Podstawy 

metrologii

Wykład 10

Szacowanie niepewności 

pomiarowych

Pomiar

Pomiar

 

— pewna sekwencja czynności 

doświadczalnych i obliczeniowych, prowadząca do 
wyznaczenia liczbowej wartości wielkości fizycznej. 

Wynik pomiaru to wartość przypisana wielkości 

mierzonej uzyskana drogą pomiaru. 

• W realnych warunkach wynik pomiaru jest tylko 

pewnym przybliżeniem lub estymatą 
(oszacowaniem) wartości wielkości mierzonej. 

• Dlatego też jest on pełny jeśli podamy także 

niepewność tej estymaty.

Wynik pomiaru

Gdy nie jest jednoznaczne  czego dotyczy 

pomiar należy zawsze podać czy wynik 
pomiaru dotyczy:

• wskazania
• wyniku surowego
• wyniku poprawionego
• i czy jest to wynik pojedynczego 

pomiaru , czy też stanowi wartość średnią 
 z wielu pomiarów.

•

Pomiar jest zawsze operacją niedokładną

, to znaczy 

estymata wartości prawdziwej mezurandu 
otrzymana jako wynik pomiaru różni się na ogół od 
wartości prawdziwej, równość estymaty i 
estymowanej wartości jest zdarzeniem wyjątkowym, 
a fakt jego zajścia pozostaje nieznany.

•

Istotą pomiaru jest jednak to, że 

niedokładność 

wyniku pomiaru można zawsze oszacować

, to 

znaczy można zawsze określić graniczną odległość 
między znanym wynikiem pomiaru a nieznaną 
wartością prawdziwą mezurandu.

BŁĄD  NIEPEWNOŚĆ

Omyłka, uchyb, błąd, - 

niepewność ?

Szacowanie niedokładności 

pomiaru jest jedną z 

podstawowych czynności, 

która powinna być 

wykonywana w procesie 

mierzenia.

Analiza danych 

eksperymentalnych 

Przyczyny niepewności wyników 

eksperymentu:

• błędy grube
• błędy systematyczne 
• błędy przypadkowe

Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te 

uzyskane instrumentem o bardzo dużej 

precyzji i przy wysokiej dbałości 

eksperymentalnej, nie są dokładne, lecz 

mają przybliżony charakter.

Błąd gruby

• wynika  z  niedbałości  lub  ewidentnej 

pomyłki

 

eksperymentatora, 

wyraźnej 

niesprawności  sprzętu  albo  nieoczekiwanego 
zaburzenia układu pomiarowego

• objawia  się  istnieniem  jednego  wyniku 

znacząco 

odstającego 

od 

pozostałych, 

uzyskanych w danej serii pomiarów

• wynik  pomiaru  obarczony  błędem  grubym 

jest  zazwyczaj  łatwo  zauważalny  i  należy  go 
odrzucić.

23,3 mm;  24,5 mm;  27,9 mm ;  33,5 mm;  
4,2 mm 

W wątpliwych sytuacjach trzeba stosować 

czasami skomplikowane testy statystyczne !!!!

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone 
symbolem       )

x

0

 – wartość 

prawdziwa

błąd 
gruby

BŁĘDY „GRUBE” 
ODRZUCAMY

Błędy grube

Błąd systematyczny

• błąd  polegający  na 

stałym  lub 

zmiennym, 

systematycznym 

odchyleniu  wyniku  pomiaru  od 
rzeczywistej

 

wartości 

wielkości 

mierzonej 

• przesunięcie wyniku następuje zwykle 

w tę sama stronę

• metody  statystyczne  nie  mają  tu 

zastosowania.

 niedoskonałość przyrządów pomiarowych

 błędne wyskalowanie, złe zerowanie

 błąd paralaksy

 złe wzorce

 nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru 
    do warunków skalowania (inne warunki pomiaru
    obiektu i wzorca) 

Oddziaływania systematyczne:

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone 
symbolem       )

x

0

 – wartość 

prawdziwa

Z błędem systematycznym mamy do 
czynienia, gdy przy powtarzaniu pomiaru 
występuje ta sama różnica między 
wartościami zmierzonymi a wartością 
prawdziwą, natomiast rozrzut wyników 
poszczególnych pomiarów jest mały. Błędy te 
są powodowane

 

oddziaływaniami 

systematycznymi

Błędy (niepewności) systematyczne

Błędy przypadkowe

 powstaje na skutek działania 

czynników 

losowych

 

jest miarą rozrzutu

 otrzymywanych 

wyników 
   wokół wartości najbardziej prawdopodobnej.

 błędu przypadkowego w zasadzie 

nie da się

   wyeliminować

 a także nie da się go 

oszacować 
   przed dokonaniem pomiaru

 staramy się tak zaprojektować i 
przeprowadzić pomiar,
    aby wartość błędu przypadkowego była jak 
najmniejsza

 po zakończeniu pomiaru dokonujemy oceny 
wielkości
   błędu losowego przy użyciu narzędzi 
statystycznych.

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone 
symbolem       )

x

0

 – wartość 

prawdziwa

Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym 
odchyleniem wyniku pomiaru od wartości 
rzeczywistej. Fluktuacje czasowe i przestrzenne 
wielkości nie mierzonej. Charakter losowy. 
Źródłem błędów przypadkowych są tzw. 

oddziaływania przypadkowe

Błędy (niepewności) przypadkowe

 

niedokładność odczytu (niedokładna ocena części 

    działki miernika, niezbyt staranne wyznaczenie 
    optimum ostrości obrazu w pomiarach optycznych)

 fluktuacja warunków pomiaru (temperatura, 
    ciśnienie, wilgotność, napięcie w sieci elektrycznej)

 obecność źródeł zakłócających;

 nieokreśloność mierzonej wielkości; 

 niedoskonałość zmysłów obserwatora; 

Oddziaływania przypadkowe:

WIELKOŚCI MIERZONE

W pomiarach bezpośrednich

W pomiarach pośrednich

Pomiar kilku wielkości x

1

,x

2

,

…x

n

Obliczenie wielkości 
pośredniej 
zgodnie ze wzorem 
funkcyjnym:

y=f(x

1

,x

2

,…x

n

)

Na przykład pomiar okresu 
drgań
i długości wahadła 
matematycznego. Obliczenie 
wartości przyspieszenia
ziemskiego g.

Pomiar jednej 
wielkości 
(np. pomiar masy 
ciała, 
pomiar 
temperatury, itd.

NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA

• dotyczy każdego pomiaru,
• jest nieunikniona nawet przy 

największej staranności,

• zależy od używanego narzędzia 

pomiarowego,

• zależy od staranności człowieka,
• wynika z faktu, że pomiar jest 

ingerencją w świat i zmienia go.

Niepewność standardowa 

pomiaru

 –

 niepewność wyniku pomiaru 

wyrażona w formie odchylenia 
standardowego (bądź  estymaty   
odchylenia  standardowego ). 

Oznaczana zwykle jako 

u

c

 (y)

.

• Należy zwrócić przy tym uwagę, że 

niepewność standardowa może być 
związana nie tylko z wynikiem pomiaru ale 
także z każdą estymatą parametru 
prawdopodobieństwa zmiennej losowej. 

• Przy pomiarach rzeczywistego 

zjawiska fizycznego występuje zwykle kilka 

źródeł niepewności pomiaru i 

dlatego 

niepewność standardowa całkowita 

pomiaru 

(oznaczana jako

 u

c

) 

jest zwykle 

złożona z kilku pojedynczych niepewności 

standardowych pomiaru

. Przy czym nie jest 

to prosta suma algebraiczna. 

• Do szacowania współczynnika oddziaływania 

danej niepewności standardowej na złożoną 

niepewność standardową całkowitą używa się 

praw propagacji niepewności (przeważnie 

jest to rachunek różniczkowy zależny 

od funkcji równania opisującego mierzone 

zjawisko). 

Niepewność standardowa 

całkowita

    W przypadkach szacunku 

uproszczonego jest to zwykle 
pierwiastek sumy kwadratów 
niepewności standardowych 
(pomnożonych przez oszacowane 
współczynniki ich wpływu na 
niepewność całkowitą).

2

2

2

2

2

1

1

...

n

n

c

u

k

u

k

u

k

u









Niepewność rozszerzona 

pomiaru

 

–  

wielkość definiująca przedział  wokół  wyniku 

pomiaru, który zgodnie z oczekiwaniami może 

obejmować dużą część rozkładu wartości, 

które w uzasadniony sposób można przypisać  

wielkości mierzonej.

• Niepewność rozszerzoną        otrzymujemy przez 

pomnożenie  niepewności standardowej  pomiaru 

     przez  współczynnik rozszerzenia      dla 

określonego rozkładu błędów  :

gdzie:
                -  jest współczynnikiem rozszerzenia. 
                -  oznacza poziom ufności  pomiaru danej 

wielkości.

 

 

Wyznaczanie niepewności pomiaru 

składa się z następujących kroków:

1. Określenie wielkości mierzonej (wielkość 

wyjściowa), wielkości wpływających na wynik 
pomiaru i jego niepewność (wielkości 
wejściowe) oraz zależności pomiędzy 
wielkościami wejściowymi a wielkością 
wyjściową (model pomiaru)

 2. Zebranie informacji o wartościach i 

niepewności wielkości wejściowych (np. błędy 
graniczne przyrządów pomiarowych, 
niepewności wzorców lub materiałów 
odniesienia, serie wyników powtarzalnych 
pomiarów)

Wyznaczanie niepewności pomiaru 

składa się z następujących kroków:

3. Wyrażenie niepewności związanych z wielkościami 

wejściowymi za pomocą odchyleń standardowych 
(niepewności standardowe wielkości wejściowych). 
Stosowane są metody: A – statystyczne oraz B – 
inne

4. Przeliczenie standardowych niepewności wielkości 

wejściowych na standardowe niepewności składowe 
wielkości wyjściowej (wyniku pomiaru) z 
wykorzystaniem modelu pomiaru i obliczanych 
automatycznie pochodnych cząstkowych

5. Połączenie standardowych niepewności składowych 

w standardową niepewność złożoną wyniku pomiaru

6. Obliczenie niepewności rozszerzonej wyniku 

pomiaru

Zgodnie z 

Przewodnikiem

 niepewności

klasyfikujemy  na dwie kategorie 

w zależności od metody ich obliczania:

TYP    A

TYP    B

METODA TYPU A

Błędy (niepewności) 

przypadkowe

Metoda szacowania 
niepewności, która 
opiera się na obliczeniach 
statystycznych
(statystyczna analiza serii 
pomiarów – 
  n  4)

Metoda  A

• Gdy wyniki poszczególnych pomiarów tej samej 

wielkości różnią się, wówczas niepewność obliczana 

jest na drodze analizy statystycznej wyników serii 

pojedynczych pomiarów. 

• Zakłada się przy tym pewien rozkład statystyczny 

poszczególnych prób. Jeżeli błędy pomiarowe są 

losowe, tym rozkładem jest rozkład normalny. 

Wówczas, dla dużej ilości prób (powyżej 30), 

estymatorem niepewności pomiarowej 

jest odchylenie standardowe  średniej (średni błąd 

średniej). 

• Dla mniejszej ilości prób niepewność jest większa i 

równa iloczynowi odchylenia standardowego średniej 

i współczynnika wynikającego z rozkładu Studenta,  

który zależy od przyjętego poziomu ufności i liczby 

pomiarów.

Rozkład Studenta

Rozkład Studenta – (rozkład t lub rozkład t Studenta)  

ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często 

w statystyce w procedurach testowanie hipotez  

statystycznych i przy ocenie błędów pomiaru. 

• Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje 

zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z 

określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista 

wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n 

pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie 

parametry, jak średnia     iodchylenie standardowe      

 lub wariancja         

     („z próby”), nie znamy natomiast odchylenia 

standardowego   w populacji.

Najczęściej pomiar jednokrotny

METODA TYPU B

Błędy (niepewności) 
systematyczne

Metoda szacowania niepewności, 
która 
Wykorzystuje inne metody niż 
statystyczne:

 doświadczenie eksperymentatora

 porównanie z wcześniej 
wykonywanymi
    podobnymi pomiarami

 certyfikat producenta 
wykorzystywanych 
    w pomiarach przyrządów

 analiza materiału wzorcowego 
(odniesienia)

Metoda B 

• Gdy wyniki pomiarów są takie same lub 

podlegają systematycznym zmianom, wówczas 

metody statystyczne nie mogą być 

zastosowane. Sytuacja taka występuje np. gdy:

- klasa przyrządu jest niska w danych warunkach 

pomiaru (na przykład przy pomiarze długości 

ołówka linijką ze skalą centymetrową). 

Wówczas o niepewności pomiarowej decyduje 

klasa przyrządu (w przykładzie z linijką będzie 

to 1 cm).

• - mierzona wielkość zmienia się znacząco w 

czasie pomiaru z powodu warunków 

zewnętrznych, np. zmiany temperatury.

Klasa przyrządu 

pomiarowego

 określa wartość 

błędu 

maksymalnego

, jaki może wystąpić 

podczas wykonywanego nim pomiaru. 

Klasę przyrządu można dodatkowo 

podzielić na 

klasę laboratoryjną 

(przyrządy o klasie 0,2 i 0,5) i 

klasę 

techniczną 

(przyrządy o klasach 

równych 1 i większych)

Wyznaczając niepewność 

pomiaru należy 

uwzględnić wszystkie 

składowe mające wpływ 

na wynik pomiaru, 

obliczony obiema 

metodami.

OCENA  NIEPEWNOŚCI  TYPU  A  W  POMIARACH  BEZPOŚREDNICH

n

x

x

n

1

i

i























n

1

i

2

i

x

x

x

1

n

1

S

)

x

(

u

1. Wykonujemy serię (skończoną) 

pomiarów

2. Wielkością najbardziej 

prawdopodobną
    jest średnia arytmetyczna :

3. 

Niepewność standardowa 

pojedynczego pomiaru u(x) 

(tzw. 

odchylenie standardowe 
pojedynczego 

pomiaru S

x

)

Eksperymentatora bardziej interesuje niepewność 
wyniku czyli wartości średniej

Niepewność standardowa 
średniej:

 









1

n

n

x

x

n

S

S

x

u

n

1

i

2

i

x

x















OCENA  NIEPEWNOŚCI  TYPU  A    W  POMIARACH    POŚREDNICH

)

x

,...

x

,

x

(

f

y

K

2

1



K

2

1

x

,...

x

,

x

)

x

(

u

),...

x

(

u

),

x

(

u

K

2

1

x

1

, x

2

,…,x

K

 – wielkości wejściowe nieskorelowane,  

każde określone                w pomiarach 
bezpośrednich. Znamy:                     oraz 
niepewności standardowe średnich: 

PYTANIE 1. Jak obliczyć wielkość y ?   

PYTANIE 2. Jak obliczyć niepewność standardową 
wielkości y ?   

   

   

  

  





K

2

1

x

,...,

x

,

x

f

y 

1

x

2

x

K

x

y

1.

Schemat przenoszenia wielkości wejściowych

 

2.

 Niepewność y nazywa się złożoną niepewnością 

     standardową (ang. combined standard uncertainty)























K

1

i

i

2

2

i

c

)

x

(

u

x

f

)

y

(

u

)

x

(

u

1

)

x

(

u

2

)

x

(

u

K

)

y

(

u

c

Schemat przenoszenia niepewności 

wielkości wejściowych

 

Metoda szacowania niepewności 
wykorzystująca 
inne metody niż statystyczne:

 - wcześniejsze doświadczenie 
eksperymentatora
 - specyfikacja producenta odnośnie 
używanego
w pomiarach przyrządu (klasa 
przyrządu)
 - z kalibracji (wcześniej wykonanej)
 - badania na materiale odniesienia 
(chemia 
analityczna)

Najczęściej jeden lub dwa pomiary

METODA TYPU B

100

pomiaru

 

zakres

K

x

k







Parametry metrologiczne 
aparatury:

Klasa przyrządu K

 (dana przez 

producenta)
Niepewność pomiaru wynikająca z 
klasy 
przyrządu kx:

Dla woltomierza klasy 0,2 na 
zakresie 50 V
popełniamy „błąd” kx = 0,1 V

Rozdzielczość przyrządu :  

Dla pomiarów długości:
1 mm dla linijki ; 0,1; 0,05; 0,02 mm dla 
suwmiarki; 0,01 mm dla śruby 
mikrometrycznej

Dla pomiarów temperatury:
0,1 °C dla termometru lekarskiego;
10 °C dla termometru „zaokiennego”

Dla mierników wychyłowych – „odstęp” 
pomiędzy kreskami (ew. połowa)

x

x

x

k

d

g











Rozdzielczość przyrządu:  

Dla mierników analogowych -  zmiana 
ostatniej cyfry np. 5,23 V ( niepewność 
0,01 V)

Niepewność wynikająca z rozdzielczości 
aparatury 

d

Maksymalna (graniczna) niepewność
pomiaru szacowana metodą typu B 
wynosi:

OCENA  NIEPEWNOŚCI  TYPU  B    W  POMIARACH    POŚREDNICH

 x

1

   

 

y

  

x

2

x

K





K

2

1

x

,...,

x

,

x

f

y 

x

1,

 x

2

, …,x

K

 – wielkości pomiarów 

jednokrotnych

Maksymalna (graniczna) niepewność pomiaru 

g

(y)

może być oszacowana tzw. metodą różniczki zupełnej



g

x

1



g

x

2



g

x

K



g

(y)

i

g

K

1

i

i

g

x

x

f

y

















UWAGA: Metoda „różniczki zupełnej” prowadzi do 
zawyżonych wyników niepewności (zwłaszcza dla K> 3)

 

W jaki sposób  obliczyć niepewność wielkości, która 
uzależniona jest od oddziaływań systematycznych i
przypadkowych ?

   

2

B

2

A

c

u

u

)

x

(

u





Standardowa 
niepewność 
całkowita

PAMIĘTAJ !!! 

Do obliczania wielkości pośrednich i 
niepewności używaj wielkości 
niezaokrąglonych

ANALIZA NIEPEWNOŚCI

• Odrzucenie błędów grubych lub 

decyzja o powtórzeniu pomiarów.

• Obliczenie średniej z wyników 

pomiarów - x

śr

.

• Znalezienie pomiaru najbardziej 

odchylonego od średniej (największego 
lub najmniejszego) - x

max

.

• Obliczenie odchylenia, czyli różnicy - |

x

śr

-x

max

| = σ

METODY OGRANICZANIA 

BŁĘDÓW

• wykonywanie doświadczeń przez kilku 

niezależnych eksperymentatorów,

• wykonywanie wielokrotnego pomiaru 

przy użyciu kilku przyrządów.

• stosowanie kilku metod pomiarowych 

(kilku różnych doświadczeń) do 
wyznaczenia tej samej wielkości 
fizycznej.

• prawidłowe wykonywanie pomiarów 

(staranność).

Przedstawianie błędów 

pomiarowych 

i zaokrąglanie wyników

W ogólnym przypadku wynik pomiaru przedstawiamy 
w postaci:
                                   

X

P

  =  X

M

   ±   ΔX

gdzie:  
X

P

     - wartość reprezentująca wynik pomiaru 

wielkości mierzonej, 
X

M    

- wartość uzyskana w wyniku pomiaru, 

ΔX    - niepewność lub błąd pomiaru.
 
 Powyższy zapis oznacza, że:
- najlepszym przybliżeniem wartości  mierzonej jest 
według eksperymentatora liczba X

M

 

;

- z rozsądnym prawdopodobieństwem szukana 
wartość znajduje się gdzieś  pomiędzy X

m

 - ΔX   i    X

m

 

+

 ΔX.

Przedstawianie błędów 

pomiarowych 

i zaokrąglanie wyników

Błąd pomiaru  ΔX

  jest wielkością oszacowaną

.

  Nie  ma  więc  sensu  podawać  wszystkich  cyfr,  które 
otrzymujemy  z  obliczeń.  Obliczone  wartości    X

m

      i     

ΔX    podajemy  zaokrąglone.  Oznacza  to,  że 
przybliżamy wartości otrzymane z obliczeń.
  

Cyframi  znaczącymi

  danej  liczby  różnej  od  zera 

nazywamy  wszystkie  jej  cyfry  z    wyjątkiem 
występujących na początku zer. 
Do cyfr znaczących zalicza się również zera końcowe, 
jeśli  są  one  wynikiem  obliczeń,  a  nie  zaokrągleń. 
Oznacza  to,  że  pierwsza  liczba  znacząca  musi  być 
różna od zera, natomiast druga, trzecia i dalsze mogą 
być zerami.

Przedstawianie błędów 

pomiarowych 

i zaokrąglanie wyników

Przy  zaokrąglaniu 

wyniku  pomiaru

  stosowane  są 

powszechnie  przyjęte  zasady  zaokrągleń  :  liczbę 
kończącą się cyframi   0-4  zaokrąglamy w dół, a 5 - 9  
w górę .
Oszacowane

  błędy

  zaokrąglamy  zawsze  w  górę,   

ponieważ 

w  żadnym  przypadku  nie  wolno 

pomniejszać  błędów

.  Zawsze  lepiej  podać  zawyżoną 

wartość błędu niż go niedoszacować . 

Obliczenia  wykonujemy  zawsze  z  większą  liczbą  cyfr, 
niż  chcemy  podać  wynik. 

Zaokrągleń  dokonujemy 

dopiero po zakończeniu obliczeń.

Błędy  pomiarów  zaokrąglane  są  do  pierwszej  cyfry 
znaczącej  (wyjątek:  1,  2).  Ostatnia  cyfra  znacząca  w 
każdym  wyniku  pomiaru  powinna  stać  na  tym  samym 
miejscu dziesiętnym, co błąd pomiaru. 

DLACZEGO MUSIMY 

ZAOKRĄGLAĆ BŁĘDY I WYNIKI 

KOŃCOWE

:

PRZYKŁAD:

PRZYKŁAD:

W 

pewnym 

eksperymencie 

wykonano 

kilkaset 

pomiarów 

grubości  włosa  i  uzyskano  średni 
wynik:

100,543

100,543

6

6

787

787

2

2

341

341

1

1





 

 

5,800

5,800

2

2

341

341

7

7

894

894

4

4

3   

3   





m

m

rozmiar 
atomu

rozmiar jądra

rozmiar kwarka

Liczbę cyfr znaczących danego wyniku znajdujemy licząc z

lewa na prawo cyfry: od pierwszej cyfry niezerowej.

ZAPAMIĘTAJ  POJĘCIE:  CYFRA  ZNACZĄCA!

0,12501      może być tylko 0,2 lub 0,13

Którą wybieramy?

Sprawdzamy:

(0,2 – 0,12501)/0,12501=0,5998 ( blisko 60%)

3. W zależności od wartości tej cyfry 
postępujemy

     według następujących zasad:

 

Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół

tzn. gdyby wynik był 123,37489  to dostaniemy

123,37  0,13

 

Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy w

górę tzn. dla wyniku 123,37602 zostanie:

123,38 0,13

 Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, a

po niej następują jakiekolwiek cyfry różne od

zera
W  sytuacji  np.  wyniku  123,3750000001
lub                                      123,3753210023
zaokrąglamy do 

123,38   0,13

ZAPAMIĘTAJ !

PRAWIDŁOWO  ZAOKRĄGLONE:

WARTOŚĆ  WIELKOŚCI  FIZYCZNEJ  
I  JEJ  NIEPEWNOŚĆ  MAJĄ  TAKĄ  
SAMĄ  ILOŚĆ  MIEJSC  
DZIESIĘTNYCH !

   NIE   !!!

R = 123, 35602    0,12501 

     TAK  !!!!

     R = 123,36     0,13  

PRAWIDŁOWO:     36,35  0,04 

0

C

                                     2,5  0,4 

kg

                                     3,7110

-2 

 0,02 10

-2 

m

NIEPRAWIDŁOWO:     36,35  

0,04 

                                  2,51  0,4 

kg

                                   3,7110

-2 

 

0,023 10

-2 

m

                                   12,34567  

0,22643 Bq

Koniec  wykładu