dr inż. Katarzyna Halicka

dr inż. Katarzyna Halicka

Politechnika Białostocka 

Wydział Zarządzania

Katedra Informatyki Gospodarczej i Logistyki

Prognozowanie Gospodarcze, Ćwiczenia 
3

Prognozowanie 

Prognozowanie 

Gospodarcze

Gospodarcze

Ćwiczenia 4

Składowe szeregów czasowych

Składowe szeregów czasowych

Każdy rzeczywisty szereg czasowy obrazujący 

pewne zjawisko gospodarcze jest złożeniem 
dwóch składowych: 



 składowej systematycznej, będącej 

wynikiem oddziaływania stałego zestawu 
bodźców na zmienną prognozowaną, 



składowej przypadkowej (nieregularnej, 

składnika losowego), będącej efektem 
oddziaływania  przyczyn 
o charakterze losowym.

2

Prognozowanie gospodarcze

Składowe szeregów czasowych

Składowe szeregów czasowych

Składowa systematyczna występuje zazwyczaj w 

postaci:



trendu 

trendu – powolnych, regularnych i 
systematycznych zmian określonego zjawiska, 
obserwowanych w dostatecznie długim 
przedziale czasu, wyraża on długookresową 
skłonność do jednokierunkowych zmian (wzrostu 
lub spadku) wartości badanej zmiennej;



stałego (średniego) poziomu 

stałego (średniego) poziomu – wartości 
prognozowanej zmiennej oscylują wokół 
pewnego stałego poziomu;



składowej okresowej

składowej okresowej (periodycznej). 

3

Prognozowanie gospodarcze

Składowe szeregów czasowych

Składowe szeregów czasowych

Składową okresową  (periodyczną)

Składową okresową  (periodyczną)  można wyrazić w 

postaci:



wahań cyklicznych – długookresowych, rytmicznych wahań 
zmiennej wokół tendencji rozwojowych lub stałego przeciętnego 
poziomu, wahania cykliczne (koniunkturalne) obrazują 
powtarzające się po sobie okresy ożywienia i recesji w 
gospodarce trwające od kilku do kilkunastu lat, starzenie się 
powstawanie nowych technologii;



wahań sezonowych – wahań zmiennej wokół tendencji 
rozwojowych lub stałego przeciętnego poziomu występujących  
jako powtarzające się dość regularne zmiany ilościowe w 
przebiegu zjawisk w tych samych jednostkach kalendarzowych 
zamykające się w czasie nie przekraczającym jednego roku, ich 
źródłem są na przykład zmiany pór i miesięcy roku, dni 
tygodnia, cyklu dnia i nocy;

4

Prognozowanie gospodarcze

Graficzna prezentacja poszczególnych 

Graficzna prezentacja poszczególnych 

składowych szeregu czasowego

składowych szeregu czasowego

5

Prognozowanie gospodarcze

Relacje pomiędzy poszczególnymi komponentami szeregu

Relacje pomiędzy poszczególnymi komponentami szeregu



Postać 

addytywna

addytywna

 

gdzie:
Y

t

 - wartość zmiennej Y w momencie lub okresie t,

T

t

 - wartość składowej systematycznej opisana funkcją trendu w 

momencie lub okresie t,

S

t

 - wartość składowej systematycznej wyrażona przez składnik 

sezonowy w momencie lub okresie t,

C

t

 - wartość składowej systematycznej wyrażona przez składnik 

cykliczny w momencie lub okresie t,

E

t

 - wartość składowej losowej w momencie lub okresie t.

6

Prognozowanie gospodarcze

t

t

t

t

t

E

C

S

T

Y









 

Relacje pomiędzy poszczególnymi komponentami szeregu

Relacje pomiędzy poszczególnymi komponentami szeregu



Postać 

multiplikatywna: 

multiplikatywna: 



Postać 

mieszana:

mieszana:

7

Prognozowanie gospodarcze

t

t

t

t

t

E

C

S

T

Y









 

t

t

t

t

t

S

E

C

T

Y









Dekompozycja szeregu czasowego

Dekompozycja szeregu czasowego

Wyodrębnienie elementarnych składowych 
systematycznych i składowej przypadkowej z 
analizowanego szeregu czasowego.

 Najpopularniejszym, najprostszym, skutecznym i 
zarazem najmniej kosztownym sposobem dekompozycji 
szeregów czasowych jest 

analiza graficzna

analiza graficzna. 

Pierwszym krokiem do przeprowadzenia dekompozycji 
jest sporządzenie wykresu badanego szeregu 
czasowego. Na jego podstawie prognosta identyfikuje 
komponenty wchodzące w skład analizowanego szeregu.

8

Prognozowanie gospodarcze

Kształt kilku typowych kombinacji składowych 

Kształt kilku typowych kombinacji składowych 

szeregów czasowych

szeregów czasowych

9

Prognozowanie gospodarcze

Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych

Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych

10

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

Podstawowy model metody naiwnej

Podstawowy model metody naiwnej

Zgodnie z modelem podstawowym metody naiwnej, 

przyszła wartość zmiennej prognozowanej przyjmuje 
wartość zaobserwowaną w okresie poprzednim: 

gdzie:
y

*t+1

– prognozowana wartość zmiennej Y 

wyznaczona na

    moment lub okres t+1,

y

t

– rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej Y
   w momencie lub okresie t.

11

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

t

t

y

y 



*

1

Podstawowy model metody naiwnej

Podstawowy model metody naiwnej

Podstawowa metoda naiwna oparta jest na modelu 

błądzenia przypadkowego. Może być stosowana do 
konstrukcji prognoz:



 

krótkookresowych

krótkookresowych, 



na jeden krok w przód, 

na jeden krok w przód, 



w przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje 

składowa systematyczna w postaci 

stałego 

stałego 

(przeciętnego) poziomu 

(przeciętnego) poziomu oraz składnik losowy w postaci 

niewielkich wahań przypadkowych

niewielkich wahań przypadkowych.

12

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

Błąd 

Błąd 

ex post 

ex post 

prognozy

prognozy

13

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

Podstawowym błędem wykorzystywanym do 

oceny trafności jest bezwzględny błąd prognozy ex 
post w czasie t. Błąd ten można zapisać za pomocą 
następującej zależności:

gdzie:
y

t 

- wartość zmiennej prognozowanej w chwili t,

y

*t 

- prognoza na moment lub okres t.

W literaturze błąd ten często oznaczany jest jako 

q

t  

lub

 

e

t 

*

-

t

t

t

y

y

q 

Pierwiastek ze średniego kwadratowego 

Pierwiastek ze średniego kwadratowego 

bezwzględnego błędu prognozy ex post

bezwzględnego błędu prognozy ex post

14

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

Z uwagi na brak możliwości bezpośredniego 

odniesienia błędów bezwzględnych do zmiennej 
prognozowanej, w praktyce prognostycznej 
wykorzystywany jest pierwiastek ze średniego 
kwadratowego bezwzględnego błędu prognozy ex post).

Błąd średniokwadratowy, informuje o przeciętnych 

odchyleniach prognoz od wartości rzeczywistych.

Wartość ta wyrażona jest w tych samych jednostkach co 

zmienna prognozowana y

t

.









n

i

t

q

n

q

s

1

2

2

*

1

Względny błąd prognozy 

Względny błąd prognozy 

ex post

ex post

15

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

Względny błąd prognozy ex post informuje o 

wielkości odchylenia prognozy od wartości 
rzeczywistej w czasie t. Odchylenie to wyrażone 
jest w procentach wartości zmiennej 
prognozowanej.

%

100

%

100

-

*











t

t

t

t

t

t

y

q

y

y

y

Średnie względne błędy prognozy

Średnie względne błędy prognozy

16

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

Średni względny błąd prognozy

Wartość średnia modułu względnego błędu prognozy

Błędy te wskazują na przeciętne odchylenie prognoz 

od wartości rzeczywistej, które wyrażone jest 
najczęściej w procentach wartości zmiennej 
prognozowanej.











n

i

t

n

1

1











n

i

t

n

1

1

Współczynnik 

Współczynnik 

U Theila

U Theila

17

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

Rola współczynnika U Theila. miernika 

najczęściej sprowadza się do oceny porównawczej 
(benchmarkingu) formalnych metod 
prognostycznych z modelem naiwnym. 
Współczynnika U można przedstawić za pomocą 
następujących zależności:

2

1

1

2

1

1

1

1

*

1

2

1

1

2

1

1

1

1

*

1





































































































n

t

t

t

t

n

t

t

t

t

n

t

t

t

t

n

t

t

t

t

t

t

t

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

U

Współczynnik 

Współczynnik 

U Theila

U Theila

18

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

gdzie:
                      - względna zmiana prognozy,

                      - względna zmiana wartości 

rzeczywistej.

 
Miernik ten pozwala na porównanie względnych 

zmian prognozy i wartości rzeczywistych.

t

t

t

y

y

y 



*

1

t

t

t

y

y

y 

1

Współczynnik 

Współczynnik 

U Theila

U Theila

19

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

Współczynnik U będzie równy zero wówczas, gdy 

zbudowana prognoza będzie prognozą w 100% 
trafną (błąd prognozy ex post równy zero). 

Współczynnik U będzie równy jeden wówczas, gdy 

prognozy zbudowane przy wykorzystaniu metody 
formalnej będą równe wartościom rzeczywistym.

W przypadku, gdy względne zmiany prognozy 

będą miału przeciwny kierunek niż względne zmiany 
wartości rzeczywiste, wówczas współczynnik U 
będzie przyjmował wartości większe od jedności.

Im większe są różnice pomiędzy wartościami 

rzeczywistymi a prognozami tym współczynnik U 
Theila przyjmuje coraz większe wartości. 

Współczynnik 

Współczynnik 

U Theila

U Theila

20

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

Przedział ufności prognozy

Przedział ufności prognozy

21

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

 
Przedział ufności do prognozy ma postać:

gdzie:
z - wartość rozkładu t-Studenta dla s stopni 

swobody i poziomie prawdopodobieństwa 1-a , 

s

* 

- pierwiastek ze średniego kwadratowego 

błędu prognoz ex post.

 





*

*

*

*

;

zs

y

zs

y

t

t





Przedział ufności prognozy

Przedział ufności prognozy

22

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

 
Interpretując tak skonstruowany przedział 

ufności można stwierdzić, że z 
prawdopodobieństwem p prognoza będzie należała 
do przedziału od                do                . Wielkość 
tego przedziału odzwierciedla dokładność 
oszacowania prognoz.

 
Duży przedział ufności do prognozy może 

wskazywać na niską dokładność predykcji. 

*

*

zs

y

t



*

*

zs

y

t



Przedział ufności prognozy

Przedział ufności prognozy

23

Politechnika Białostocka

Wydział Zarządzania

Prognozowanie gospodarcze

Wybrane wartości rozkładu t-Studenta 

przy s = ∞

p=1-a

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,95

0,99

z

0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,576

KONIEC