Wprowadzenie do
fizyki
Mirosław
Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Wprowadzenie do
fizyki
Mirosław
Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Część 1b
Dynamika punktu
materialnego w
jednym wymiarze
3
Koniec
pokazu
Dynamika punktu
materialnego
w R
1
cz. b
Slajd podsumowania
1.8 Ruchy harmoniczne
1.9 Podsumowanie. Dynamika punk
tu materialnego w jednym wymiar
ze
Ruchy w R1
5
1.8 Ruchy harmoniczne
Piękna muzyka stanowi jedno
z najgłębszych doznań
estetycznych człowieka.
Począwszy od Pitagorasa ludzie
starają się zrozumieć na czym
polega piękno słuchanych
utworów.
Na razie wystarczy, jeżeli
powiemy, że powstanie doznań
muzycznych jest złożonym
procesem psychofizycznym,
którego główna część przebiega w
naszym mózgu.
Ruchy w R1
6
,
kx
F
gdzie F jest siłą przyłożoną do
struny,
a x wychyleniem struny z
położenia równowagi.
Zajmiemy się teraz
elementarnym procesem drgań
harmonicznych źródeł dźwięku.
Szarpnięta struna drga zgodnie
z prawem Hooke’a:
Ruchy w R1
7
Zgodnie z II zasadą dynamiki
,
2
2
kx
dt
x
d
m
F
k = moduł sprężystości; stały,
czyli
,
0
2
2
2
x
dt
x
d
gdzie
.
2
m
k
Ruchy w R1
8
lub ogólnej
Wzór w ramce jest podstawowym
wzorem opisującym drgania
harmoniczne.
Dlaczego drgania? Bo jak łatwo
sprawdzić:
t
A
t
x
sin
.
cos
sin
t
B
t
A
t
x
Ruchy w R1
9
A więc podsumowując, mamy:
.
cos
sin
,
0
2
2
2
t
B
t
A
x
x
dt
x
d
Wzór w ramce opisuje ruch
szarpniętej struny lub ogólniej ruch
oscylatora harmonicznego (który
drga ze stałą częstością
).
Ruchy w R1
1
0
Jeżeli struna jest stale „szarpana”
z siłą F(t) oraz drga w ośrodku (w
powietrzu), które stawia opór –
cdx/dt (c = stała) to równanie
drgań struny ma bardziej
skomplikowaną postać:
.
2
2
t
F
dt
dx
c
kx
dt
x
d
m
Prawo
Newtona
Prawo
Hooke’a
Opór
ośrodka
Siła
zewnętrzna
Ruchy w R1
1
1
Aby elegancko rozwiązać to
równanie, tzn. znaleźć x(t) musimy
poznać funkcję eksponencjalną e
t
oraz liczby zespolone.
Dodatek matematyczny
Ile wynosi pochodna funkcji a
t
,
gdzie a jest dowolną stałą?
Ruchy w R1
1
2
Pochodna funkcji
eksponencjalnej
Rozważmy funkcję:
.
1
ln
ln
,
ln
ln
,
dt
dy
y
dt
dy
dy
t
y
d
dt
t
y
d
a
t
t
y
a
t
y
t
Ruchy w R1
1
3
Z drugiej strony
.
ln
ln
ln
a
a
t
dt
d
dt
t
y
d
A więc
.
ln
ln
,
ln
1
a
a
a
y
dt
dy
a
dt
dy
y
t
Ruchy w R1
1
4
czyli
.
lna
a
a
dt
d
t
t
Funkcję eksponencjalną definiują
podstawy logarytmu naturalnego.
Szukamy a, dla którego
.
,
1
ln
1
a
e
a
e
a
Ruchy w R1
1
5
Dla funkcji eksponencjalnej
t
t
t
e
e
e
e
dt
d
ln
oraz
t
t
n
n
e
e
dt
d
dla dowolnego naturalnego n.
Co za wspaniała funkcja!
Ruchy w R1
1
6
Sherman K. Stein, Calculus and Analitic Geometry, McGraw-Hill 1987
Ruchy w R1
1
7
Rozważmy ponownie równanie
ruchu oscylatora harmonicznego
swobodnego, dla dowolnej funkcji
y(t):
.
0
2
2
2
t
y
dt
t
y
d
(5)
Z następującymi warunkami
początkowymi:
,
2
,
0
0
0
t
t
t
y
dt
dy
Ruchy w R1
1
8
.
0
0
0
,
sin
2
cos
,
sin
cos
,
2
0
,
cos
sin
A
A
t
t
t
A
dt
t
dy
t
B
t
A
dt
t
dy
B
y
t
B
t
A
y
.
cos
2
t
t
y
Ruchy w R1
1
9
Z drugiej strony rozwiązanie równania
(5) możemy przedstawić tak (pamiętamy
):
t
y
dt
t
y
d
n
n
.
t
e
t
y
Stąd:
,
,
0
2
2
i
gdzie = jednostka
urojona
i ogólne rozwiązanie równania (5)
ma postać:
1
i
.
t
i
t
i
e
e
t
y
Ruchy w R1
2
0
Bo, sprawdzając otrzymujemy:
.
0
,
,
2
0
0
t
t
i
t
i
dt
t
dy
e
i
e
i
dt
t
dy
y
A więc zgodnie z warunkiem
początkowym.
Ruchy w R1
2
1
Stąd wniosek:
(Leonard Euler w liście do Johna
Bernoulliego, October 18, 1740,
Bazylea)
.
2
cos
,
cos
2
t
i
t
i
t
i
t
i
e
e
t
e
e
t
Ruchy w R1
2
2
Korzystając z równości
t
t
2
cos
1
sin
otrzymujemy:
2
cos
,
2
sin
t
i
t
i
t
i
t
i
e
e
t
i
e
e
t
(ważny i bardzo przydatny wzór),
Ruchy w R1
2
3
oraz
.
2
sin
cos
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
e
e
e
e
e
t
i
t
.
sin
cos
t
i
t
e
t
i
Strona z zeszytu nastoletniego R. Feynmana
,
z książki J. Gleicka, Genius, wyd. Abacus, London, 1992
Ruchy w R1
2
5
Teraz wracamy do ogólnego
równania struny:
.
0
t
i
e
F
x
c
kx
x
m
Rozwiązania szukamy w postaci:
,
t
i
Ae
x
A nie zależy od czasu.
Ruchy w R1
2
6
Oznaczenie
.
.
,
0
2
0
2
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
e
A
F
ci
k
m
e
F
e
Aci
kAe
e
mA
.
sin
,
cos
,
sin
cos
0
0
2
0
2
A
F
c
A
F
k
m
i
A
F
ic
k
m
Ruchy w R1
2
7
.
2
,
,
2
2
0
2
0
2
2
tg
m
k
m
k
m
c
m
k
c
tg
Ruchy w R1
2
8
.
2
1
,
1
,
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
m
F
A
m
k
m
c
m
F
m
k
c
F
A
A
F
c
m
k
Ruchy w R1
2
9
Amplituda drgań ma maksimum dla
częstości drgań siły wymuszającej:
.
2
2
2
0
r
(Proszę to sprawdzić!)
Wartość amplitudy dla
równa się:
2
2
0
2
r
.
2
2
1
2
2
0
0
m
F
A
r
Ruchy w R1
3
0
Na szczęście
W przeciwnym przypadku
Nieskończona amplituda drgań oznacza
katastrofę dla dowolnych układów
drgających.
Wszystko uległoby zniszczeniu.
W związku z tym wróćmy na chwilę do
wzoru określającego amplitudę drgań:
.
0
!
A
.
2
1
2
2
2
0
2
0
m
F
A
Ruchy w R1
3
1
Możemy go zapisać tak:
.
2
2
1
2
2
0
2
2
0
0
i
i
m
F
A
Można, bez przesady powiedzieć, że
liczby zespolone gwarantują stabilność
układów drgających, a więc
gwarantują stabilność materii.
Ruchy w R1
3
2
Podstawowe składniki materii:
atomy, cząstki, jądra atomowe
są oscylatorami harmonicznymi.
Równanie ruchu, które opisuje te
układy, równanie Schrödingera
jest równaniem dla zespolonej
funkcji
.
t
r,
Ruchy w R1
3
3
Wzory do zapamiętania
.
dx
dg
dg
dF
dx
x
g
dF
.
dx
x
dg
x
f
x
g
x
d
x
df
x
d
x
g
x
f
d
Pochodna funkcji złożonej:
Pochodna iloczynu funkcji:
Ruchy w R1
3
4
Wzory do zapamiętania
.
2
x
g
dx
x
dg
x
f
x
g
dx
x
df
dx
x
g
x
f
d
Pochodna ilorazu funkcji:
Ruchy w R1
3
5
Ponadczasowe zasady
zachowania
Zasada zachowania pędu:
.
0
2
1
N
p
p
p
dt
d
.
0
x
T
x
V
dt
d
Zasada zachowania energii dla sił
potencjalnych:
Ruchy w R1
3
6
1.9. Podsumowanie
Dynamika punktu materialnego
w jednym wymiarze
a. Istnieją układy inercyjne.
W układach inercyjnych
spełnione są Zasady Dynamiki
Newtona. Ziemia nie jest
układem inercyjnym, jednak
odstępstwo od inercyjności jest
niewielkie i dlatego na Ziemi
Zasady Dynamiki są spełnione z
dość dobrym przybliżeniem.
Ruchy w R1
3
7
b. Istnieją siły potencjalne, to
znaczy siły spełniające warunek:
,
dx
x
dV
x
F
.
,
2
,
,
2
2
1
2
1
x
g
m
x
V
x
k
x
V
g
m
x
F
x
k
x
F
V(x) jest energią potencjalną.
Przykłady sił potencjalnych:
Ruchy w R1
3
8
.
2
1
stała
p
p
.
E
x
V
x
T
Zasada zachowania pędu w
przypadku braku sił zewnętrznych:
Zasada zachowania energii dla sił
potencjalnych:
Ruchy w R1
3
9
.
1
,
,
1
,
1
,
4
3
2
0
2
2
i
i
i
i
i
e
F
kx
dt
dx
c
dt
x
d
m
t
i
c. Oscylator harmoniczny:
4
0
To jest ostatni slajd części drugiej rozdziału
„Ruch punktu materialnego w przestrzeni
jednowymiarowej”.
Możesz:
•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny
rozdział,
•wrócić do materiału tego rozdziału,
•zakończyć pokaz.
Spis treści
Koniec
pokazu
