W wielu badaniach medycznych 

gromadzimy dane będące liczebnościami. Na 
przykład możemy klasyfikować chorych w 
badanej próbie do różnych kategorii pod 
względem wieku, płci czy natężenia choroby, 
czyli kilku badanych cech. Przedstawiane do 
tej pory w naszym cyklu metody statystyczne 
stają się użyteczne dla danych jednej cechy, 
danymi jakościowymi lub ilościowych. 
Techniki statystyczne omówione w tym 
odcinku należą do najbardziej przydatnych w 
analizie danych jakościowych i ilościowych. 
Umożliwiają one dokonanie oceny zależności 
między zmiennymi tego typu. 

Wykład 4. 

ANALIZA 

WSPÓŁZALEŻNOŚCI

 

 

Tabele wielodzielcze (kontyngencji).

 

 

Tabele wielodzielcze (kontyngencji). 

• Pierwszym krokiem jest przedstawienie zebranych danych 

indywidualnych w postaci tabeli wielodzielczej (kontyngencji). 

Wymaga to zliczenia jednostek w odpowiednich komórkach 

tabeli z danymi. Zliczanie to bez użycia komputera jest 

żmudne, zwłaszcza dla dużej liczby przypadków. 

• Tabele wielodzielcze stanowią podstawę do obliczania 

pozostałych statystyk określających siłę związku. Tabela 

wielodzielcza przedstawia rozkład obserwacji ze względu na 

kilka cech jednocześnie. 

Załóżmy, że dysponujemy n obserwacjami dla jakościowej cechy 

X (posiadającej kategorie X1, X2, ... Xk) i jakościowej cechy Y 

(o kategoriach Y1, Y2, ...Yp) (tab. 1). 

Liczebności nij określają liczbę elementów próby, dla których 

cecha X ma wariant Xi i jednocześnie cecha Y - wariant Yj. 

Tablica wielodzielcza pokazuje więc określony łączny rozkład 

obu cech. Liczebności w ostatnim wierszu i w ostatniej 

kolumnie nazywamy empirycznymi brzegowymi rozkładami, 

odpowiednio cechy Y i cechy X. 

Na przykład, chcąc ocenić wpływ używek (papieros, kawa, 

alkohol) na pewną chorobę, zebraliśmy dane na temat ich 

używania w grupie 90-osobowej. Zastosowano podział na 4 

kategorie: nigdy (tzn. nie używano nigdy), niewiele (używano w 

małych ilościach), średnio (używano w średnich ilościach) i 

dużo (używano w dużych ilościach). 

 

 

Przykład tabeli wielodzielczej

Grupa

Kobiety

Mężczyźni

Razem

n

%

n

%

n

%

Cukrzyca

25

35,7

20

40,0

45

37,5

Bez 

cukrzycy

45

64,3

30

60,0

75

62,5

 

 

Tabela 

Lp.

Kawa

Papierosy

Alkohol

Płeć

1

nigdy

dużo

niewiele

m

2

niewiele

nigdy

nigdy

m

3

dużo

dużo

średnio

k

4

niewiele

niewiele

dużo

m

5

średnio

niewiele

niewiele

k

6

dużo

dużo

dużo

m

7

nigdy

średnio

niewiele

k

8

srednio

dużo

nigdy

m

9

nigdy

nigdy

średnio

k

10

dużo

dużo

dużo

m

Zliczając otrzymane dane dla papierosów i płci, otrzymamy 
następującą tabelę wielodzielczą (tab. 3) 

 

 

Tabela 3

 

Płeć

Papiero
s
nigdy

Papiero
s

niewiel
e

Papiero
s
średnio

Papiero
s
dużo

Razem

kobieta 11

8

6

5

30

mężczy
zna

4

4

28

24

60

razem

15

12

34

29

90

Widać wyraźną przewagę mężczyzn w grupie 

palących dużą lub średnią liczbę papierosów, natomiast 
około 3-krotnie więcej kobiet niż mężczyzn nigdy nie 
paliło. Informacje byłyby bogatsze po dołączeniu danych 
odsetkowych. Odsetki wylicza się względem: ostatniej 
rubryki (płci), ostatniego wiersza (liczby wypalanych 
papierosów) oraz całkowitej liczby respondentów. 
Następny etap analizy statystycznej tak zebranych danych 
to próba weryfikacji hipotezy, że dwie jakościowe cechy w 
populacji są niezależne

. 

 

 

 

Najczęściej stosowanym narzędziem jest test    . 

. 

Został on opracowany przez Karla Pearsona w 
1900 roku i jest metodą, dzięki której można się 
upewnić, czy dane zawarte w tabeli 
wielodzielczej dostarczają wystarczającego 
dowodu na związek tych dwóch zmiennych. Test  
   

polega na porównaniu częstości 

zaobserwowanych z częstościami oczekiwanymi 
przy założeniu hipotezy zerowej (o braku związku 
między tymi dwiema zmiennymi). Częstości 
oczekiwane obliczamy, wykorzystując częstości 
marginalne (z tablicy wielodzielczej) według 
następującego wzoru: 

Wówczas hipotezę zerową orzekającą, że cechy X 
i Y są niezależne, możemy zweryfikować testem 
według następującego schematu:

 

 

Weryfikacja hipotezy 

zerowej: 

H0: cechy X i Y są 

niezależne 

Wobec hipotezy 

alternatywnej: H1: cechy X 

i Y są zależne 

Do weryfikacji hipotezy 

stosujemy statystykę: 

gdzie E - oczekiwana częstość komórki oraz O - 
obserwowana częstość komórki 
Przy założeniu hipotezy zerowej opisywana 
statystyka ma asymptotyczny rozkład 

o s = (k - 1) (p - 1) 
stopniach swobody

 

 

 

Rys. 1. 
Na przykład badano zależność między liczbą 
wypalanych papierosów a wystąpieniem 
pewnych zmian patologicznych w płucach w 
grupie 1500 osób. Zebrane dane przedstawiono 
w wielodzielczej tabeli 4. 
Tabela 4

 

   

Niepalący

Palący

mało

Palący

dużo

Razem

zmiany 

występuj

ące

51

250

560

861

zmian nie 

ma

370

210

59

639

razem

421

460

619

1500

 

 

Wyliczymy wartość oczekiwaną E11. Zgodnie z 
definicją: 
Wyniki obliczeń pozostałych wartości oczekiwanych 
przedstawiono w tabeli 5. w nawiasach obok wartości 

obserwowanych.

 

   

Niepalący

Palący
mało

Palący
dużo

Razem

zmiany
występują

51
(241,654)

250
(264,04)

560
(353,306)

861

zmian
nie ma

370
(179,346)

210
(195,96)

59
(263,694)

639

razem

421

460

619

1500

Wartość statystyki

 

wynosi  701,073

1.

 

Z kolei wartość krytyczna odczytana z tablic          dla 
poziomu istotności alfa = 0,001 wynosi 

13,817

alfa

 = 

13,817

 >

 

. Pozwala więc nam odrzucić hipotezę zerową i 
stwierdzić, że na poziomie istotności alfa = 0,001 
istnieje zależność między liczbą wypalanych 
papierosów dziennie a wystąpieniem 
patologicznych zmian w płucach. 

 

 

Zauważmy, że bardzo duże wartości oznaczają 
dużą różnicę pomiędzy częstościami 
obserwowanymi a oczekiwanymi, i jest to dowód 
istnienia zależności. Przeciwnie mała wartość 
(zwłaszcza bliska 0) nie daje dowodu na 
istnienie korelacji.
 

Dla tabeli dwudzielczych 2x2 postaci:

wartość statystyki wyznaczamy według 
prostszego, praktycznego wzoru: 

a

b

c

d

 

 

Na przykład w próbie liczącej 100 

mężczyzn w wieku 50-60 lat zbadano 
częstość występowania choroby wieńcowej i 
podwyższonego ciśnienia tętniczego. 
Chcemy ocenić, czy choroba wieńcowa 
współistnieje z podwyższonym ciśnieniem 
tętniczym 

 

Tabela 6

 

   

Ciśnienie

niepodwyższone

Ciśnienie 

podwyższo

ne

Razem

choroba 

wieńcowa

nie 

występuje

37

17

54

choroba 

wieńcowa

występuje

8

38

46

razem

45

55

100

 

 

Obliczając 

według wzoru podanego wyżej, otrzymujemy

 

= 26,23. Dla

 

poziomu istotności (wzorek) = 0,0001 mamy wartość krytyczną

 

alfa

 = 15,139.

 

Ponieważ

                 

> 

              alfa

, więc odrzucamy hipotezę 

zerową o niezależności zmiennych. Mamy tym samym 
podstawy, by wnioskować, że choroba wieńcowa występuje 
częściej u osób z podwyższonym ciśnieniem tętniczym. 

Uwaga: Dla tabeli 2x2 przedstawionej wyżej statystyka

 

jest często modyfikowana w celu utworzenia bardziej 
odpowiedniego testu. W większości komputerowych 
programów statystycznych mamy możliwości obliczenia 
tych poprawek. Najbardziej popularna to poprawka Yatesa:

 

gdzie N to liczebność całej próby.  Stosujemy ją, 
jeżeli 20 < N < 40 
i którakolwiek z liczebności oczekiwanych jest 
mniejsza od 5. 

 

 

Statystyka 

sprawdza, czy dwie zmienne są ze sobą powiązane. 
Jednakże oprócz sprawdzenia, czy między 
zmiennymi zachodzi związek, interesuje nas, jak 
silne jest to powiązanie. Samej wartości 
jako pomiaru siły związku nie możemy stosować, 
zależy ona bowiem od liczebności grupy N i rośnie 
wraz z jej wzrostem. 
W praktyce najczęściej korzystamy z następujących 
miar utworzonych na podstawie wartości 

Współczynnik 

Współczynnik ten jest miarą korelacji 
pomiędzy dwiema zmiennymi jakościowymi w 
tabeli 2x2. Przyjmuje on wartości od 0 (brak 
powiązania między zmiennymi) do 1 
(całkowite powiązanie między zmiennymi). 

 

 

Współczynnik V - Cramera: 

gdzie k i p to wymiary tabeli wielodzielczej 
Współczynnik ten również przyjmuje wartości od 
0 (brak relacji między zmiennymi) do 1. 

Współczynnik kontyngencji Pearsona:

 

Gdy zmienne są niezależne, wówczas C = 0. Jego 
maksymalna wartość jest zawsze mniejsza od 1 i 
zależy od liczby wierszy i rubryk Na przykład dla 
tabeli 3x3 ta wartość wynosi 0,816. Ogranicza to 
jego zastosowanie do tablic kwadratowych (o 
jednakowych wymiarach). 

 

 

• Interpretacja wszystkich tych 

współczynników jest taka sama: 

• ·  jeżeli ma wartość zero, to cechy X i 

Y są niezależne 

• ·  im bliższa jedności jest wartość 

tych współczynników, tym silniejsze 
jest powiązanie między 
analizowanymi cechami X i Y. 

Obliczając opisane współczynniki dla 

danych dotyczących choroby wieńcowej, 
otrzymujemy współczynnik Fi = V = 0,51, 
a współczynnik kontyngencji wynosi C = 
0,46. Między rozpatrywanymi zmiennymi 
zachodzi więc wysoka korelacja. 
Przedstawione tu przykłady przeliczaliśmy 
dla przybliżenia idei "na piechotę". 

 

 

W praktyce posługujemy się oczywiście 

komputerem.
 

W pakiecie STATISTICA test

       

znajdziemy w 

dwóch miejscach. Pierwsze z nich to moduł 
Statystyki nieparametryczne. 

Znajdująca się tam 

opcja Tablice 2x2, chi/V/Fi kwadrat, test Mc 
Nemary,... umożliwia obliczenie statystyki 
oraz innych statystyk z nią związanych dla tabel 

2x2.

 

W programie STATISTICA do analizy tablic 
wielodzielczych służy również opcja Tabele 
wielodzielcze w module Podstawowe statystyki i 
tabele. Po wybraniu tej opcji i naciśnięciu OK 
otwiera się okno Okno dialogowe: Określ tabelę 

 

 

 

 

W oknie tym możemy wybrać dwie grupy statystycznych 

analiz dotyczących: 

  [1] tabel zbiorczych 

  [2] tabel wielodzielczych i wielokrotnych odpowiedzi 

O tym, w której z tych grup statystycznych będziemy 

przeprowadzać analizy, decyduje wybór dokonany na 

liście rozwijalnej Analiza (opcja oznaczona [3]). My 

wybieramy opcję Tabele wielodzielcze. Wybór tej opcji 

umożliwia rozwiązanie problemów związanych z 

tabelaryzacją zmiennych jakościowych. Możemy 

utworzyć tabele wielodzielcze i zbiorcze oraz obliczyć 

różne statystyki związane z takimi tabelami. W 

module tym możemy analizować tabele dowolnych 

rozmiarów, niekoniecznie 2x2, jak w poprzednim 

module. 

Po wybraniu zmiennych i kliknięciu przycisku OK 

otwiera się pośrednie okno, w którym wybieramy, jakie 

podsumowania i statystyki dla wybranych zmiennych 

chcemy policzyć. Okno to wraz z zaznaczonymi 

najważniejszymi opcjami pokazane jest na następnym 

rysunku

 

 

 

 

Jak widzimy, grupa opcji 

Statystyki dla tabel dwudzielczych 
oferuje bogatszy wybór statystyk i 
współczynników aniżeli w 
poprzednim module. Chcąc 
otrzymać wyniki dla pokazanych tam 
opcji, musimy je wybrać przez 
kliknięcie nazwy lub okienka opcji. 
Okno to udostępnia nam również 
przyciski oferujące interpretacje 
graficzne analizowanych problemów. 

Przykładowy wykres dla danych 
opisujących powiązanie między 
występowaniem nadciśnienia i 
chorobą wieńcową pokazuje 
rysuneku 5. 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Współczynnik korelacji liniowej Pearsona 

(dalej nazywany po prostu współczynnikiem 

korelacji), wymaga, aby zmienne były 

ciągłe. Określa on stopień proporcjonalnych 

powiązań wartości dwóch zmiennych. 

Wartość korelacji (współczynnik korelacji) 

nie zależy od jednostek miary, w jakich 

wyrażamy badane zmienne, np. korelacja 

pomiędzy wzrostem i ciężarem będzie taka 

sama bez względu na to, w jakich 

jednostkach (cale i funty czy centymetry i 

kilogramy) wyrazimy badane wielkości. 

Określenie "proporcjonalne" znaczy zależne 

liniowo, to znaczy, że korelacja jest silna, 

jeśli może być opisana przy pomocy linii 

prostej (nachylonej do góry lub na dół).

 

 

Analizę  współzależności   należy   

uzupełnić o      współczynnik      
determinacji,      będący kwadratem  
współczynnika  korelacji  liniowej 
Pearsona (      ).

        Współczynnik  determinacji  

informuje,  jaka część  zmiennej  
objaśnianej  jest   wyjaśniona przez 
zmienną objaśniającą. Przy pomocy 
tego współczynnika   można   
wnioskować,  czy  na zmienną  
objaśniającą  wpływają również inne 
czynniki, nie podlegające badaniu. 

2

xy

r

 

 

Prosta regresji: y=ax+b, 

gdzie 

a = cov(x,y)/

S^2;  b=     - a

• Linia, o której mowa, nazywa się linią regresji 

albo linią szacowaną metodą najmniejszych 
kwadratów, ponieważ jej parametry określane są 
w ten sposób, by suma kwadratów odchyleń 
punktów pomiarowych od tej linii była 
minimalna. Zwróćmy uwagę, że fakt podnoszenia 
odległości do kwadratu powoduje, iż 
współczynnik korelacji reaguje na sposób 
rozmieszczenia danych (jak to zobaczymy w 
dalszej części opisu).

•   

x

y

yy

 

 

Tabele wielodzielcze

• Tabele wielodzielcze
•   W wielu badaniach medycznych 

gromadzimy dane będące 

liczebnościami. Na przykład możemy 

klasyfikować chorych w badanej próbie 

do różnych kategorii pod względem 

wieku, płci czy natężenia choroby. 

Przedstawiane do tej pory w naszym 

cyklu metody statystyczne stają się 

bezużyteczne dla danych tego typu, 

zwanych danymi jakościowymi. 

 

 

W   sytuacji,   gdy   obserwacje   

statystyczne dotyczące   badanych   
zmiennych   są   liczne, bazowanie   na   
wartościach    szczegółowych może  być  
uciążliwe.   W   celu   zapewnienia 
przejrzystości zebranych danych 
sporządza się wówczas tablicę korelacyjną.

         Na   skrzyżowaniu   kolumn    z    

wierszami wpisuje się liczebności 
jednostek  zbiorowości statystycznej,     u    
których    zaobserwowano jednoczesne      
występowanie       określonych wartości      
 i      .

i

x

i

x

i

y

 

 

Schemat tablicy 

korelacyjnej:

 x

i

             y

j 

y

1

 

y

2

 

... 

y

t

 

i

t

i

ij

n

n 



1

 

x

1

 

x

2 

. 
. 
. 

x

k 

n

11

 

n

21

 

. 
. 
. 

n

k1

 

n

12

 

n

22

 

. 
. 
. 

n

k2

 

. 
. 
. 
. 
. 
. 

n

1t

 

n

2t

 

. 
. 
. 

n

kt

 

n

1 

n

2

 

. 
. 
. 

n

k

 

j

k

i

ij

n

n 



1

 

n

.1 

n

.2

 

… 

n

.t

 

n 

 

 

Tabele wielodzielcze stanowią podstawę do 

obliczania pozostałych statystyk 

określających siłę związku.

 

gdzie E - oczekiwana liczebność komórki oraz   O 
lub nij - obserwowana liczebność komórki 

 

 

Na przykład badano zależność między liczbą 

wypalanych papierosów a wystąpieniem pewnych 

zmian patologicznych w płucach w grupie 1500 

osób. Zebrane dane przedstawiono w następującej 

tabeli wielodzielczej

    

Niepalący 

Palący 

mało 

Palący 

dużo 

Razem 

zmiany występujące 

51 

250 

560 

861 

zmian nie ma 

370 

210 

59 

639 

razem 

421 

460 

619 

1500 

 

Wyliczymy wartość oczekiwaną E

11

. Zgodnie z 

definicją:

 

 

 

Wyniki obliczeń pozostałych wartości 

oczekiwanych przedstawiono w tabeli. w 

nawiasach obok wartości obserwowanych.

 

•  

 

 

Inny przykład tabeli korelacyjnej. 
Wykształcenie badanych osób 
przebywających w Domach Pomocy 
Społecznej  z uwzględnieniem płci

Wykształcenie

Płeć

Żeńska

Męska

                           

Liczba
podstawowe           
    %

53

86,9%

16

43,2%

                           
Liczba
zawodowe              

    %

2

3,3 %

14

37,8 %

                           
Liczba
średnie                  
%

6

9,8 %

5

13,5 %

                           
Liczba

wyższe                    
   %

0

0,0 %

2

5,4 %

                           
Liczba
Razem                    

    %

61

100,0 %

37

100,0 %

 

 

W  tablicy  korelacyjnej  zawarte są 
rozkłady brzegowe  i  warunkowe.   
Rozkład  brzegowy (por.     ostatnia    
kolumna    określa    rozkład brzegowy  
cechy  X,  ostatni   wiersz – rozkład 
brzegowy   cechy   Y)    prezentuje    
strukturę wartości   jednej   zmiennej   (X   
lub   Y)    bez względu  na kształtowanie 
się wartości drugiej zmiennej. 

        Rozkłady  brzegowe  i warunkowe 

mogą być scharakteryzowane   pewnymi   
sumarycznymi wielkościami    (najczęściej  
  są    to    średnie arytmetyczne)

 

 

Średnie     arytmetyczne     z      

rozkładów brzegowych     wyznacza     
się    ze   wzorów:

            Średnie     arytmetyczne     z      

rozkładów warunkowych     oblicza      
się     następująco:    

i

k

i

i

n

x

n

x









1

1

j

t

i

j

n

y

n

y









1

1

ij

k

i

i

j

j

n

x

n

x









1

.

1

ij

t

i

j

i

i

n

y

n

y









1

.

1

 

 

W    sytuacji,     gdy    wraz    ze     

wzrostem (spadkiem) wartości jednej 
zmiennej następuje wzrost     (spadek)  
   warunkowych    średnich drugiej 
zmiennej,  wówczas można  stwierdzić 
istnienie       korelacji       dodatniej      
między zmiennymi.    W   sytuacji,   
kiedy   występuje przeciwny   kierunek 
  zmian,   można   mówić o  korelacji  
ujemnej. 

 

 

Jeżeli  różnice  pomiędzy  

średnimi  są   takie same, tzn.:

   wówczas   związek   między   

zmiennymi   jest liniowy. 

1

2

3

1

2

...















t

t

x

x

x

x

x

x

1

2

3

1

2

...















k

k

y

y

y

y

y

y

 

 

Dla tabel dwudzielczych 2x2 postaci 

wartość statystyki wyznaczamy według 

prostszego, praktycznego wzoru: 

a 

b 

c 

d 

 

 

 

Na przykład w próbie liczącej 100 mężczyzn 

w wieku 50-60 lat zbadano częstość 

występowania choroby wieńcowej i 

podwyższonego ciśnienia tętniczego. 

Chcemy ocenić, czy choroba wieńcowa 

współistnieje z podwyższonym ciśnieniem 

tętniczym 

Obliczając 

według wzoru podanego wyżej, 
otrzymujemy

 

= 
26,23 

 

 

Innym  miernikiem korelacyjnego związku cech 

jest   współczynnik   korelacji   rang   
Spearmana. Współczynnik    ten    stosowany    
jest    głównie     do badania współzależności 
cech niemierzalnych, bądź cechy mierzalnej i 
niemierzalnej.  Może być on   również   
stosowany   w    badaniu    związku 
korelacyjnego  pomiędzy  cechami   
mierzalnymi (szczególnie w przypadku małej 
próby). 

         Konstrukcja    współczynnika    korelacji    

rang opiera  się  na  zgodności  pozycji,  którą 
zajmuje każda    z    odpowiadających    sobie    
 wielkości     we    wzrastającym    lub     
malejącym     szeregu wartości   cechy.

 

 

Współczynnik   korelacji   rang  Spearmana  

(Q)      wylicza się w oparciu o wyznaczone 
różnice rang (    ) oraz liczby par 
obserwacji (n):

przy czym:

gdzie:
             - rangi zmiennej X oraz Y (i=1,2,...n)

n

n

d

Q

n

i

i













3

1

2

6

1

i

i

y

x

i

v

v

d





i

i

y

x

v

v ,

 

 

gdy

        Współczynnik    korelacji    rang    

przyjmuje wartości    z    przedziału    
                ,  a   jego interpretacja        
   jest        analogiczna       do 
współczynnika    korelacji    Pearsona

1



Q

0

1

2







n

i

i

d

1

1







Q

 

 

Przykład. W celu zbadania, czy istnieje związek 
między zdyscyplinowaniem pacjentów względem 
zaleceń personelu medycznego a wynikami 
terapii na pewną dolegliwość poddano 
obserwacji 10 pacjentów. Otrzymano 
następujące wyniki obserwacji zestawione w 
tabeli

:

Pacjent

Ranga 

zdyscyply-

-nowanie

Ranga

terapii

Różnica 

rang (d)

Kwadrat 

różnicy 

rang (d

2

)

1
2
3
4
5
6
7
8
9

10

6
2
5
1

10

4
9
3
8
7

4
1
5
3

10

7
6
2
9
8

2
1
0

-2

0

-3

3
1

-1
-1

4
1
0
4
0
9
9
1
1
1

Razem

0

30

 

 

 

 

WSPÓŁCZYNNIK 

KORELACJI RANG 

SPEARMANA

• Współczynnik korelacji rang 

Spearmana służy do opisu siły 

korelacji dwóch cech w  przypadku, 

gdy:

•  -  cechy są mierzalne, a badana 

zbiorowość jest nieliczna,

•  - cechy mają charakter jakościowy i 

istnieje możliwość ich 

•     uporządkowania.

 

 

Wzór na współczynnik 

korelacji rang Spearmana 

jest następujący:

)

1

(

6

1

2

1

2











n

n

d

Q

n

i

i

gdzie:d

i

 = r

1i

 – r

2i

,

r

1i

 – ranga i-tego obiektu w pierwszym uporządkowaniu,

r

2i

 – ranga i-tego obiektu w drugim uporządkowaniu,

n – liczba badanych obiektów.

Współczynnik 

korelacji 

rang 

Spearmana 

przyjmuje 

wartości 

z  przedziału  <-1,1>.  Im  bliższy  jest  on  liczbie  1  lub 
-1, tym silniejsza jest analizowana zależność.

 

 

Przykład 1

W pewnym mieście przeprowadzono badania dotyczące 
oglądalności ulubionych programów telewizyjnych. W 
poniższej tabeli zamieszczono wyniki dla losowo 
wybranego małżeństwa

.

Współczynnik korelacji rang Spearmana dla badanych cech wynosi:

93

,

0

)

1

7

(

7

108

6

1

2













r