#12 Analiza wariancji

STATYSTYKA - ĆWICZENIA

Prowadzący: Rafał Styła 
(rstyla@psych.uw.edu.pl) 

 

 

Ile grup 
porównujemy?

dwie

więcej niż dwie

Na jakiej skali zmienna 
zależna?

nominalna porządkowa

ilościowa

Chi-
kwadrat

U-Manna-
Whitneya

t-
Studenta

Jaki test wybrać, kiedy sprawdzamy istnienie różnic między 
grupami niezależnymi?

Rozkład 
normalny?

tak

nie

Wariancje 
homogeniczne?

nie

tak

Cochran 
i Cox

nominalna porządkowa

ilościowa

Kruskala-
Wallisa

Rozkład 
normalny?

nie

tak

nie

tak

F-
Fischera 
(analiza 
wariancji)

Źródło: Brzeziński J. (2004). Metodologia badań psychologicznych. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.

 

Chi-
kwadrat

Wariancje 
homogeniczne?

 

 

Ile grup 
porównujemy?

dwie

więcej niż dwie

Na jakiej skali zmienna 
zależna?

nominalna porządkowa

ilościowa

McNemar W-

Wilcoxona

t-
Studenta

Jaki test wybrać, kiedy sprawdzamy istnienie różnic między 
grupami zależnymi?

Rozkład 
normalny?

tak

nie

nominalna porządkowa

ilościowa

Friedman

Rozkład różnic d 
normalny?

F-
Fischera 
(analiza 
wariancji)

Źródło: Brzeziński J. (2004). Metodologia badań psychologicznych. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.

 

Cochran

nie

tak

 

 

Co to jest i do czego służy analiza 
wariancji?



Podstawy analizy wariancji stworzył Ronald A. Fischer w 1923 roku



Do porównywania różnic pomiędzy grupami (może być więcej niż 2, 
k>2)



Dlaczego nie można zastosować kilka porównań testem t-Studenta?



Bo za każdym razem analiza taka jest obarczona pewnym błędem. Kiedy 
wykonujemy kilka takich analiz to błędy się kumulują. Można go wyliczyć 
według wzoru:



Gdzie c to liczba wykonanych testów



Na przykład: gdy mamy do porównania 3 grupy, to trzeba by wykonać 3 
porównania testem t, czyli błąd skumulowany wynosiłby:

c

E

p

)

95

,

0

(

1



142625

,

0

857375

,

0

1

)

95

,

0

(

1

3











E

p

 

 

Podstawowe pojęcia



Zmienna niezależna w analizie wariancji nazywana jest 
CZYNNIKAMI



Wartości zmiennych niezależnych nazywamy POZIOMAMI 
czynnika



Czynnik mierzony jest na skali nominalnej



Zmienna zależna mierzona jest na skali ilościowej

 

 

Rodzaje analiz wariancji



Gdy jest jeden czynnik to mamy:



Jednoczynnikową analizę wariancji w schemacie 

międzygrupowym (lub: dla grup niezależnych) 



Jednoczynnikową analizę wariancji w schemacie 

wewnątrzgrupowym (lub: dla grup zależnych lub z pomiarem 

powtarzanym)



Gdy są dwa czynniki to mamy:



Dwuczynnikową analizę wariancji w schemacie 

międzygrupowym (lub: dla grup niezależnych) 



Dwuczynnikową analizę wariancji w schemacie 

wewnątrzgrupowym (lub: dla grup zależnych lub z pomiarem 

powtarzanym)



Gdy…



Istnieje też dwuczynnikowa analiza wariancji w schemacie 

mieszanym

 

 

Rozbicie sumy kwadratów  



Suma kwadratów całkowitych = wewnątrzgrupową sumę 
kwadratów +między grupowa suma kwadratów 

 

 

Wewnątrzgrupowy średni kwadrat
Międzygrupowy średni kwadrat



b – between-groups – między grupowy



w – within-groups –wewnątrzgrupowy

 

 

Testowanie hipotez



Stopnie swobody dla Sb (licznik) – k-1



Stopnie swobody dla Sw (mianownik) – N-k



Sprawdzamy F dla odpowiedniej ilości stopni swobody



Jeśli uzyskana wartość jest większa od wartości krytycznej z 

tablicy (s. 584) to hipotezę zerową możemy odrzucić i założyć, że 

istnieją istotne różnice między grupami (ale nie wiemy, między 

którymi) 

 

 

Przykłady rozkładu F-Fischera

 

 

Założenia leżące u podstaw analizy 
wariancji



Rozkład normalny każdej z grup



Takie same wariancje tych grup



Założenie jednorodności wariancji



Równoliczność grup



+/- 10%



Możliwe przekształcenie



Pierwiastkowe



Logarytmiczne



Ilorazowe



arcsin

 

 

Przykład – trzy oddziaływań w leczeniu 
migrenowych bólów głowy 

17

,

2

3

15

26

2







w

S

20

2

40

1

3

0

5

4

5

4

5

2



















b

S

23

,

9

17

,

2

20

)

12

,

2

(





F

2

)

(

j

ij

X

X 

2

)

(

X

X

j



2

)

(

X

X

N

j

j



 

 

Przykład – trzy oddziaływań w leczeniu 
migrenowych bólów głowy ZAPIS WYNIKU



Aby sprawdzić, czy istnieją różnice w efektywności treningu 
relaksacji, psychoedukacji i leku placebo w leczeniu 
migrenowych bólów głowy, przeprowadzono 
jednoczynnikową analizę wariancji dla danych niezależnych 
(lub w schemacie międzygrupowym) uzyskanych wyników. 
Analiza wykazała, że istnieją statystycznie istotne różnice w 
efektywności ich działania, F(2,12)=9,23; p<0,01. 

 

 

Która klasa uzyskała lepsze wyniki na klasówce z 
historii?

 

 

Post-hoc’i i kontrasty 



Wynik z testu F-Fischera mówi nam, że między badanymi 
grupami istnieją różnice. Nie wiemy jednak między którymi. 
Z tego względu w praktyce dodatkowo przeprowadza się – 
do wyboru – jedną z dwóch analiz: tzw post-hoc’i i kontrasty.

 

 

Praca domowa



S. 291 ćw.: 1, 2, 3

DO PRZYNIESIENIA NA 

KOLOKWIUM



TABLICE - xero



Chi2



Wartości krytyczne F – 
wystarczy pierwsza strona



Kalkulator



Wiedzę w głowie 

 

 

Wzory do zapamiętania

2

2

w

b

S

S

F 

 

 

Wzory, które będą podane