UNIWERSYTET BYDGOSKI

IM. KAZIMIERZA WIELKIEGO

W BYDGOSZCZY

Wydział Matematyki, Fizyki i Techniki

ANALIZA WYBOCZENIA UKŁADU KONSTRUKCYJNEGO 

ZŁOŻONEGO Z PRĘTA SCISKANEGO SIŁĄ OSIOWĄ .

Kamiński Paweł

2007

 

 

 

 

Multimedialna 

pomoc 

dydaktyczna

 

- instrukcja do ćwiczeń z 

mechaniki technicznej : 

wyboczenie prętów prostych – 

teoria i przykłady zadań

 

 

 

 

Część I

TEORIA

 

 

 

 

ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH

Ważnym  zagadnieniem  w  wytrzymałości  materiałów, 
oprócz  obliczeń  wytrzymałościowych,  odkształcalności 
jest stateczność układu. Równowaga jest stateczna, jeżeli 
dowolnie  niewielkie  odkształcenie  układu  wywołuje  siły 
przywracające mu postać pierwotną. Jeżeli siła ściskająca 
P  pręt  będzie  wzrastać,  to  przy  pewnej  jej  wartości  P

kr 

minimalny  impuls  (Q  =  0)  spowoduje,  że  pręt  nie  wróci 
do  prostoliniowego  stanu  równowagi  lecz  pozostanie  w 
stanie równowagi przy krzywoliniowej postaci pręta 

 

 

 

 

Jest  to  stan,  gdzie  oprócz  ściskania  siłą  P    ,  powstaje  również 
zginanie  pręta  momentem    Mg  =  P

kr

    ,  co  może  spowodować 

zniszczenie  pręta  nawet  przy  niewielkim  wzroście  siły 
ściskającej.  Przejście  układu  ze  stanu  równowagi  chwiejnej  lub 
obojętnej  (krzywoliniowa  postać  równowagi  pręta)  nazywamy 
utratą  stateczności  układu,  a  siłę  powodującą  zmianę  stanu 
równowagi nazywamy siłą krytyczną P

 

 

 

 

Wykorzystując równanie różniczkowe linii 
ugięcia  można  uzyskać  równanie  linii 
ugięcia pręta ściskanego siłą krytyczną, a 
stąd  najmniejszą  wartość  siły  krytycznej, 
która dla pręta ściskanego między dwoma 
przegubami wynosi:

2

min

2

l

J

P

kr





 

 

 

 

NAPRĘŻENIA KRYTYCZNE

 

Jeżeli wyznaczymy siłę krytyczną, to oczywiście uzyskamy naprężenia krytyczne

F

P

kr

kr

/





przy których następuje utrata stateczności pręta ściskanego. 

Wprowadzając pojęcie minimalnego promienia bezwładności przekroju:

F

I

i

min

min



 

 

 

 

zwaną smukłością pręta, otrzymamy wzór  na naprężenia 

krytyczne zwane wzorem Eulera:

2

2

s

E

kr







a następnie wielkość charakteryzującą wymiary pręta:

min

i

l

s

w



 

 

 

 

KRZYWA EULERA DLA PRĘTÓW ŚCISKANYCH 

prop

gr

kr

s

R











2

2

prop

gr

s









stąd  :

 

 

 

 

RÓWNANIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO

Równowaga  nosi  nazwę  statecznej  w  przypadku 
gdy  po  dowolnie  małym  początkowym  wychyleniu 
z 

położenia 

równowagi, 

ruch 

układu 

mechanicznego  jest  taki,  że  wychylenia  żadnego 
punktu nie są większe od początkowych.                 
                  W  przeciwnym  przypadku  równowaga  jest 
niestateczna.

• stateczny

• niestateczny 

 

 

 

 

DŁUGOŚCI WYBOCZENIOWE DLA ŚCISKANYCH PRĘTÓW. 

 

 

 

 

W  układach  sztywnych  wartości  występujących  sił  nie  mają 
wpływu na rodzaj równowagi. 
W  układach  odkształcalnych  do  pewnej  wartości  obciążenia 
układ 

znajduje 

się 

w 

równowadze  statecznej, 

po 

przekroczeniu  tej  wartości  przechodzi  w  stan  równowagi 
niestatecznej. 

Zjawisko to zwane jest wyboczeniem i występuje przy: 

• Ściskaniu
• Zginaniu
• Skręcaniu i innych kombinacjach obciążeń

Przypadek  najprostszego  wyboczenia  występuje  przy 
zwykłym  osiowym  ściskaniu  pręta  prostego.  Wyboczeniu 
podlegają pręty smukłe, cienkie płyty i powłoki.

 

 

 

 

Jeżeli  na  pręt  działa  stosunkowa  niewielka  siła  P  ,  to  po  usunięciu 
poprzecznej  zginającej  siły  Q  =  0  pręt  powróci  do  postaci 
prostoliniowej  .  W  przeciwnym  wypadku  po  przekroczeniu  wartości 
siły,  zwaną  krytyczną  P

kr

  ,  po  usunięciu  siły  Q  pręt  pozostanie  w 

postaci krzywej. 

 

 

 

 

WYBOCZENIA,  KTÓRE  ZALEŻĄ  OD  WARTOŚCI  SIŁY 
KRYTYCZNEJ ORAZ OD WYMIARÓW PRĘTA I SPOSOBU JEGO 
ZAMOCOWANIA.

 

 

 

 

WYBOCZENIE SPRĘŻYSTE PRĘTÓW PROSTYCH

Mx

dx

y

d

EJ





2

2

y

x

P

M 

Równanie różniczkowe osi ugiętego pręta określono 

wzorem :

 

Moment zginający, który spowodowany jest 

przemieszczaniem środkowych przekrojów pręta 

wynosi :

 

 

 

 

Po dokończeniu przekształceń algebraicznych otrzymano: 

0

2

2

2





y

k

dx

y

d

gdzie
: 

z

z

EJ

P

K

EJ

P

K





,

2

MODEL FIZYCZNY

 

 

 

 

Rozważmy  warunki  równowagi  konieczne  dla  zachowania 
równowagi 

ściskanego 

pręta 

 

w 

postaci 

wygiętej 

( wyboczeniowej). Decydujący wpływ na stateczność pręta na 
zginanie  tzn.  na  wyboczenie,  wystąpi  w  płaszczyźnie 
najmniejszej sztywności na zginanie EJ.

Całkę ogólną równania określono następującą zależnością :

kx

B

kx

A

y

cos

sin 



A i B – stałe całkowanie 

gdzie :

 

 

 

 

Stałe całkowanie wyznaczono z następujących warunków brzegowych :

0

0





x

y

0



l

x

y

kx

A

y

sin



Dla B=0 mamy :

Po wykorzystaniu otrzymujemy :









n

kl

kl

A

0

sin

,..

3

,

2

,

1

,

0



n

...



w

n

gdzie:

 

 

 

 

Po uwzględnieniu  otrzymujemy :

z

EJ

l

n

P

n

l

EJ

P

2

2

2











 

Dla n=1 równanie  przedstawia wzór na siłę krytyczną P

kr 

: 

2

2

l

EJ

P

z

kr





 

 

 

 

ODKSZTAŁCENIA SPRĘŻYSTE WEDŁUG EULERA

w

w

z

w

kr

dop

n

l

I

E

n

P

P

2

2





















2

2

s

n

E

n

k

w

w

kr

w

    lub

    

P

dop

 - dopuszczalne naprężenie wybaczające,

gdzie: 

n

w

 - współczynnik bezpieczeństwa na 

wyboczenie

 

 

 

 

ODKSZTAŁCENIA SPRĘŻYSTE – PLASTYCZNE 

WEDŁUG TETMAJERA













w

w

kr

w

n

bs

a

n

k

gdzie: 



- naprężenia, które są ilorazem siły ściskającej 
przez pole przekroju poprzecznego pręta,

n

w

 - współczynnik bezpieczeństwa na 

wyboczenie

k

w

 – dopuszczalne naprężenia wybaczające

 

 

 

 

Część II

Przykład zadania z 

odkształceń 

sprężystych według 

Eulera i sprężysto – 

plastycznych według 

Tetmajera

 

 

 

 

Przykład 1

Stalowy  pręt  wykonany  ze  stali  miękkiej  o  przekroju 
kołowym  zamocowano  przegubowo  na  obu  końcach, 
ściskany jest osiowo działającą siła P.
Określić graniczne wymiary przekroju poprzecznego pręta 
przy  danej  długości  „    ”,  dla  których  można  jeszcze 
stosować  wzór  Eulera.  Znaleźć  wartość  siły  ściskającej 
pręt.

l

cm

m

l

120

2

,

1





2

7

/

10

1

,

2

cm

N

E





M

2

/

19000 cm

N



w





9

5

,

1 



Długość pręta: 

R

M

 

Dane:

n

w

2



w

n

105



gr

s

Przyjmuję współczynnik pewności na wyboczenie :

.

Smukłość graniczna :

 

 

- z tabeli.

 

 

 

 

Dopuszczalne naprężenia wybaczające

 

w

k













2

2

s

n

E

n

k

w

w

kr

w

to

2

2

7

2

2

/

2

,

18780

11025

/

10

1

,

2

8596

,

9

cm

N

cm

N

s

E

kr















 

 

 

 

Średnica przekroju „d” wyliczona ze wzoru :

2

2

2

2

2

2

2

16

16

l

R

E

d

E

l

R

d

i

M

M























cm

cm

N

cm

cm

N

E

l

R

d

M

6

,

4

/

10

1

,

2

8596

,

9

14400

/

1900

16

16

2

7

2

2

2

2





















lub

16

2

2

d

i 

4

d

i 

i

l

s 

to

oraz

 

 

 

 

 

podstawiając , mamy :

cm

s

l

d

l

s

d

d

l

s

6

,

4

105

480

105

120

4

4

4

4





















Przekrój poprzeczny „F” :

2

2

2

61

,

16

4

16

,

21

14

,

3

4

cm

cm

d

F











 

 

 

 

2

61

,

16 cm

F 

cm

d

6

,

4



m

l

2

,

1



Graniczne 

wymiary 

przekroju to :

- przekrój poprzeczny 

- średnica przekroju

 

- długość pręta

 

Wartość siły ściskającej „ P ”

w

z

n

E

l

P

I











2

2

4

4

2

22

64

75

,

447

14

,

3

64

cm

cm

d

I

z











 

 

 

 

Po przekształceniu :

kN

N

cm

cm

N

cm

n

l

E

I

P

n

l

P

E

I

w

z

16

,

158

42

,

158164

2

14400

/

10

1

,

2

8596

,

9

22

2

2

7

4

2

2

2

2

2

2







































 

 

 

 

cm

d 3



2

,

1



w

l

8

,

0

w

l

2

7

/

10

1

,

2

cm

N

E





M

2

/

19000 cm

N



w





9

5

,

1 



w

m

l

2

,

1



Dla danych :

  

;   

 

             

0,7

 

  

przyjmę n

w

 = 2 Obliczam dla:

 

  

;   

w

l

R

M

n

w

Obliczam przekrój poprzeczny pręta „F”

2

2

2

1

,

7

4

9

14

,

3

4

cm

cm

d

F











 

 

 

 

Promień 
bezwładności 

:

i

16

2

2

d

i 

to 

cm

cm

d

i

75

,

0

4

3

4







Smukłość s:

i

l

s 

160

3

120

4

4









cm

cm

d

l

s

to 

Smukłość graniczna :

 

105



gr

s

 

 

 

 

Spełniony jest więc warunek, że 

 :

gr

s

s 

, 
bo

 

105

160

 

Stosujemy więc wzór Eulera :

w

w

z

w

kr

dop

n

l

I

E

n

P

P

2

2











lub 











2

2

s

n

E

n

k

w

w

kr

w

Minimalny moment bezwładności

 

:

:

z

I

4

4

2

4

64

81

14

,

3

64

cm

cm

d

I

z











 

 

 

 

Siłę ściskającą „P”

 

w

w

z

n

l

P

E

I













2

2

kN

N

cm

cm

N

cm

m

N

cm

n

l

E

I

P

w

w

z

76

,

28

2

,

28757

28800

828206400

2

14400

/

10

1

,

2

896

,

9

4

2

2

2

2

7

4

2

2





























Ściskająca wartość krytyczna :

 

kr

P

kr

P

w

dop

kr

w

kr

dop

n

P

P

n

P

P









 

 

 

 

Dopuszczalne naprężenie wybaczające

 :

w

k













2

2

s

n

E

n

k

w

w

kr

w

2

2

2

7

2

2

/

4044

51200

/

207051600

25600

2

/

10

1

,

2

8596

,

9

cm

N

cm

N

cm

N

s

n

E

k

w

w

















kr



w

kr

w

n

k





Naprężenie krytyczne   ze wzoru : 

2

2

2

/

8088

2

/

4044

1

,

7

2

,

28757

cm

N

cm

N

cm

N

F

P

kr













 

 

 

 

Przykład 2

Rozważania odkształceń sprężysto – plastycznych.

Dla  stali miękkiej ST  3 musi  być warunek :

 

gr

s

s 

Dla stali miękkiej ST 3 wg tabeli mamy:

105



gr

s

2

/

3100

310

cm

N

MPa

a





2

/

4

,

11

14

,

1

cm

N

MPa

b





122



gr

s

2

/

2800

280

cm

N

MPa

A





2

/

0937

,

0

0094

,

0

cm

N

MPa

B





Wg Tetmajera :

Wg Ostenfelda :

 

 

 

 

bs

a

kr







2

Bs

A

kr







Funkcje aproksymujące :

- prosta określona wzorem Tetmajera – Jasińskiego

- prosta określona wzorem Ostenfelda

gdzie:
a, b, A, B to stałe materiałowe 

 

 

 

 

gr

kr

s

b

a









2

/

1903

105

4

,

11

3100

cm

N

kr











Wg Tetmajera :

2

gr

kr

Bs

A





2

2

/

4

,

1405

122

0937

,

0

2800

cm

N

kr











Wg Ostenfelda :

 

 

 

 

2

/

20000 cm

N

R

M



2

6

/

10

0

,

2

cm

N

E





cm

d 5



w

l

m

l



 2

,

1





9

5

,

1 



w

n

2



w

n

105



gr

s

1





Przeanalizujmy zadanie o danych :

Stal miękka ST 3

 , przyjmuje

 

Smukłość graniczna

 

II sposób mocowania 

- z tabeli

 

 

 

 

Przekrój poprzeczny „F”

2

2

2

6

,

19

4

25

14

,

3

4

cm

cm

d

F









z

I

4

4

4

7

,

30

64

625

14

,

3

64

cm

cm

d

I

z









Minimalny moment bezwładności 

i

l

s

w



cm

cm

cm

F

I

i

z

6

,

1

6

,

19

7

,

30

2

4







Smukłość „s”

   

gdzie :

 

 

 

 

 

gr

s

s

cm

cm

s







75

6

,

1

120

Poza zakresem ważności wzoru Eulera do obliczeń zastosujemy 

wzór                    Tetmajera – Jasińskiego przyjmując wartości dla a , 

b z tabeli.













w

w

kr

w

n

bs

a

n

k

Krytyczne naprężenia ściskające:

2

/

2245

75

4

,

11

3100

cm

N

bs

a

kr















 

 

 

 

Siła ściskająca ze wzoru

:

w

w

z

n

E

l

P

I









2

2

2

/

2245

75

4

,

11

3100

cm

N

bs

a

kr















kN

N

cm

cm

N

cm

n

l

E

I

P

n

l

P

E

I

w

w

z

w

w

z

21

21020

2

14400

/

10

2

7

,

30

8596

,

9

2

2

6

4

2

2

2







































Po przekształceniu

 :

 

 

 

 

2

2

/

5

,

1072

6

,

19

21020

cm

N

cm

N

F

P















2

2

/

5

,

1072

/

2245

cm

N

cm

N



Rzeczywiste naprężenia ściskające :

Dany pręt spełnia wymagane 

warunki na odkształcenia 

sprężysto – plastyczne !!!

 

 

 

 

Wnioski 

•  Stosowanie  wzoru  Eulera  do  wyznaczenia 
naprężeń  krytycznych  ogranicza  się  wyłącznie  do 
prętów  o  smukłości  większej  od  smukłości 
granicznej 

gr

s

s 

•  Wyboczenie  prętów  o  smukłości  mniejszej  od 
granicznej zachodzi przy naprężeniach określonych 
wzorem  Eulera,  co  wynika  z  przeprowadzonych 
zadań.

 

 

 

 

•  Wyboczenie  pręta  nie  musi  koniecznie 
doprowadzić  go  do  zniszczenia,  lecz  skutki 
jakie  spowodują  w  całej  konstrukcji  będą 
zależne  od  jej  rodzaju  i  od  charakteru 
samego wyboczenia ( sprężyste, plastyczne). 

• Pręt wyboczony nie jako „wyczerpuje” swą 
sztywność, 

po 

nie 

znacznym 

nawet 

przekroczeniu  siły  krytycznej    w  prętach 
smukłych 

przemieszczenia 

gwałtownie 

wzrastają  ,  co  powoduje  znaczny  wzrost 
naprężeń. 

• 

pręt  w  konstrukcji  złożonej  traci  swą 

nośność,  co  powoduje  najczęściej  utratę 
nośności całej konstrukcji 

 

 

 

 

KONIEC