1

1

Elementy i operacje 

symetrii

• http://math.boisestate.edu/~tconklin/

MATH124/Main/Notes/GroupTheory/Mo

lecular%20Symmetry.pdf

2

2

Symetria

• Symetria (

gr.

 συμμετρια, od συμ, podobny 

oraz μετρια, miara) – właściwość figury, 

bryły lub ogólnie dowolnego obiektu 

matematycznego (można mówić np. o 

symetrii równań), polegająca na tym, iż 

istnieje należące do pewnej zadanej klasy 

przekształcenie nie będące identycznością, 

które odwzorowuje dany obiekt na niego 

samego. Brak takiej właściwości nazywany 

jest asymetrią. W zależności od klasy 

dopuszczalnych przekształceń wyróżnia się 

rozmaite rodzaje symetrii. Tym samym 

pojęciem określa się nie tylko obiekty, ale 

też same przekształcenia.

3

3

Symetria

• Symetrycznym nazywamy każdy 

przedmiot, który może mieć dwa 

lub więcej ustawień w 

przestrzeni, które nie dadzą się 

pomiędzy sobą odróżnić. 

4

4

Elementy symetrii - oś 

symetrii

Trzykrotna oś symetrii prostopadła do płaszczyzny 
rysunku

Trzykrotna oś symetrii prostopadła do płaszczyzny 
rysunku

symetria osiowa – przekształceniem 
jest odbicie zwierciadlane figury 
względem zadanej prostej zwanej 
osią symetrii.

 

5

5

Elementy symetrii - 

płaszczyzna symetrii i środek 

symetrii

symetria płaszczyznowa – 
przekształceniem jest odbicie 
zwierciadlane figury względem 
płaszczyzny zwanej płaszczyzną 
symetrii

. 

symetria środkowa 

– 

przekształceniem jest odbicie 
zwierciadlane figury względem 
ustalonego punktu zwanego środkiem 
symetrii. Na płaszczyźnie symetria 
środkowa jest złożeniem dwóch 
symetrii osiowych o prostopadłych 
osiach (lub obrót o kąt 180 stopni), w 
przestrzeni jest złożeniem trzech 
symetrii płaszczyznowych o 
wzajemnie prostopadłych 
płaszczyznach symetrii.

6

6

Elementy symetrii - translacja

• Przesunięcie 

wszystkich 

punktów o tą 

samą 

odległość i w 

tym samym 

kierunku.

7

7

Elementy symetrii - element 

tożsamościowy E

pozostawia cząsteczkę niezmienioną. 

Wszystkie cząsteczki posiadają 

przynajmniej ten element symetrii

8

8

Elementy symetrii - oś 

symetrii

(Oś o najwyższej krotności to 

OŚ GŁÓWNA)

• n-krotna oś 

symetrii

• obrót o kąt 

360/n

• H

2

O

• *180, n = 2
• C

2

9

9

Elementy symetrii - oś 

symetrii

• n-krotna oś 

symetrii

• obrót o kąt 

360/n

• NH

3

• *120, n = 3
• C

3

10

10

Elementy symetrii - 

płaszczyzna symetrii 

 

(

dzieli 

cząsteczkę na 2 części  

mające się do siebie jak 

przedmiot do odbicia w 

lustrze)

odbici
e

odbici
e

odbici
e

odbici
e

•



v

 - płaszczyzna 

symetrii, na której 

leży główna oś 

symetrii 

(wertykalna)



h

 - płaszczyzna 

symetrii prostopadła 

do osi głównej 

(horyzontalna)

11

11

Elementy symetrii - 

płaszczyzna symetrii 





d

 - 

płaszczyzna 

symetrii 

skierowana 

pomiędzy dwie 

osie 

dwukrotne 

prostopadłe 

do osi głównej 

(diagonalna)

12

12

Elementy symetrii - inwersja 

(i)

• Przekształca punkt o 

współrzędnych (x, y, 

z) w punkt o 

współrzędnych (-x, 

-y, -z)

• w oktaedrze 

środkiem symetrii 

jest środek oktaedru

• tetraedr nie ma 

środka symetrii

13

13

Elementy symetrii - oś i 

środek symetrii

• Operacja 

obrotu wokół 

osi dwukrotnej 

 daje inny 

rezultat niż 

inwersja

14

14

Elementy symetrii - oś 

przemienna n-krotna

• Obrót o kąt

 

360/n 

• i następnie 

odbicie w 

płaszczyźnie 

symetrii 

prostopadłej 

do osi obrotu

15

15

16

16

Zbiór wszystkich operacji symetrii,

jakie można wykonać na danej

cząsteczce

nazywamy punktową grupą symetrii.

17

17

18

18

 

Dutch graphic artist Maurits Cornelis

Escher (1898–1972)

The original Escher print

Circle Limit I.

19

19

Cząsteczka BF

3

 i jej elementy 

symetrii

• Jest to cząsteczka 

o hybrydyzacji atomu 

centralnego typu sp

2

, a 

więc o budowie płaskiej, 

w której atomy fluoru 

znajdują się w narożach 

trójkąta równobocznego. 

• Elementy 

symetrii: 

oś C

3

, 3 osie C

2

, 3 

v

  i 

 1 

h

•D

3h

20

20

Cząsteczka H

2

O i jej elementy 

symetrii (grupa punktowa C

2v

)

• Elementy 

symetrii: oś 

dwukrotna C

2

, 

dwie płaszczyzny 

symetrii typu 

v

 

tj. 

v

'  i 

v

"

21

21

Cząsteczka NH

3

 i jej elementy 

symetrii (grupa punktowa C

3v

)

• Elementy  symetrii: 

oś  C

3

,

• 3  płaszczyzny 

symetrii 

v

 tj. 

v

', 



v

''   i 

v

''’ (na 

rysunku pokazano 

jedynie 

v

'). 

Pozostałe dwie 

można otrzymać 

przez obrót 

płaszczyzny 

v

' 

wokół osi C

3

 o kąty 

120  i 240  

22

22

Cząsteczka trans-

dichloroetylenu i jej elementy 

symetrii (grupa punktowa C

2h

)

• Elementy 

symetrii: oś  C

2

, 

płaszczyzna 

symetrii 

h

 

23

23

Cząsteczka B(OH)

3

 i jej 

elementy symetrii (grupa 

punktowa C

3h

)

• Elementy 

symetrii: oś  

C

3

, 

płaszczyzna 

symetrii 

h

 

24

24

Cząsteczka SF

3

 i jej elementy 

symetrii (grupa punktowa O

h

)

• Elementy 

symetrii: 3 osie  

C

4

, 4 osie   C

3

, 6 

osi  C

2

, środek 

symetrii (i), 9 

płaszczyzn 

symetrii,  

d

  

płaszczyzna 

symetrii (na 

której leżą osie C

4

 

i C

2

), 3 osie  S

4

, 4 

osie  S

6

.

25

25

Cząsteczka CCl

4

 i jej elementy 

symetrii (grupa punktowa S

4

)

• Elementy 

symetrii: oś  S

4