Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa

       

       

Matematyczny  opis  zachowania  się 

Matematyczny  opis  zachowania  się 

obiektów  regulacji  i  poszczególnych 

obiektów  regulacji  i  poszczególnych 

urządzeń  automatyki  jest  niezbędny  do 

urządzeń  automatyki  jest  niezbędny  do 

przeprowadzenia 

analizy 

i 

syntezy 

przeprowadzenia 

analizy 

i 

syntezy 

działania  układów  automatyki.  Opis  ten 

działania  układów  automatyki.  Opis  ten 

nazywany 

jest 

nazywany 

jest 

modelem 

modelem 

matematycznym

matematycznym

. 

. 

    

    

Układy dzielimy na statyczne i dynamiczne

Układy dzielimy na statyczne i dynamiczne

    

    

Statyczny – układ opisany równaniem 

Statyczny – układ opisany równaniem 

algebraicznym np. opornik

algebraicznym np. opornik

    

    

   

   

     

     

Dynamiczny - układ najczęściej opisany 

Dynamiczny - układ najczęściej opisany 

równaniem                            różniczkowym lub 

równaniem                            różniczkowym lub 

całkowym

całkowym

Ri

u 

dt

di

L

Ri

u





 

 

       

       

Właściwości  ciągłego  elementu  lub 

Właściwości  ciągłego  elementu  lub 

układu  liniowego  o  parametrach  stałych 

układu  liniowego  o  parametrach  stałych 

można  opisać  za  pomocą  równania 

można  opisać  za  pomocą  równania 

różniczkowego 

liniowego 

o 

stałych 

różniczkowego 

liniowego 

o 

stałych 

współczynnikach,  którego  postać  ogólna 

współczynnikach,  którego  postać  ogólna 

jest następująca:

jest następująca:

u

b

dt

du

b

dt

u

d

b

dt

u

d

dt

dy

dt

y

d

dt

y

d

m

m

m

m

m

n

n

n

n

0

1

1

1

1

m

0

1

1

1

1

-

n

n

...

b

y

a

+

  

a

 

+

...

+

  

a

a























Z równania wynika charakterystyka statyczna 

Z równania wynika charakterystyka statyczna 

(w  stanie      ustalonym  wszystkie  pochodne  są 

(w  stanie      ustalonym  wszystkie  pochodne  są 

równe zero)

równe zero)

u

a

b

y

0

0



Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa

 

 

     

     

Właściwości  dynamiczne  ocenia  się  zwykle  na 

Właściwości  dynamiczne  ocenia  się  zwykle  na 

podstawie  przebiegów  y(t)  nastepujących  po 

podstawie  przebiegów  y(t)  nastepujących  po 

wprowadzeniu określonego sygnału wejściowego 

wprowadzeniu określonego sygnału wejściowego 

x(t).  Wyznaczenie  tych  przebiegów  wymaga 

x(t).  Wyznaczenie  tych  przebiegów  wymaga 

rozwiązania  równania,  co  można  wykonać 

rozwiązania  równania,  co  można  wykonać 

dwiema metodami:

dwiema metodami:

         

         

Metoda  klasyczna

Metoda  klasyczna

  polega  na  wprowadzeniu 

  polega  na  wprowadzeniu 

równania 

charakterystycznego, 

obliczeniu 

równania 

charakterystycznego, 

obliczeniu 

pierwiastków  tego  równania  i  wyznaczeniu 

pierwiastków  tego  równania  i  wyznaczeniu 

stałych na podstawie warunków początkowych.

stałych na podstawie warunków początkowych.

         

         

Metoda  druga,  tzw.  metoda  operatorowa

Metoda  druga,  tzw.  metoda  operatorowa

, 

, 

która  pozwala  znacznie  uprościć  tok  obliczeń. 

która  pozwala  znacznie  uprościć  tok  obliczeń. 

Idea metody operatorowej polega na znalezieniu 

Idea metody operatorowej polega na znalezieniu 

przekształcenia pozwalającego zastąpić równania 

przekształcenia pozwalającego zastąpić równania 

różniczkowo-całkowe 

zwykłymi 

równaniami 

różniczkowo-całkowe 

zwykłymi 

równaniami 

algebraicznymi   

algebraicznymi   

Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa

 

 

Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa

 

 

Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa

 

 

Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa

 

 

Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa

 

 

Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa

 

 

   

   

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa

 

    

    

Transmitancją operatorową nazywamy wielkość 

Transmitancją operatorową nazywamy wielkość 

zdefiniowaną 

jako 

stosunek 

transformaty 

zdefiniowaną 

jako 

stosunek 

transformaty 

Laplace’a  odpowiedzi  Y(s)  do  transformaty  U(s), 

Laplace’a  odpowiedzi  Y(s)  do  transformaty  U(s), 

prze zerowych warunkach początkowych.

prze zerowych warunkach początkowych.

)

(

)

(

)

(

s

U

s

Y

s

G



Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa

 

 

   

   

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa

 

       

       

Transmitancją  operatorową  Gij(s)  (układu 

Transmitancją  operatorową  Gij(s)  (układu 

wielowymiarowego)  między  j-tym  wejściem  i  i-tym 

wielowymiarowego)  między  j-tym  wejściem  i  i-tym 

wyjściem nazywamy stosunek transformaty Laplaca j-

wyjściem nazywamy stosunek transformaty Laplaca j-

tej odpowiedzi (Yj(s)) do transformaty Laplaca i-tego 

tej odpowiedzi (Yj(s)) do transformaty Laplaca i-tego 

wymuszenia (Ui(s)) przy:

wymuszenia (Ui(s)) przy:

-zerowych warunkach początkowych

-zerowych warunkach początkowych

-założeniu  że  tylko  j-te  wymuszenie  jest  niezerowe  a 

-założeniu  że  tylko  j-te  wymuszenie  jest  niezerowe  a 

wszystkie pozostałe są równe zeru

wszystkie pozostałe są równe zeru

      

      

i=1...p

i=1...p

      

      

j=1...m.

j=1...m.

)

(

)

(

)

(

s

U

s

Y

s

G

j

i

ij



)

(

)

(

)

(

1

2

21

s

U

s

Y

s

G



 

 

Przykładowo:

Przykładowo:

Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa

 

 

   

   

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa

 

       

       

Ogólna  postać  transmitancji  operatorowej 

Ogólna  postać  transmitancji  operatorowej 

równania  różniczkowego  liniowego  o  stałych 

równania  różniczkowego  liniowego  o  stałych 

współczynnikach, przy założeniu n>m

współczynnikach, przy założeniu n>m

0

1

1

1

-

n

n

0

1

1

1

m

a

+

a

 

+

...

+

a

a

...

b

G(s)

s

s

s

b

s

b

s

b

s

n

n

m

m

m



















u

b

dt

du

b

dt

u

d

b

dt

u

d

dt

dy

dt

y

d

dt

y

d

m

m

m

m

m

n

n

n

n

0

1

1

1

1

m

0

1

1

1

1

-

n

n

...

b

y

a

+

  

a

 

+

...

+

  

a

a























)

...

b

)(

(

)

a

+

a

 

+

...

+

a

y(s)(a

0

1

1

1

m

0

1

1

1

-

n

n

b

s

b

s

b

s

s

u

s

s

s

n

m

m

n

n



















Zasady rachunku operatorowego: 

transmitancja operatorowa