Rozkład dwumianowy -
Rozkład dwumianowy -
Bernoulliego
Bernoulliego
Rozkład dwumianowy -
Rozkład dwumianowy -
Bernoulliego
Bernoulliego
Rozkład dwumianowy – definicja
Rozkład dwumianowy – definicja
1
1
Rozkład dwumianowy polega na przeprowadzeniu n jednakowych,
niezależnych doświadczeń, z których każde może zakończyć się
„sukcesem” z prawdopodobieństwem p lub „porażką” z
prawdopodobieństwem q=1-p. Prawdopodobieństwo pojawienia się
sukcesu jest jednakowe w każdym z kolejnych doświadczeń. Zmienną
losową w tym eksperymencie jest zdarzenie polegające na pojawieniu
się k liczby sukcesów w n próbach, przy czym
k<0, n>.
k
n
k
k
n
k
n
k
p
p
k
n
k
n
p
p
k
X
P
)
1
(
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów
Rozkład dwumianowy – definicja
Rozkład dwumianowy – definicja
2
2
Schematem n prób Bernoulliego nazywamy n niezależnych
doświadczeń losowych, w którym prawdopodobieństwo sukcesu
(zajścia określonego zdarzenia) w każdym doświadczeniu jest stałe,
niezależne od wyników poprzednich i równe p.
Prawdopodobieństwo, że na n przeprowadzonych doświadczeń według
schematu Bernoulliego uzyska się k sukcesów w dowolnej kolejności,
wyraża się wzorem
gdzie
k
n
k
k
n
q
p
k
n
P
,
p
q
p
1
,
1
0
Parametry poziomu wartości
Parametry poziomu wartości
zmiennej zeroedynkowej
zmiennej zeroedynkowej
Zadanie 3
Wariancja zerojedynkowej zmiennej Y jest równa 0.25. Czy wynika
z tego, że:
TAK
NIE
TAK
NIE
TAK
NIE
TAK
NIE
średnia zmiennej Y jest równa
0.5
średnia zmiennej Y jest równa
0.25
średnia zmiennej Y jest jednocześnie jej
medianą
P(Y=1) <
P(Y=0)
Zadanie 7
Zmienna statystyczna X jest zmienną zero-jedynkową Jeżeli
średnia zmiennej X jest równa 0.2, to
TAK
NIE
TAK
NIE
TAK
NIE
TAK
NIE
odchylenie przeciętne od mediany równa
się 0.2
średnia zmiennej X jest jej
medianą
P(X=1) =
P(X=0)
wariancja zmiennej X równa się
0.8
Przykład 1 - (rozkład
Przykład 1 - (rozkład
Bernoulliego)
Bernoulliego)
Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza. Piłka wpada do kosza z
prawdopodobieństwem 0,8. Znajdźmy rozkład zmiennej losowej X
przyjmującej
wartości celnych rzutów do kosza. Koszykarz może trafić 4 razy, 3
razy, itd., lub może nie trafić wcale. Wykorzystując schemat
Bernoulliego obliczmy prawdopodobieństwa poszczególnej liczby
sukcesów (trafionych rzutów) w
pięciu próbach.
4096
,
0
625
256
5
4
5
1
5
4
4
4
4
4
0
4
4
k
P
4096
,
0
625
256
5
1
5
4
4
5
1
5
4
3
4
3
3
1
3
4
k
P
1536
,
0
625
96
5
1
5
4
6
5
1
5
4
2
4
2
2
2
2
2
4
k
P
0256
,
0
625
16
5
1
5
4
4
5
1
5
4
1
4
1
3
3
1
4
k
P
0016
,
0
625
1
5
1
5
1
5
4
0
4
0
4
4
0
4
k
P
,
,
,
,
.
k
n
k
k
n
k
n
k
p
p
k
n
k
n
p
p
k
X
P
)
1
(
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów
Przykład 1 c.d. - (rozkład
Przykład 1 c.d. - (rozkład
Bernoulliego)
Bernoulliego)
Rozkład prawdopodobieństwa szukanej zmiennej losowej wygląda
następująco
,
,
.
625
1
625
16
625
96
625
256
625
256
Możemy teraz także obliczyć wartość oczekiwaną
2
,
3
625
2000
625
1024
625
768
625
192
625
16
625
256
4
625
256
3
625
96
2
625
16
1
625
1
0
EX
zatem koszykarz średnio odda 3,2 (3 w zaokrągleniu do liczby
całkowitej) rzuty celne do kosza.
0,0016 0,0256 0,1536
0,4096
0,4096
Zmienna skokowa -
Zmienna skokowa -
dyskretna
dyskretna
Zmienna losowa skokowa
Zmienna losowa skokowa
(dyskretna)
(dyskretna)
Przykład 1.
Rozpatrujemy doświadczenie polegające na rzucie symetryczną
monetą. Wynik tego doświadczenia nie jest z góry przesądzony;
pojawić się może ORZEŁ lub RESZKA. Zdarzenie „pojawienie się orła”
oraz
„pojawienie
się
reszki”
są
zdarzeniami
losowymi
(przypadkowymi).
Są
one
jednocześnie
zdarzeniami
elementarnymi, bowiem nie da się ich „rozszczepić” na zdarzenia
prostsze.
W
rozpatrywanym
doświadczeniu
zbiór
zdarzeń
elementarnych jest dwuelementowy. Empirycznie sprawdzono, że
częstość pojawiania się na przykład orła stabilizuje się wokół wartości
½
w
miarę
zwiększania
liczby
rzutów.
Liczba
½
to
prawdopodobieństwo pojawienia się orła. Podobnie możemy
powiedzieć, że prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki także wynosi
½.
Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych
należących do danego zbioru zdarzeń elementarnych (tzw.
zdarzenia pewne) wynosi 1.
Zmienna losowa skokowa
Zmienna losowa skokowa
(dyskretna)
(dyskretna)
Przykład 2.
Doświadczenie polega na rzucaniu kostką do gry tak długo, aż pojawi
się 6-ka. Zdarzenia elementarne związane z tym doświadczeniem
można uporządkować następująco:
1)Wyrzucenie 6-ki w pierwszym rzucie
2)Wyrzucenie 6-ki w drugim rzucie
3)Wyrzucenie 6-ki w trzecim rzucie itd.
Jak widać zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest
nieskończony, lecz przeliczalny. Prawdopodobieństwo pojawienia się 6-
ki w pierwszym rzucie wynosi 1/6 , w drugim rzucie 1/6 * 5/6, w
trzecim rzucie 1/6 * (5/6)2 itp., co prowadzi do wniosku że suma
(nieskończona)
prawdopodobieństw
wszystkich
zdarzeń
elementarnych równa jest jedności.
Zmienna losowa skokowa
Zmienna losowa skokowa
(dyskretna)
(dyskretna)
Ad. Przykład 1.
Na zbiorze zdarzeń elementarnych określamy zmienną losową X w
sposób następujący:
X(orzeł)=1
X(reszka)=0
Zmienna losowa X przyjmuje wartości ze zbioru {0,1}. Ponieważ
zdarzenia „pojawienia się orła” i „pojawienie się reszki” realizują się z
prawdopodobieństwami równymi ½ , można zapisać:
P(X=1)= P(orzeł) = ½
P(X=0)= P(reszka) = ½
Zmienna losowa skokowa -
Zmienna losowa skokowa -
definicja
definicja
Niech
E
będzie
zbiorem
zdarzeń
elementarnych
danego
doświadczenia. Funkcję X(e) przyporządkowującą każdemu zdarzeniu
elementarnemu e € E jedną i tylko jedną liczbę X(e) = x nazywamy
zmienną losową.
Zmienna losowa X jest typu skokowego, jeśli może przyjmować
skończoną lub nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości.
Wartości zmiennej losowej skokowej (określane często jako punkty
skokowe)
będziemy
oznaczać
przez
x
1
,
x
2
…,
natomiast
prawdopodobieństwa, z jakimi są one realizowane (określane jako
skoki), oznaczymy przez p
1
, p
2
…
Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeśli
przyjmuje ona tylko skończoną (lub przeliczalną) liczbę wartości {x1,
x2, x3,..., xn} (tzw. punkty skokowe), tak, że dla każdego i=1,2,...,n.)
(i=1,2,....)
P(X= xi)= pi>0,
Gdzie
.
Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartość z
prawdopodobieństwem
1
1
n
i
i
p
1
1
i
i
p
i
p
Zmienna losowa skokowa
Zmienna losowa skokowa
(dyskretna)
(dyskretna)
Przykład 3.
Do tarczy oddaje się – w sposób niezależny – 3 strzały.
Prawdopodobieństwo trafienia w tarczę wynosi ½ dla każdego strzału.
Niech zmienna losowa X oznacza liczbę trafień w tarczę.
Zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest następujący (T-
trafienie) (C- chybienie): {CCC, CCT, CTC, TCC, CTT, TCT, TTC, TTT}.
Zmienna losowa X przyjmuje więc wartości: x
1
=0, x
2
=1, x
3
=3, x
4
=3.
Stosując
elementarne
zasady
rachunku
prawdopodobieństwa
obliczamy:
P(X=0)=1/8=p
1
, P(X=1)=3/8=p
2
, P(X=2)=3/8=p
3
, P(X=3)=1/8=p
4
Prawdziwa
jest
relacja
p
1
+p
2
+p
3
+p
4
,
zatem
podane
prawdopodobieństwa można traktować jako wartość funkcji
prawdopodobieństwa zmiennej losowej. W ujęciu tabelarycznym
funkcja ta przedstawia się następująco:
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuanta zmiennej losowej
X
X
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) określoną na
zbiorze liczb rzeczywistych jako:
F(x) = P(X <= x).
Z definicji tej wynika, że dystrybuanta przyjmuje wartości równe
prawdopodobieństwu tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość nie
większą od wartości argumentu.
UWAGA!!!
Mając dany rozkład prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć jej
dystrybuantę i odwrotnie, mając daną dystrybuantę zmiennej losowej
X możemy podać rozkład prawdopodobieństwa.
Przykładowe zadanie
Przykładowe zadanie
Zadanie 1
Zadanie 1
Pewna firma posiada pięć jednakowych komputerów pracujących
niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia
roboczego komputer ulegnie awarii wynosi 0,1. Zakładamy, że
awarię usuwa się dopiero następnego dnia.
A) Jaki jest rozkład liczby komputerów ulegających awarii w ciągu dnia
roboczego i
B) jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia awarii ulegną
więcej niż dwa komputery?
)
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
(
)
9
,
0
(
)
1
,
0
(
)
(
5
5
k
k
X
P
k
k
k
Prawdopodobieństwa odpowiadające poszczególnym wartościom
(realizacjom zmiennej losowej X) są następujące:
59
,
0
59
,
0
1
1
59
,
0
1
)!
0
5
(
!
0
!
5
)
9
,
0
(
)
1
,
0
)(
(
)
0
(
5
0
5
0
X
P
k
n
k
k
n
k
n
k
p
p
k
n
k
n
p
p
k
X
P
)
1
(
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów
Zadanie 1 cd…
Zadanie 1 cd…
00001
,
0
1
00001
,
0
1
1
00001
,
0
)!
0
5
(
!
0
!
5
)
9
,
0
(
)
1
,
0
)(
(
)
5
(
00045
,
0
9
,
0
0001
,
0
5
9
,
0
0001
,
0
)!
1
5
(
!
1
!
5
)
9
,
0
(
)
1
,
0
)(
(
)
4
(
0081
,
0
81
,
0
001
,
0
2
1
3
2
1
5
4
3
2
1
81
,
0
001
,
0
)!
3
5
(
!
3
!
5
)
9
,
0
(
)
1
,
0
)(
(
)
3
(
073
,
0
73
,
0
01
,
0
3
2
1
2
1
5
4
3
2
1
73
,
0
01
,
0
)!
2
5
(
!
2
!
5
)
9
,
0
(
)
1
,
0
)(
(
)
2
(
33
,
0
66
,
0
1
,
0
5
66
,
0
1
,
0
)!
1
5
(
!
1
!
5
)
9
,
0
(
)
1
,
0
)(
(
)
1
(
59
,
0
59
,
0
1
1
59
,
0
1
)!
0
5
(
!
0
!
5
)
9
,
0
(
)
1
,
0
)(
(
)
0
(
0
5
5
5
1
4
5
4
2
3
5
3
3
2
5
2
4
1
5
1
5
0
5
0
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
Zadanie 1 cd…
Zadanie 1 cd…
Rozkład zmiennej losowej X można przedstawić w następującej
postaci:
Dystrybuanta zmiennej losowej X przyjmuje więc postać:
.
5
1
,
5
4
99999
,
0
,
4
3
99954
,
0
,
3
2
99144
,
0
,
2
1
91854
,
0
,
1
0
59049
,
0
,
0
0
)
(
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
F
Zadanie 1 cd…
Zadanie 1 cd…
Korzystając z wyznaczonej funkcji prawdopodobieństwa i dystrybuanty
obliczymy prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia roboczego
ulegną awarii więcej niż dwa komputery. Można to zrobić na dwa
sposoby:
.
5
1
,
5
4
99999
,
0
,
4
3
99954
,
0
,
3
2
99144
,
0
,
2
1
91854
,
0
,
1
0
59049
,
0
,
0
0
)
(
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
F
1)P(X > 2) = 1 – P(X 2) = 1 – F(2) = 1 – 0,99144 = 0,00856
2)P(X>2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0,0081 + 0,00045 + 0,00001 = 0,00856
Parametry Rozkładu
Parametry Rozkładu
dwumianowego
dwumianowego
Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym ma
postać:
x
k
k
n
k
n
k
p
p
x
X
P
x
F
)
1
(
)
(
)
(
Wartość oczekiwana w rozkładzie dwumianowym:
np
X
E
)
(
Wariancja w rozkładzie dwumianowym:
)
1
(
)
(
2
p
np
X
D
Oblicz:
E(X)
D2(X)
D(X)
Parametry Rozkładu
Parametry Rozkładu
dwumianowego
dwumianowego
Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym ma
postać:
x
k
k
n
k
n
k
p
p
x
X
P
x
F
)
1
(
)
(
)
(
Wartość oczekiwana w rozkładzie dwumianowym:
np
X
E
)
(
Wariancja w rozkładzie dwumianowym:
)
1
(
)
(
2
p
np
X
D
Oczekiwana (średnia) liczba komputerów ulegających awarii w ciągu dnia
roboczego wynosi:
E(X) = 5 * 0,1 = 0,5
Wariancja jest równa:
D
2
(X) = 5 * 0,1 * 0,9 = 0,45
Odchylenie standardowe wynosi:
D(X) =
0,45 = 0,67