1 /13

Zastosowania zadań PL

Wybór portfela inwestycyjnego

Fundusz inwestycyjny posiada kapitał 5 mln zł. Ma do wyboru akcje trzech firm: A, B i 
C. Akcje firmy A są najbardziej ryzykowne, dlatego mogą maksymalnie stanowić 50% 
portfela, akcje firmy B od dawna stabilnie rosną, zatem ustalono, że powinny stanowić 
minimum 20% portfela. Oczekiwane stopy zwrotu podane są w tabeli.

Ile akcji i jakich firm powinien kupić fundusz, aby zmaksymalizować swoją 
oczekiwaną stopę zwrotu?

Akcje 

firmy

Oczeki

wana 

stopa 

zwrotu

Cena 

akcji

A

30%

200zł

B

5%

50zł

C

10%

2000zł

Niech :A,B,C – udział wartości akcji A,B,C w wartości portfela

f(A,B,C) = 0,3A + 0,05B + 0,1C  -> max

Warunki ograniczające:

A + B + C =1  (warunek budżetowy)

A <= 0,5

B >= 0,2

A>=0, B>=0, C>=0

Za pomocą dodatku SOLVER w Excelu otrzymujemy rozwiązanie optymalne: (A,B,C) = 
(0,5; 0,2; 0,3)

0,5*5mln zł = 2,5 mln zł -> należy przeznaczyć na zakup akcji A (czyli 2,5 mln 
zł/200zł= 12 500 sztuk)

0,2*5 mln zł = 1 mln zł - > należy przeznaczyć na akcje B (czyli 1 mln zł /50zł = 20 000 
sztuk)

0,3*5mln zł = 1,5 mln zł -> należy przeznaczyć na akcje C (czyli 1,5 mln zł/ 2000zł = 
750 sztuk)

 

 

2 /13

Zastosowania zadań PL

Wybór portfela inwestycyjnego

•Przykład rozwiązania za pomocą SOLVERa -> plik. Zadania PL.xls

•Zadanie 1

 

-> plik. Zadania PL.xls

 

 

3 /13

Zastosowania zadań PL

Wybór portfela inwestycyjnego

f(x

1

, ..., x

j

) = Σ

j 

r

j

x

j

  -> max

Gdzie r

j

 – oczekiwana stopa zwrotu, x

j

 – udział wartości aktywów j-tego typu wartości 

portfela

Warunki ograniczające:

Σ

j 

x

j

 =1  

d

j

 < x

j

 < g

j 

   

x

j

 >= 0 , j=1,...,n

Gdzie d

j

 – dolny limit udziału wartości aktywów j w wartości portfela 

g

j

 - górny limit udziału wartości aktywów j w wartości portfela 

Kx

j

 / c

j

  = ilość jednostek aktywu j, jaką należy zakupić do portfela

Gdzie K – kapitał, c

j

 – cena jednostkowa inwestycji

Kwota zysku = K Σ

j 

r

j

x

j

 

 

 

4 /13

Zastosowania zadań PL

Wybór portfela inwestycyjnego – ZADANIE 2

Zapisz funkcję celu oraz warunki ograniczające dla poniższego zadania:

Fundusz poszukuje portfela o jak największej wartości oczekiwanej stopy zwrotu oraz 
ryzyku nie przekraczającym 5%.

Akcje firmy

Oczekiwana 

stopa 

zwrotu

Odchylenie 

standardow

e ( miara 

ryzyka)

A

30%

10%

B

5%

15%

C

20%

20%

D

10%

2%

 

 

5 /13

Zastosowania zadań PL

Zagadnienie transportowe

Należy zaplanować przewóz z magazynów do fabryk tak, aby 
zminimalizować koszt transportu. Koszt przewozu 1 tony na 
odległość 1km wynosi 20zł.

Fabryk

a1

Fabryka2

Zasoby (w 

tonach)

Magazyn1

4

2

100

Magazyn2

5

3

50

Magazyn3

6

1

50

Moce 

produkcyjne 

(w tonach)

60

70

Odległość między 
Magazynem1 a 
Fabryką2 w km

Rozwiązanie:

x

ij

 – decyzja, że 

przewozimy x ton z 
magazynu i do fabryki j (6 
decyzji)

Koszt przewozu z 
Magazynu1 do Fabryki1 = 
4km*20zł = 80zł

Funkcja celu:

80x

11

 + 40x

12

 + 100x

21

 + 60x

22

 + 120x

31

 + 20x

32

  -> min

(80 = 4km* 20zł)

 

 

6 /13

Zastosowania zadań PL

Zagadnienie transportowe

Moce produkcyjne Fabryk i Zasoby magazynów stanowią 
ograniczenia

Fabryk

a1

Fabryka2

Zasoby (w 

tonach)

Magazyn1

4

2

100

Magazyn2

5

3

50

Magazyn3

6

1

50

Moce 

produkcyjne 

(w tonach)

60

70

x

11

 + x 

12

 <=100

x

21

 + x 

22

 <= 50

x

31

 + x 

32

 <=50

x

11

 + x 

21

 + x 

31

 = 60

x

12

 + x 

22

 + x 

32

 = 70

Gdy łączne Moce produkcyjne Fabryk i Zasoby magazynów są równe to 
mówimy o zbilansowaniu podaży (zasoby magazynów)  z popytem (moce 
produkcyjne)

 

 

7 /13

Zastosowania zadań PL

Zagadnienie transportowe – ZADANIE 3

Zapisać funkcję celu i warunki ograniczające:

Koszt przewozu 1 tony na odległość 1km wynosi 20zł.

Fabryk

a1

Fabryka2

Zasoby (w 

tonach)

Magazyn1

2

3

70

Magazyn2

1

4

40

Magazyn3

3

1

50

Moce 

produkcyjne 

(w tonach)

30

70

Za pomocą SOLVERa oblicz rozwiązanie optymalne oraz koszt 
transportu.

 

 

8 /13

Zastosowania zadań PL

• Zagadnienie diety – ZADANIE 4

Asia jest na diecie. Jej dzienne zapotrzebowanie na witaminy A, B i C wynosi 10,20 i 
30. Przy czym dla witaminy A maksymalna dzienna dawka nie może przekroczyć 50 
jednostek.

Na rynku dostępne są trzy rodzaje tabletek. Jedna tabletka T1 zawiera w sobie 5 
jednostek witaminy A, 10 jednostek witaminy B i 6 jednostek witaminy C. W 
przypadku tabletek T2 i T3 zawartość witamin A, B i C w jednej tabletce wynosi 
odpowiednio 10,15,15 i 20,20,6.

Tabletki można kupować na sztuki. Jedna tabletka T1 kosztuje 2zł, T2 – 3zł a T3 – 5zł.

Skonstruować zadanie na podstawie, którego Asia podejmie decyzję, które tabletki i w 
jakich ilościach powinna kupić, aby dostosować się do wymogów diety i jednocześnie 
jak najmniej płacąc.

Następnie za pomocą Solvera rozwiązać zadanie

 

 

9 /13

Zastosowania zadań PL

• Wybór harmonogramu – Przykład 

Właściciel restauracji chce ustalić ilu kelnerów potrzebuje zatrudnić. Liczba 
potrzebnych kelnerów danego dnia zależy od liczby klientów. W niektóre dni liczba 
klientów jest większa, a w inne dni mniejsza. Na podstawie dotychczasowych 
doświadczeń właściciel restauracji ustalił ilu kelnerów potrzebuje każdego dnia 
tygodnia:

Pon: 3  Wt: 5  Śr: 4  Czw: 5  Piąt: 10  Sob: 11  Niedz: 8

Każdy kelner pracuje 5 dni pod rząd i po pięciu dniach pracy otrzymuje dwa dni 
wolne.

Zapisz funkcję celu oraz warunki ograniczające.

F(X) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 -> min

x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 3 (1)

x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 5 (2)

x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 4 (3)

x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 5 (4)

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 10 (5)

x2 + x3 + +x4 + x5 + x6 ≥ 11 (6)

x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 8 (7)

 

 

10 /13

Zastosowania zadań PL

• Problem przydziału – Przykład 

Marta postanowiła chodzić trzy razy w tygodniu do Gymnasionu na różne zajęcia. W 
Gymnasionie jest promocja: zajęcia w danej grupie kosztują tyle, ile aktualnie zapisanych 
jest osób do danej grupy. W które dni i do jakiej grupy powinna się zapisać, aby w sumie 
zapłacić jak najmniej? Zapisz zadanie PL.

Liczba osób zapisanych do 

grupy

Sals

a

TBC

Jazz 

danc

e

Pon

10

15

6

Wt

4

9

5

Śr

6

12

10

Czw

8

5

3

Zmienna decyzyjna: x

ij

 = 1 jeśli zapisze się do grupy, 0 jeśli nie zapisze

F(x) = 10x

11

 + 15 x

12

 + 6x

13

 + 4x

21

 + 9x

22

+ 5x

23

+ 6x

31

 + 12x

32 

+ 10x

33 

+ 

8x

41

 + 5x

42

 + 3x

43

x

11

 + x

12 

+ x

13

 <=1 x

11

 + x

21

 + x

31

 + x

41

 = 1

x

21

 + x

22

 + x

23

<=1 x

12

 + x

22

 + x

32

 + x

42

 = 1

x

31

 + x

32

 + x

33

<=1 x

13

 + x

23

 + x

33

 + x

43

 = 1

x

41

 + x

42

 + x

43

 <=1

 

 

11 /13

Zastosowania zadań PL

• Problem przydziału – ZADANIE 5

Firma współpracuje z trzema tłumaczami. Każdy z nich może przetłumaczyć na trzy języki 
obce, jednak czas jaki potrzebują średnio na przetłumaczenie jednej strony w danym 
języku jest różny w każdym przypadku. Firma potrzebuje przetłumaczyć artykuł na trzy 
języki obce. Komu powinna powierzyć przetłumaczenie artykułu na jaki język, aby 
otrzymać je jak najszybciej. Zapisz ZPL.

Ang

Fran

Niem

Tłum 1

15

12

10

Tłum 2

9

9

12

Tłum 3

18

13

10

Tłum 4

16

15

10

 

 

12 /13

Zastosowania zadań PL

• Problem produkcyjny wielookresowy – Przykład 

Firma musi ustalić produkcję w poszczególnych kwartałach. Popyt na produkt, zdolności 
produkcyjne firmy, cena i koszty produkcji są zmienne (podane w tabeli). Produkt 
wyprodukowany w danym kwartale może skierować od razu na rynek lub przechować w 
magazynie. Koszt magazynowania w każdym kwartale wynosi 0,05 za sztukę. Aktualny stan 
zapasów firmy wynosi 400 i taki sam stan zapasów chce mieć za rok.

Ile firma powinna produkować i dostarczać na rynek, aby zmaksymalizować zysk?

Kwartał

Maksymalny popyt

Zdolności produkcyjne

Cena 
sprzedaży

Koszty 
produkcji

1

2100

3600

2,5

1,6

2

3400

2200

2,8

1,7

3

4800

3400

3,4

1,4

4

2400

4000

2,2

1,1

Definicja zmiennych decyzyjnych

x

j

 – wielkość produkcji w kwartale j, j = 1,2,3,4,

z

j

 – zapas w magazynie na koniec kwartału j, j = 

1,2,3,4,

r

j

 – wielkość dostaw na rynek w kwartale j, j = 

1,2,3,4.

Ograniczenia wynikające z zdolności 
produkcyjnych

x1 ≤ 3600 , x2 ≤ 2200, x3 ≤ 3000, x4 ≤ 
4000 .

Ograniczenia wynikające z chłonności 
rynku

r1 ≤ 2100 , r2 ≤ 3400 , r3 ≤ 4800, r4 ≤ 
2400

Ograniczenia wynikające z wymogu stanu 
zapasów

z4 ≥ 400

 

 

13 /13

Zastosowania zadań PL

• Problem produkcyjny wielookresowy – Przykład 

Zależności między produkcja, zapasem a dostawami na rynek dla każdego kwartału:

kwartał I: r1 = x1 + 400 − z1 ,

kwartał II: r2 = x2 + z1 − z2 ,

kwartał III: r3 = x3 + z2 − z3 ,

kwartał IV: r4 = x4 + z3 − z4 ,

Funkcja celu:

Zysk = Dochód ze sprzedaży – koszt produkcji – koszt magazynowania

Dochód ze sprzedaży: 2,5x1 + 2,8x2 + 3,4x3 + 2,2x4

Koszty produkcji: 1,6r1 +1,7r2 +1,4r3 +1,1r4

Koszt magazynowania: 0,05(z1 + z2 + z3 + z4 )

Funkcja celu: 2,5x1 + 2,8x2 + 3,4x3 + 2,2x4 - (1,6r1 +1,7r2 +1,4r3 +1,1r4)-0,05(z1 + 
z2 + z3 + z4)