów przez przyrodę (nie ma nic 
wspólnego z wadami aparatury pomiarowej).

Równanie to jest szczególnym przypadkiem ogólnej 
zasady podanej przez W. Heisenberga znanej jako 

zasada nieoznaczoności

.

W zastosowaniu do pomiaru pędu i położenia głosi ona, 
że

h

z

p

h

y

p

h

x

p

z

y

x



















Tak więc żadna składowa ruchu 
elektronu nie może być określona z 
nieograniczoną dokładnością. Ta 
sama zasada obowiązuje w 
odniesieniu do energii i czasu.