Wektorem
nazywa się odcinek skierowany , w którym
punkt A uważa się za początek wektora, a punkt B za koniec
wektora
AB
A
B
a
Wektory równoległe do jednej prostej nazywa się kolinearnymi,
wektory równoległe do jednej płaszczyzny – komplanarnymi.
Wektorem
nazywa się odcinek skierowany , w którym
punkt A uważa się za początek wektora, a punkt B za koniec
wektora
AB
A
B
a
Wektory równoległe do jednej prostej nazywa się kolinearnymi,
wektory równoległe do jednej płaszczyzny – komplanarnymi.
Jeżeli mamy dwa wektory to możemy określić ich wzajemne położenie.
Mogą one być wzajemnie:
- równoległe -
jeżeli proste zawierające
kierunki obu wektorów są
równoległe do siebie
- prostopadłe -
jeżeli proste zawierające
kierunki obu wektorów są
prostopadłe do siebie
- równe -
jeżeli wszystkie swoje
cechy (długość, kierunek,
zwrot) mają takie same
- przeciwne -
jeżeli mają ten sam
kierunek, taką samą
długość lecz przeciwne
zwroty
v
u
v
u
v
u
Współrzędne wektora względem osi
Niech wektor a z osią Ox, wtedy współrzędną wektora tej osi
opisuje wzór
a
x
= wsp
x
a = |a| cos
Współrzędna sumy wektorów względem osi jest równa sumie
współrzędnych wektorów składowych względem osi
wsp
x
(a+b) = wsp
x
a + wsp
x
b
a
wsp
x
a
x
Wektory w układzie współrzędnych
Jeżeli mamy dany dwa punkty A(x
1
, y
1
, z
1
), B(x
2
, y
2
, z
2
),
to zbiór trzech uporządkowanych liczb (x
2
-x
1
,y
2
-y
1
,z
2
-z
1
)
nazywamy współrzędnymi wektora o początku w punkcie
A i końcu w punkcie B.
Z
X
Y
O
B(x
2
, y
2
, z
2
)
A(x
1
, y
1
, z
1
)
c(x
2
-x
1
,y
2
-y
1
,z
2
-z
1
)
Suma wektorów
– metoda równoległoboku
a
b
b
a
c
z
y
x
a
,
a
,
a
a
z
y
x
b
,
b
,
b
b
z
z
y
y
x
x
b
a
,
b
a
,
b
a
c
Metoda równoległoboku – można stworzyć równoległobok dla sumy
wektorów a i b, a rozwiązaniem będzie druga z przekątnych
b
b
a
c
a
Różnica wektorów
z
y
x
a
,
a
,
a
a
z
y
x
b
,
b
,
b
b
z
z
y
y
x
x
b
a
,
b
a
,
b
a
c
Iloczynem wektora przez skalar
nazywamy nowy
wektor mający długość a · |m| i skierowany zgodnie z wektorem
a gdy m > 0 i przeciwnie do wektora a gdy m < 0
a
m
a
b
)
m
(
a
b
Iloczyn skalarny wektorów
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba równa iloczynowi
długości tych wektorów i cosinusa kąta zawartego między nimi:
Należy pamiętać, że iloczyn skalarny jest liczbą (skalarem),
a nie wektorem.
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
)
b
,
a
cos(
b
a
b
a
c
a
b
z
y
x
a
,
a
,
a
a
z
y
x
b
,
b
,
b
b
Iloczyn wektorowy
Iloczynem wektorowym dwóch wektorów u i v,
nazywamy
wektor w:
•który jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na
wektorach u i v
•punkt przyłożenia wektora w pokrywa się z
początkami
wektorów u i v
•którego długość jest równa polu równoległoboku
rozpiętego
na tych wektorach u i v
Którego zwrot jest określony regułą śruby
prawoskrętnej
b
a
b
a
y
x
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
b
b
a
a
,
b
b
a
a
1
,
b
b
a
a
b
a
z
y
x
a
,
a
,
a
a
z
y
x
b
,
b
,
b
b
ILOCZYN MIESZANY TRÓJKI WEKTORÓW
Jeżeli wektory a, b, c są wyrażone przez współrzędne to:
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c
c
c
b
b
b
a
a
a
det
cos
c
sin
b
a
c
b
a
Jeżeli dwa spośród trzech danych wektorów są równe lub
równoległe to ich iloczyn mieszany jest równy 0
c
b
a
z
y
x
z
y
x
b
,
b
,
b
b
;
a
,
a
,
a
a
Warunkiem koniecznym i dostatecznym prostopadłości
dwóch wektorów niezerowych
jest, by ich iloczyn skalarny był równy zeru.
0
b
a
b
a
b
a
b
a
z
z
y
y
x
x
Równoległość wektorów
Warunkiem koniecznym i wystarczającym
równoległości dwóch wektorów niezerowych
z
y
x
z
y
x
b
,
b
,
b
b
;
a
,
a
,
a
a
jest, aby wyacznik
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
0
b
b
b
a
a
a
1
1
1
z
y
x
z
y
x
RÓWNANIE PROSTEJ W PRZESTRZENI
V=[a;b;c]
M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
M(x,y,z)
0
x
y
z
Równanie parametryczne prostej
ct
z
z
bt
y
y
at
x
x
1
1
1
Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty
1
2
1
1
2
1
1
2
1
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
0
c
b
a
z
z
y
y
x
x
k
j
i
o
o
o
b
z
z
b
y
y
a
x
x
o
o
o
PŁASZCZYZNA
Ogólne równanie płaszczyzny
A(x-x
o
) + B(y-y
o
) + C(z-z
o
) = 0
Odcinkowe równanie płaszczyzny
1
c
z
b
y
a
x
Kąt zawarty między płaszczyznami
V=[A;B;C]
M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
M(x,y,z)
0
x
y
z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
C
B
A
C
B
A
C
C
B
B
A
A
V
V
V
V
cos
Ax + By + Cz+D = 0
Warunek prostopadłości płaszczyzn
0
C
C
B
B
A
A
1
2
2
1
2
1
Warunek równoległości płaszczyzn
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
Odległość punktu M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) od płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0
V
D
Cz
By
Ax
d
0
0
0
Powierzchnie stopnia drugiego
x=f(z)
z
x
y
y=0
P
0
Obracamy krzywą x=f(z) dookoła osi Oz. Każdy punkt P
0
nie leżący na osi z zatoczy okrąg:
2
0
2
2
))
z
(
f
(
y
x
W związku z tym równanie powierzchni przyjmie postać:
)
z
(
f
y
x
2
2
2
Kula
2
2
2
r
z
x
2
2
z
r
x
)
z
(
f
y
x
2
2
2
2
2
2
2
z
r
y
x
2
2
2
2
r
z
y
x
z
x
y
Walec
r
x
)
z
(
f
y
x
2
2
2
2
2
2
r
y
x
z
x
y
Stożek kołowy
az
x
)
z
(
f
y
x
2
2
2
2
2
2
2
z
a
y
x
z
x
y
Elipsoida
1
c
z
a
x
2
2
2
2
2
2
c
z
1
a
x
)
z
(
f
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
c
z
1
a
y
x
1
c
z
a
y
x
2
2
2
2
2
z
x
y
Hiperboloida
1
c
z
a
x
2
2
2
2
2
2
c
z
1
a
x
z
x
y
)
z
(
f
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
c
z
1
a
y
x
1
c
z
a
y
x
2
2
2
2
2
Paraboloida
az
2
x
2
)
z
(
f
y
x
2
2
2
az
2
y
x
2
2
z
2
a
y
x
2
2
z
x
y