Zginanie walcowe płyt
Zginanie walcowe płyt
prostokątnych
prostokątnych
Zginanie walcowe płyt
Zginanie walcowe płyt
prostokątnych
prostokątnych
Podstawowe założenia:
Podstawowe założenia:
gdzie:
1
– szerokość płyty,
l
– długość jednostkowa
płyty,
Elementarne pasemko
traktujemy jako belkę o
prostokątnym przekroju
poprzecznym, gdzie
długość l, wysokość h.
Rys. 1.
a) płyta długa prostokątna pod wpływem obciążenia
poprzecznego i stałego na całej długości (rys. 1.);
b)
rozważamy płytę o stałej grubości h i założeniu, że
płaszczyzna płyty leżąca pod obciążeniem pośrodku
pomiędzy zewnętrznymi powierzchniami jako płaszczyzna
„xy”. Oś y pokrywa się z podłużną krawędzią płyty, oś z
skierowana jest ku dołowi. Natomiast „
1
” jest szerokością
płyty (elementarne pasemko, które uważamy jako belkę o
przekroju prostokątnym o długości „
l
”);
c)
ugięcie płyty opisano równaniem różniczkowym (dla
pasemka płyty), które podobne jest do równania ugięcia
belki zginanej;
d)
przekrój poprzeczny belki pozostaje podczas zginania
płaski i ulega obrotowi względem osi obojętnej;
e)
do końcowych przekrojów belki nie są przełożone siły
osiowe, to powierzchnia obojętna belki pokrywa się ze
środkową powierzchnią płyty, a jednostkowe wydłużenie
włókna równoległego do osi „x” jest proporcjonalne do
jego długości „z” od powierzchni środkowej;
f)
krzywizna odkształconej belki przyjęto wg wzoru:
gdzie:
wgięcie płyty (belki) w kierunku osi „z” jest małe w porównaniu z
długością belki „l”
(1
)
g) jednostkowe wydłużenie włókna, które znajduje się w
odległości „z” od powierzchni środkowej (rys. 2.) określono
wzorem:
2
2
dx
w
d
z
x
rys.
2.
(2
)
Podstawy teoretyczne
Podstawy teoretyczne
• Przy wykorzystaniu prawa Hooke’a określono jednostkowe
wydłużenie:
E
E
y
x
x
0
E
E
x
y
y
(3
)
– współczynnik
Poissona.
gdzie:
E
– moduł sprężystości
materiału,
• Odkształcenie poprzeczne płyty w kierunku osi „y” jest
równe zeru. W związku z zachowaniem warunku ciągłości
płyty przy zginaniu otrzymano następujące zależności:
x
y
(4
)
• Po podstawieniu (4) do (1) otrzymano:
E
x
x
)
1
(
2
2
2
2
2
1
1
dx
w
d
Ez
E
x
x
(5)
• Moment zginający określono całką:
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
12
1
dx
w
d
Eh
dz
dx
w
d
Ez
zdz
M
h
h
h
h
x
(6)
gdzie
:
)
1
(
12
2
3
Eh
D
• Krzywa odkształconego elementarnego pasemka
przedstawiono w następującej postaci różniczkowej:
2
2
dx
w
d
D
M
gdzie
:
D
– jest sztywnością zginania płyty, która jest odpowiednikiem „EJ
z
”
sztywności belki,
w
– ugięcie płyty (belki) przedstawiono w formacie całkowej (równanie
analogiczne jak dla belki.
(7
)
