Pojęcie statystycznej
próby losowej
Pojęcie statystycznej
próby losowej
Populacja generalna
(zbiorowość statystyczna)
Populacja statystyczna (skończona lub nieskończona)
badana jest ze względu na pewne cechy(zmienne).
Rozkładem populacji generalnej będziemy nazywać
rozkład badanej cechy w tej populacji. Modelem
matematycznym rozkładu populacji jest rozkład
prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej skokowej
lub ciągłej. Odpowiednie prawdopodobieństwa w
modelowym rozkładzie zmiennej losowej interpretujemy
jako częstości względne w populacji elementów o
określonych wartościach badanej cechy.
Interesujemy się jedynie badaniami statystycznymi
częściowymi. Tak więc, by orzec coś o rozkładzie
populacji, pobieramy z niej do badania częściowego
pewną próbkę statystyczną. Ze względu na
reprezentacyjny charakter próby statystycznej
pozwalający uogólnić jej wyniki na całą zbiorowość,
dopuszczamy jedynie taki dobór próby, który jest
beztendencyjny
(losowy).
Losowość próby oznacza, że wyniki jej można traktować
jako realizację zmiennych losowych o rozkładzie
identycznym z rozkładem populacji.
Losową próbę statystyczną z nieskończonej,
hipotetycznej populacji możliwych wyników
eksperymentów (pomiarów) w badaniach przyrodniczych
lub technicznych uzyskuje się drogą obserwacji
niezależnych powtórzeń eksperymentu wykonywanego w
określonych warunkach uwzględniających różne czynniki
wpływające na wynik eksperymentu.
Próba prosta ze skończonej populacji jest uzyskiwana
przy zastosowaniu losowania ze zwracaniem.
Dla nieskończonej populacji uzyskuję się próbę prostą
zakładając niezmienne warunki powtarzalnego
doświadczenia i dokonując powtórzeń niezależnych tego
doświadczenia.
Próba prosta
Próba prosta,
może być zdefiniowana jako n-
wymiarowa zmienna losowa (wektor losowy)
X = (X
1
,X
2
,…,X
n
) o własnościach:
X
1
,X
2
,…,X
n
są niezależnymi zmiennymi
losowymi
Każda zmienna losowa X
i
(i-ty wynik w
próbie) ma rozkład identyczny z rozkładem
populacji.
Prezentacja wyników próby
Szeregi rozdzielcze
x
i
n
i
x
1
x
2
x
3
.
.
x
k
n
1
n
2
n
3
n
k
[x
0j
, x
1j
)
n
i
[x
01
, x
11
)
[x
02
, x
12
)
[x
03
, x
13
)
.
.
.
[x
0k
, x
1k
)
n
1
n
2
n
3
n
k
[x
0j
,
x
1j
)
n
i
15-25
25-35
35-45
45-55
55-65
65-75
10
25
48
30
10
5
Szereg rozdzielczy wyników próby nazywa się też
często rozkładem empirycznym, gdyż można z
niego uzyskać rozkład procentowy (tzw. Rozkład
częstości). Wyników próby rozdzielonych na k klas,
tzw. szereg skumulowanych liczebności, będący
podstawą tzw. dystrybuanty empirycznej określonej
jako
r
j
j
r
n
n
n
x
F
1
1
1
)
(
dla r = 1,2,…,k.
j
x
1j
n
j
/n
F
n
(x
1j
)
1
2
3
4
5
6
25
35
45
55
65
75
0,083
3
0,208
4
0,333
3
0,250
0
0,083
3
0,041
7
0,0833
0,2917
0,6250
0,8750
0,9583
1,0000
Graficzna prezentacja wyników
próby
0
10
1
20
2
15
3
6
4
2
Wielobok liczebności
Histogram i diagram
Dwie cechy w populacji
Jeżeli w populacji generalnej bada się jednocześnie dwia
cechy X i Y , to matematycznym modelem rozkładu
populacji jest rozkład prawdopodobieństwa
dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X, Y) . Wyniki n-
elementowej próby stanowią wtedy pary liczb (x
i
, y
i
)
dla i=1,2,…,n .
Dla dużych liczebności prób prezentacji wyników próby z
dwuwymiarowej populacji dokonuje się w postaci tzw.
tablicy korelacyjnej, stanowiącej dwudzielną kombinację
dwóch szeregów rozdzielczych – cechy X oraz Y . Tablica
korelacyjna
(dla cech ciągłych ) ma postać
Tablica korelacyjna
[y
01
,
y
11
)
[y
0 2
, y
1 2
)
[y
0 l
, y
1l
)
[x
01
, x
11
)
[x
02
, x
12
)
[x
03
, x
13
)
.
.
.
[x
0k
, x
1k
)
n
11
n
21
n
31
n
k1
n
1 2
n
2 2
n
3 2
n
k 2
n
1 l
n
2 l
n
3 l
n
k l
Obliczanie wartości statystyk z
próby
Jeżeli przez X = (X
1
,X
2
,…X
n
) oznaczymy n-elementową
próbę losową a realizację próby (wektor liczbowych
wyników próby) przez x = (x
1
,x
2
,…x
n
) to statystyką Z
n
nazywamy dowolną funkcję próby X
o wartościach rzeczywistych Z
n
= g(X)
Z
n
jest zmienną losową ma więc swój rozkład
prawdopodobieństwa.
Realizację zmiennej losowej Z
n
będącej statystyką
nazywamy wartością statystyki i oznaczamy
symbolem z
n
= g(x)
Statystyki z próby dzielimy na miary skupienia
(tendencji centralnych), miary rozproszenia (rozrzutu,
dyspersji), miary współzależności (korelacji).
Miary skupienia
n
i
r
i
r
r
X
n
X
A
1
1
Moment zwykły rzędu r
n
i
i
X
n
X
A
1
1
1
n
i
i
X
n
X
A
1
2
2
2
1
Dla r = 1 średnia arytmetyczna z próby.
Dla r = 2 średnia kwadratowa z próby.
średnia arytmetyczna z
próby
Dla konkretnych wyników próby x = (x
1
,x
2
,…x
n
)
n
i
i
x
n
x
1
1
Jeżeli mamy dla dużych prób, których wyniki
pogrupowano w szereg rozdzielczy o k klasach.
Wartość średniej wygodniej jest obliczać jako
średnią ważoną
k
j
j
j
n
x
n
x
1
0
1
[x
0j
,
x
1j
)
n
i
x
o
j
x
o
j
n
j
15-25
25-35
35-45
45-55
55-65
65-75
10
25
48
30
10
5
20
30
40
50
60
70
200
750
1600
1500
600
350
120
5000
(x
o
j
jest środkiem
klasy)
Odchylenia od średniej
arytmetycznej
Ważną własnością wartości średniej arytmetycznej z
próby jest, że suma odchyleń od niej dla wszystkich
wyników x
i
w próbie wynosi zero :
n
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
x
x
x
n
x
x
x
1
1
1
1
0
)
(
statystyki pozycyjne
Jako miarę tendencji centralnej empirycznego rozkładu
uzyskanego w próbie występują też, statystyki
pozycyjne. Wyniki z próby należy uporządkować w
niemalejący ciąg liczb.
)
(
)
2
(
)
1
(
...
n
x
x
x
Statystyką pozycyjną rzędu k nazywamy taką zmienną
losową Z
(k)
n
,
której wartości zajmują k-te miejsce w uporządkowanym,
niemalejącym ciągu wyników n-elementowej próby.
Liczbę k nazywamy rzędem lub rangą statystyki
pozycyjnej Z
(k)
k
statystyki pozycyjne cd.
Statystyki pozycyjne dzielimy na skrajne oraz na
środkowe (kwantyle z próby). Statystykę Z
(k)
k
nazywamy
skrajną jeżeli:
Statystykę Z
(k)
k
nazywamy środkową jeżeli:
Środkowe statystyki pozycyjne zwane kwantylami z
próby rzędu p
Rząd k statystyki pozycyjnej będącej kwantylem rzędu p
określa się
k =[np] lub k =[np] + 1 .
1
lub
0
lim
lim
n
k
n
k
n
n
}
1
,
0
{
lim
p
n
k
n
Mediana
Statystyka pozycyjna szczególna
)
(
2
n
n
Z
)
(
2
1
n
n
Z
dla parzystej liczby
obserwacji
dla nieparzystej liczby obserwacji
Środkowa statystyka pozycyjna –
mediana z próby (kwantyl z próby rzędu
½).
n
n
n
n
n
n
2
1
2
1
2
lim
lim
Mediana_2
Dla dużych prób, których wyniki pogrupowano w szereg
rozdzielczy o k klasach medianę z próby wyznacza się ze
wzoru interpolacyjnego:
gdzie r
m
oznacza numer przedziału klasowego, w którym
znajduje się me (jest to przedział, w którym skumulowana
liczebność n
j
osiąga n/2 , x
om
– początek przedziału
klasowego, w którym znajduje się me ; n
m
– liczebność
przedziału r
m
, h – rozpiętość (długość) przedziałów
klasowych w szeregu rozdzielczym.
1
1
2
2
m
r
j
j
om
n
n
h
x
me
Kwantyle
Dla dowolnej liczby p ( 0 < p < 1 ) kwantylem rzędu p
rozkładu zmiennej losowej X nazywamy liczbę x
p
spełniającą nierówności:
Jeżeli istnieje (dla zmiennej losowej skokowej) więcej niż
jedna taka liczba x
p
, to przyjmuje się najmniejszą z nich.
Dla zmiennej ciągłej mamy równość p=F(x
p
).
Podstawowymi
kwantylami
ważnymi zmiennej losowej X
w praktyce statystycznej są:
Centyle (p = 0.01 i 99 wielokrotności tej liczby )
Decyle (p = 0.1 i 9 wielokrotności tej liczby )
Kwartyle (p = 0.25 i 3 wielokrotności tej liczby )
Najczęściej używanym kwantylem jest x
0.5
mediana
1
oraz
p
x
X
P
p
x
X
P
p
p
Miary rozproszenia
Rozstęp
Wariancja z próby
Odchylenia standardowe
z próby
min
max
)
(
1
)
(
X
X
Z
Z
R
n
n
n
n
i
i
n
i
i
X
X
X
n
X
n
S
S
1
___
2
1
2
__
2
2
1
1
)
(
Dla małych
prób
n
i
X
X
n
S
n
n
S
1
2
___
2
2
1
1
1
ˆ
Miary rozproszenia 2
n
i
m
X
n
S
1
2
2
*
1
Jeżeli znana jest wartość średniej populacji
generalnej m
k
j
j
j
n
x
n
s
x
1
2
__
0
2
1
Dla danych z szeregu rozdzielczego
[x
0j
,
x
1j
)
n
i
15-25
25-35
35-45
45-55
55-65
65-75
10
25
48
30
10
5
WARIANCJA
Ocenia wariancję na podstawie próbki.
Składnia
WARIANCJA(liczba1;liczba2;...)
Liczba1;liczba2;... to od 1 do 30 argumentów liczbowych odpowiadających
próbce z populacji.
Uwagi
•Funkcja WARIANCJA przyjmuje, że jej argumenty są próbką z populacji.
Jeżeli nasze dane reprezentują całą populację, należy obliczyć wariancję
stosując funkcję WARIANCJA.POPUL.
•Wartości logiczne, takie jak PRAWDA i FAŁSZ oraz tekst są ignorowane. Jeśli
wartości logiczne i tekst nie mają być ignorowane, użyj funkcji arkusza
WARIANCJA.A.
•Funkcja WARIANCJA używa następującego wzoru:
Excel - help
KOWARIANCJA
Podaje wartość kowariancji, tzn.
średniej z iloczynów odchyłek
każdej pary punktu danych. Należy
używać kowariancji w celu
określenia zależności pomiędzy
dwoma zbiorami danych. Na
przykład można sprawdzić, czy
większe przychody związane są z
wyższym poziomem wykształcenia.
Składnia
KOWARIANCJA(tablica1;tablica
2)
Tablica1 jest pierwszą komórką
zakresu liczb.
Tablica2 jest drugą komórką
zakresu liczb.
Współczynnik korelacji z
próby
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
y
x
n
i
i
i
y
y
x
x
y
y
x
x
s
s
y
y
x
x
n
r
1
1
2
2
1
1
1
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
y
y
x
x
y
x
n
y
x
1
1
2
2
1
Współczynnik korelacji cd.
y
x
k
s
l
sl
l
s
s
ns
n
y
y
x
x
r
1
1
0
0
)
)(
(
18
15
13
14
16
14
42
56
61
49
50
42
3
0
-2
-1
1
-1
-8
6
11
-1
0
-8
-24
0
-22
1
0
8
9
0
4
1
1
1
64
36
121
1
0
64
90
300
i
x
i
y
x
x
i
y
y
i
)
)(
(
y
y
x
x
i
i
2
)
(
y
y
i
2
)
(
x
x
i
-37
16
286
WSP.KORELACJI
Podaje wartość współczynnika korelacji zakresów
komórek tablica1 i tablica2 . Współczynnik korelacji
jest wykorzystywany do wyznaczania zależności
pomiędzy dwoma własnościami. Na przykład, można
sprawdzić zależność między średnią temperaturą
danej miejscowości, a używaniem klimatyzatorów.
Składnia
WSP.KORELACJI(tablica1;tablica2)
Tablica1 jest to zakres komórek zawierających
wartości.
Tablica2 jest to drugi zakres komórek zawierających
wartości.
Uwagi
•Argumenty powinny być liczbami, nazwami, tablicami
lub adresami zakresów zawierających liczby.
•Jeśli argument w postaci tablicy lub zakresu zawiera
tekst, wartości logiczne lub komórki puste, to wartości
takie są pomijane, jednakże uwzględnia się komórki z
wartościami zerowymi.
•Jeśli zakresy tablica1 i tablica2 mają różne liczby
punktów danych, to funkcja WSP.KORELACJI zwraca
wartość błędu.
