1
Value at risk
przypadek hrabstwa
Orange
Philippe Jorion's
Orange County Case:
Using Value at Risk
to Control Financial Risk
1
Value at risk
przypadek hrabstwa
Orange
Philippe Jorion's
Orange County Case:
Using Value at Risk
to Control Financial Risk
2
Value at risk
Celem prezentacji jest wyjaśnienie w jaki sposób władze hrabstwa Orange
w Kaliforni straciły na rynku finansowym $1.6 billiona na rynku
finansowym.
Case również prezentuje "Value at Risk" (VAR) wartości zagrozonej, która
jest prostą metodą pomiaru ryzyka na rynku finansowym.
Metoda VaR została wprowadzona do systemu finansowego w wyniku
wielu przypadków niepowodzeń na rynku instytucji inwestujących w
instrumenty pochodne
Case ilustruje jak możnaby było wykorzystać VaR do ochrony portfela
inwestycyjnego utrzymywanego przez hrabstwo
This Web case can be used by academic institutions free of charge;
other users should contact Professor Jorion.
The case is also subject to continuous improvements.
© 2008- Philippe Jorion
3
Value at risk – case
Orange County
Grudzień 1994 – Orange County zaskoczył rynek informacją,
zainwestowane przez nich środki przyniosły stratę 1,6 mld
USD.
Była to największa strata zanotowana w inwestycjach
prowadzonych przez rządy lokalne w USA i doprowadziła
wkrótcer do bankructwa lokalnych funduszy.
Strata była efektem działalności Boba Citrona – skarbnika
hrabstwa, który do inwestycji wykorzystał ok. 5,7 mld USD
przeznaczonych na cele szkół, miast samego hrabstwa.
Citron był postrzegany jak czarnoksiężnik, gdyż poprzez swoja
działalność inwestycyjna w okresach wcześniejszych
realizował dochód o ok.. 2 % wyższy niż osiągano na podobnej
działalności w innych hrabstwach.
4
Value at risk – case
Orange County
5
Value at risk – case
Orange County
Wyższy wzrost z inwestycji był możliwy dzięki inwestycjom w
instrumenty pochodne i lewarowanie portfela jak tylko było
to możliwe
Duży poziom dźwigni finansowej wynikał z reinwestowania do
portfela utrzymywanego przez hrabstwo środków
przeznaczonych na bieżącą działalność lokalnych szkół i
miast.
Poziom portfela wzrósł dzięki lewarowaniu z 7,5 mld do 20,5
mld. Citron pod zastaw swoich papierów dłużnych pozyskiwał
finansowanie na nowe inwestycje (emisja collateral), głównie
w 5 letnie obligacje (notes) emitowane przez sponsorowane
przez rzad federalny agencje. (Federal National Mortgage
Association, znana jako ``Fannie Mae'‘).
6
Value at risk – case
Orange County
Strategia Citrona była kontynuowana z
powodzeniem do 1994 roku
W tym roku FED dokonał kilku znaczących
podwyżek stóp procentowych.
Podwyżki wpłynęły na obniżenie wartości portfela
obligacji.
Efekt ten jest określany jako wrażliwość portfela
papierów dłużnych na stopę procentową i jest
mierzony przez średni czas trwania (duration)
7
Wrażliwość obligacji
Duration jest cechą charakterystyczna obligacji. Dla stałokuponowych
obligacji można intuicyjnie ja definiować jako średni okres
zapadalności wszystkich płatności wynikających z obligacji, gdzie
każda płatność jest ważona relacją jej wartości bieżącej do całkowitej
wartości obligacji (NPV)
Dla instrumentów o stałym oprocentowaniu duration jest ważnym
narzędziem zarządzania ryzykiem stopy procentowej i służy do
pomiaru wrażliwości ceny obligacji na zmianę stopy zwrotu (yield)
Rozpatrzmy obligację, która przynosi dochód 50 w pierwszym roku i 50
w drugim roku.
Zapadalność obligacji wynosi 2 lata, ale to odnosi się tylko do drugiej
płatności. Średnia zapadalność obu płatności wynosi 1,5 roku, ale
duration koryguje czas trwania w kierunku okresu 1, gdyż wartość
bieżąca płatności pierwszej jest wyższa niż płatności drugiej (zgodnie z
rachunkiem pieniądza w czasie)
8
Wrażliwość obligacji
Duration jest ważna gdyż opisuje
wrażliwość ceny obligacji na zmianę stopy
procentowej :
Stopa zwrotu z obligacji = - Duration x
1/(1+stopa procentowa) x zmiana
stopy procentowej
Duration jest tylko aproksymacją, gdyż jest
liniowa, natomiast zmiany cen są nieliniowe
9
Wrażliwość obligacji
10
Wrażliwość obligacji
Duration oraz oprocentowanie obligacji wzrastają
wraz ze wzrostem okresu życia obligacji oraz wraz
ze wzrostem poziomu lewarowania portfela
W poniższej tablicy zaprezentowano wyniki obliczenia
duration dla obligacji om różnym terminie wykupu.
Założono płatność 8 % kuponu od obligacji oraz 8 %
stopę zwrotu.
Można zaobserwować, że wraz ze wzrostem
zapadalności rośnie duration : dla obligacji 5 letniej
wynosi 4.0, dla obligacji 30 letniej 11,3 lat.
11
Wrażliwość obligacji
Table 1. Maturity and Duration
8% Yield,
8% Coupon Bonds
Maturity Duration
(Years) (Years)
1 0.93
2 1.78
3 2.59
5 3.99
7 5.21
10 6.71
30 11.26
12
Wrażliwość obligacji
Wzrost zapadalności aktywów zwiększa duration, a więc
zwiększa wrażliwość ceny obligacji na zmianę stopy
procentowej
Podobnie działa lewarowanie przy wykorzystaniu
instrumentu o krótszym terminie zapadalności.
Załóżmy, że inwestor stworzył portfel 100 milionów.
Zakupił 5 letnie obligacje. Następnie te obligacje zostały
zastawione i otrzymał gotówkę. Gotówka musi być
wykorzystana do wykupu obligacji za 5 lat.
W międzyczasie można ją wykorzystać do zakupu
następnych obligacji za 100 mln.
Proces może być powtórzony jeszcze raz, przez co poziom
lewarowania wzrośnie do 3:1
13
Wrażliwość obligacji
W tej sytuacji każdy ruch cen obligacji będzie w portfelu
multiplikowany przez 3. Jest to równoznaczne ze
wzrostem duration :
Zmiana ceny portfela = - 4 x $300 millionów x 1/
(1+stopa procentowa) x zmiana stopy
procentowej
Zmiana ceny portfela = - 12 x $100 million x 1/(1+
stopy procentowe) x zmiana stopy procentowej
W stosunku do pierwotnej duration portfela wzrosła ona
3 krotnie do 12
14
VaR wracamy do Citrona
Głównym celem Citrona była maksymalizacja
dochodu wykorzystując fakt, że
instrumenty średnioterminowe miały
wyższe oprocentowanie niż instrumenty
krótkoterminowe
W grudniu 1993 roku krótkoterminowe instrumenty
były oprocentowane poniżej 3 %, natomiast 5 letnie
na poziomie 5,2 %
Taka sytuacja spowodowała tendencję do wzrostu
duration, gdyż to dawało extra zysk.
Ale rosła duration (i wrażliwość na stopę procentową
aktywów) oraz mniejsza wrażliwość na zmianę stóp
procentowych zobowiązań.
Efekt – większe ryzyko
15
VaR wracamy do Citrona
16
Strategia działała w sytuacji spadku stóp procentowych. W lutym 94 FED
rozpoczął serię 6 kolejnych podwyżek stóp procentowych, co
spowodowało spadki na rynku obligacji.
Wydłużanie okresu duration doprowadziło do 1,6
mld strat
17
Value at Risk
VaR jest metodą szacowania zysku wykorzystującą
standardowe statystyczne metody do szacowania ryzyka
Formalnie :
VaR wyznacza maximum strat możliwych do
poniesienia w określonym horyzoncie czasowym. W
metodzie zakłada się, że poniesienia strat wyższych
niż VaR określone jest bardzo masłym
prawdopodobieństwem (np. 1 %, 5 %)
W oparciu o ocenę sytuacji portfela VaR dostarcza
sumarycznej informacji o ryzyku rynkowym.
Np.. Bank może oszacować dzienne VaR dla portfela handlowego na
poziomie 35 milionów, przy przedziale ufności 99 %. Można to
zinterpretować, że prawdopodobieństwo straty wyższej niż 35
milionów wynosi 1 %. Ta liczba informuje wszystkich o ekspozycji
banku na ryzyko i może być konfrontowana z kapitałami, rezerwami,
aktywami, gdyż jest wyrażona w jednostkach pieniężnych
18
Value at Risk
Jak wyliczyć VaR ?
Załóżmy, że mamy portfel 100 milionów w
średniookresowych obligacjach. Jak wiele możemy
stracić w ciągu miesiąca ?
100 000 ?
1 000 000 ?
10 000 000 ?
Bez odpowiedzi na to pytanie inwestorzy nie mają
możliwości odpowiedzieć na pytanie, czy zwrot
skompensuje skalę ryzyka
Aby odpowiedzieć na to pytanie należy przeanalizować
charakterystykę średniookresowych obligacji poprzez
obserwację miesięcznej stopy zwrotu z tego typu obligacji.
Dane z okres 1953-1995
19
Value at Risk –
historyczne zwroty z obligacji
20
Value at Risk
Stopy zwrotu zmieniały się w zakresie -6,5 %
(najniższa) do + 12 % (najwyższa)
Skonstruujmy empiryczny rozkład
kształtowania się stóp zwrotu porządkując je
od najniższej do najwyższej w przedziałach co
0,5 %, a następnie policzmy częstości
występowania wyników z przedziałów w całej
próbie.
Otrzymamy rozkład gęstości stopy zwrotu
21
Value at Risk
22
Value at Risk
Dla każdej stopy zwrotu możemy obliczyć prawdopodobieństwo
wystąpienia niższych stóp zwrotu (dystrybuantę)
Przyjmując poziom ufności 95 % możemy odszukać punkt dla
którego z prawdopodobieństwem 5 % znajdziemy stopy zwrotu
niższe . Ta graniczna stopa wynosi (-1,7 %)
Jeżeli policzymy prawdopodobieństwo wystąpienia stóp zwrotu
mniejszych lub równych (– 1,7 %), to będzie ono wynosiło 5 %.
Jeśli byśmy założyli, że rozkład stóp zwrotu jest normalny, to do
obliczenia wartości granicznej moglibyśmy wykorzystać
odchylenie standardowe z próby.
23
Value at Risk
Mając powyższe informacje jesteśmy gotowi
policzyć VaR dla portfela zawierającego 100
mln obligacji.
Z prawdopodobieństwem 95 % możemy stwierdzić,
że strata z portfela w ciągu miesiąca nie przekroczy :
VaR = 100 mln x (-1,7 %) = -1,7 mln
W normalnych warunkach rynkowych i dla większości
portfeli obligacji średnioterminowych istnieje 5 %
prawdopodobieństwo, że strata będzie większa niż
1,7 mln
24
Value at Risk
Dwa subiektywne założenia przy wyliczaniu VaR
(1) Horyzont
Dla portfela handlowego banku składającego się z wysoko płynnych
aktywów może być do przyjęcia jednodniowy horyzont czasowy. Dla
inwestora rozliczanego w okresach np.. Miesięcznych horyzont może
mieć dłuższy okres. Okres horyzontu powinien być dopasowany do
momentu zamiaru likwidacji portfela.
(2) Poziom ufności
Wybór poziomu ufności zależy od poziomu awersji do ryzyka oraz od
kosztów straty przewyższającej VaR. Przy większej awersji do ryzyka
oraz wyższych kosztach straty przyjmuje się wyższe poziomy ufności
25
Konwertowanie parametrów
VaR
Jeśli zakładamy kształtowanie się dochodu z portfela zgodnie z
rozkładem normalnym, to konwertowanie parametru
horyzontu lub poziomu ufności jest dość łatwe
Przy założeniu braku korelacji pomiędzy dochodami z różnych okresów
wariancja T – dni okresu będzie równa T x wariancja ze stopy zwrotu
jednodniowej. Co implikuje :
VaR(T days) = VaR(1 day) x (Jednodniowe odchylenie x T)
Konwersja w zakresie poziomu ufności opiera się na tym samym
założeniu. Z rozkładu normalnego N(0,1) wiemy, że dystrybuanta
liczona od jednego ogona dla poziomu ufności 95 % 1,645, natomiast
dla poziomu ufności 99 % wynosi 2,326 odchylenia standardowego.
Chcąc konwertować VaR z poziomu 99 % na poziom 95 %
mamy :
VAR(95%) = VAR(99%) x 1.645 / 2.326.
26
Wykorzystanie duration do szacowania ryzyka
związanego ze zmianą stopy procentowej
Na poziomie ufności 95 % VaR wynosiło
dla portfela 100 mln obligacji 1,7 mln
O ile powinny się zmieniać miesięczne
stopy procentowe, aby realizować tę
stratę?
Wykorzystanie duration 4,5 ; stopy
procentowe na poziomie 5 %
27
Wykorzystanie duration do szacowania
ryzyka związanego ze zmianą stopy
procentowej
Strata na poziomie VaR = Duration x
1/(1+stopa procentowa) x wartość
portfela x miesięczny wzrost stopy
procentowej
1,7 mln = 4,5 x 1/(1+0,05)x100x (wzrost
stopy procentowej przez miesiąc = ?)
? = 0,40 %
28