c.d. opisu matematycznego elementów automatyki
Element całkujący idealny
-równanie różniczkowe:
Uwaga!!! Całka w wyrażeniu jest całką oznaczoną!
-równanie po transformacji Laplace’a:
-transmitancja operatorowa:
ki
– współczynnik wzmocnienia elementu całkującego
(ma jednostki np..: [m / (s V)] )
1/ ki = Ti
czas całkowania elementu całkującego (w
sekundach -określany tylko wtedy gdy sygnały:
wejściowy i wyjściowy są w tych samych jednostkach:
np. napięcie-napięcie, ciśnienie-ciśnienie itp.)
t
y
dt
t
x
ki
t
y
0
)
0
(
)
(
)
(
s
ki
s
x
s
y
s
G
)
(
)
(
)
(
s
s
x
ki
s
y
)
(
)
(
• Przykład całkowania napięcia zasilającego silnik elektryczny
(bieżący wynik całkowania jest wysokością na jaką uniesie się
masa
)
• Interpretacja czasu całkowania:
Definicja: czas całkowania elementu całkującego idealnego
jest to czas, po którym sygnał wyjściowy osiągnie wartość
równą wartości skoku jednostkowego przyłożonego do wejścia
elementu.
Przykłady urządzeń technicznych, których dynamikę można
opisać równaniem analogicznym do równania elementu
całkującego idealnego
• Przykłady całkowania sygnałów zmiennych w
czasie
Element całkujący rzeczywisty ( z
inercją)
Równanie różniczkowe:
Równanie po transformacji Laplace’a:
Transmitancja operatorowa:
Uwaga:
T( w sekundach)- stała
czasowa elementu całkującego
rzeczywistego
t
o
dt
t
x
ki
t
y
dt
t
dy
T
)
(
)
(
)
(
s
s
x
ki
s
y
s
y
s
T
)
(
)
(
)
(
sT
s
ki
s
G
1
)
(
Odpowiedź elementu całkującego rzeczywistego na
skok jednostkowy
• Całkowanie sygnału sinusoidalnego przez element
całkujący rzeczywisty
Element różniczkujący idealny
-równanie różniczkowe:
-równanie po transformacji Laplace’a:
-transmitancja operatorowa:
Uwaga: współczynnik kd nazywa się wzmocnieniem
elementu różniczkującego idealnego – ma jednostki
np..[ms/v].
Jeśli sygnały: wejściowy i wyjściowy mają te same
jednostki np. metr i metr to jednostką kd są sekundy
i wtedy kd nazywa się czasem różniczkowania Tr [s]
dt
t
dx
kd
t
y
)
(
)
(
)
(
)
(
s
x
s
kd
s
y
s
kd
s
G
)
(
Różniczkowanie sygnału elementem różniczkującym
idealnym
Różniczkowanie sygnału sinusoidalnego
Przykład urządzenia, które różniczkuje sygnał
wyjściowy idealnie
Element różniczkujący rzeczywisty ( z inercją)
-równanie różniczkowe:
-równanie po transformacji Laplace’a:
-transmitancja operatorowa:
Uwaga: stała T jest stałą czasową w sekundach elementu
różniczkującego rzeczywistego, kd to współczynnik
wzmocnienia (czas różniczkowania Tr –w sekundach dla
sygnałów o tych samych jednostkach)
dt
t
dx
kd
t
y
dt
t
dy
T
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
x
s
kd
s
y
s
y
s
T
sT
s
kd
s
G
1
)
(
Odpowiedź elementu różniczkującego rzeczywistego
na skok jednostkowy
Przykład wykorzystania elementu różniczkującego
rzeczywistego do tworzenia impulsów
synchronizujących
Przykłady urządzeń różniczkujących rzeczywistych
s
Tr
s
Tr
s
U
s
U
s
Tr
s
U
s
U
s
Tr
s
U
s
Tr
s
U
s
U
s
Tr
Tr
C
R
dt
t
dU
C
R
t
U
dt
dU
C
R
dt
t
dU
R
t
U
C
dt
dU
R
t
U
t
i
ale
R
dt
t
di
t
i
C
dt
dU
R
t
i
t
U
R
t
i
dt
t
i
C
U
t
1
)
(
1
)
(
2
1
)
(
2
)
(
1
)
(
2
)
(
2
)
(
1
)
(
2
)
(
2
1
)
(
2
)
(
2
1
1
)
(
2
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
)
(
2
)
(
)
(
1
1
0