Wojciech Piątkowski

Inżynieria Chemiczna i 

Procesowa

Wykład II

Masa

Katedra Inżynierii Chemicznej i Procesowej

Wydział Chemiczny, Politechnika Rzeszowska

 

 

LITERATURA

Mieczysław Serwiński – „Zasady Inżynierii Chemicznej i Procesowej” 
Tadeusz Hobler – „Dyfuzyjny ruch masy i absorbery” 
Praca zbiorowa pod red. Z. Ziółkowskiego – „Procesy dyfuzyjne i 

termodynamiczne” – skrypt  Pol. Wrocławskiej część;1; 2; 3; 
Z. Kembłowski, St. Michałowski, Cz. Strumiłło, R. Zarzycki –„ Podstawy 

teoretyczne Inżynierii Chemicznej i Procesowej” 
R. Zarzycki; A. Chacuk; M. Starzak – „Absorpcja i absorbery” 
R. Petrus; G. Aksielrud; J. Gumnicki; W. Piątkowski – „ Wymiana masy w 

układzie ciało stałe – ciecz” 
C.O. Bennett, J.E. Meyers, „Przenoszenie pędu, ciepła i masy”
K.F.Pawłow; P.G. Romankow; A.A. Noskow – „Przykłady i zadania z zakresu 

aparatury i inżynierii chemicznej” 
Z. Kawala; M. Pająk; J. Szust – „Zbiór zadań z podstawowych procesów 

inżynierii chemicznej”; skrypt  Pol. Wrocławskiej cz.: I, II, III 
T.Kudra (pod redakcją) – „Zbiór zadań z podstaw teoretycznych inżynierii 

chemicznej i procesowej” 
Praca zbiorowa pod red. J. Bandrowskiego – „Materiały pomocnicze do ćwiczeń 

i projektów z inżynierii chemicznej” – skrypt  Pol. Śląskiej 

 

 

Ruch masy

Ruch masy

 – nauka o procesach transportu masy.

Siła

Siła

  nap

  nap

ę

ę

dow

dow

a

a

  ruchu  masy  to  różnica  stężenia

 

składnika 

składnika 

kluczowego

kluczowego

 



Z

A 

lub

 



S

A 

(dokładna definicja stężenia - przy każdym 

mechanizmie lub procesie ruchu masy)

Ruch masy

Pojęcia podstawowe

Procesy  ruchu  masy

Procesy  ruchu  masy

  –  ruch  masy  w  kombinacjach,  o  których 

mowa powyżej

Wnikanie  masy

Wnikanie  masy

 

–  ogólna  nazwa  sposobu  przekazywania  masy  od 

rdzenia  płynu  do  powierzchni  międzyfazowej  –  zwierciadła.  Jest  to 

proces  transportu  masy  składający  się  z  2  mechanizmów  ruchu 

masy  przebiegających  następczo  (szeregowo  jeden  za  drugim): 

konwekcji  masy

konwekcji  masy

  w  rdzeniu  płynu  oraz 

dyfuzji  masy

dyfuzji  masy

  w  warstwie 

przyściennej  –  lub  odwrotnie  w  funkcji  zwrotu  przyłożonej 

siły 

siły 

napędowej

napędowej

.

Przenikanie  masy

Przenikanie  masy

 

–  ogólna  nazwa  sposobu  przekazywania  masy 

od rdzenia jednego do rdzenia drugiego płynu poprzez powierzchnię 

międzyfazową. 

Mechanizmy ruchu masy

Mechanizmy ruchu masy

 – istnieją dwa odrębne mechanizmy ruchu 

masy:

– 

dyfuzja masy

dyfuzja masy

 – w ten sposób masa jest przekazywana w 

materialnych ośrodkach ciągłych na skutek różnicy stężenia,

– 

konwekcja

konwekcja

 

 

masy

masy

 – w ten sposób masa może być przekazywana 

w cieczach i gazach na skutek różnicy stężenia oraz unoszenia 

cząsteczek przez istniejące pole prędkości,

Mechanizmy ruchu masy

Mechanizmy ruchu masy

 mogą występować łącznie w 

kombinacjach: szeregowo, równolegle - zależnych od tego na co 

pozwala dany ośrodek – np. w ciałach stałych: tylko dyfuzja, w 

cieczach i gazach: dyfuzja i/lub  konwekcja masy. 

 

 

Przenoszenie 

Przenoszenie 

masy 

masy 

przez dyfuzję

przez dyfuzję

Ruch masy c.d.

Ustalona  dyfuzja  masy

Ustalona  dyfuzja  masy

: 

d

d

yfuzja  masy

yfuzja  masy

  zachodzi  w  obrębie 

jednego  ciała,  w  którym  istnieje  różnica  stężenia  między  punktami 
tego  ciała.  Nie  istnieje  natomiast  makroskopowy  ruch  translacyjny 
cząstek  tego  ciała.  Dopuszczalny  jest  ruch  bezwładny  np.  ruchy 
Browna w gazach.

Dyfuzja masy

Dyfuzja masy

 zachodzi we wszystkich stanach skupienia.

POWTÓRZENIE - 

Siła

Siła

 nap

 nap

ę

ę

dow

dow

a

a

 

 

dyfuzji

dyfuzji

 to różnica stężenia 

składnika kluczowego

składnika kluczowego

 



Z

A

 

(lub 



S

.A.

) między dwoma punktami 

tego ciała. 

N

D

C

n

A

A







Powierzchnia izo

Powierzchnia izo

koncentry

koncentry

czna

czna

 – to miejsce geometryczne 

punktów o jednakowej wartości stężenia w danej chwili czasu. 
Przecięcie płaszczyzną normalną A powierzchni izokoncentrycznych 
umożliwia śledzenie zmian stężenia zwanych 

gradientem 

gradientem 

stężenia

stężenia

:

Wektor  g

Wektor  g

ę

ę

sto

sto

ś

ś

ci  strumienia 

ci  strumienia 

masy

masy

 

–  parametr  wprost 

proporcjonalny  do  gradientu  stężenia: 

    -  równanie  (I  prawo) 

Fick’a 

w 

formie 

różniczkowej, 

gdzie: 

współczynnikiem 

proporcjonalności jest współczynnik dyfuzji 

D

. 

W prostokątnym układzie współrzędnych wektor 

N

A

 ma  oczywiście 3 

składowe,  jest  normalny  do  powierzchni  izokoncetrycznej  i  jest 
dodatni  w  kierunku  malejącego  stężenia  (masa  zawsze  płynie 
samoistnie  od  punktu  ciała  o  wyższej  wartosci  stężenia  do  punktu 
ciała o niższej wartosci stężenia. Tak więc wektory 

N

A

 oraz 

grad C

A

 = 

          mają ten sam kierunek i przeciwny zwrot.

n

C

A





 

 

itd. –spójrz do internetu!

 

 

Dynamika procesu – 

model procesu ruchu masy

Matematyczne zależności między istotnymi 
dla danego procesu wielkościami nazywa się 
modelem dynamiki układu (procesu; aparatu)























pedu

 

ia

przenoszen

 

równanie

reakcji

kinetyka

procesu

 

mika)

(termodyna

 

statyka

masy

u 

 transport

kinetyka

masy

(bilanse)

bilans

ciepla

u 

 transport

kinetyka

ciepla

 

(bilanse)

bilans

A jak należy uprościć 
prezentowany model dynamiki 
procesu dla 

ruchu masy

ruchu masy

?

Proces może być ustalony 

(1)

 lub 

nieustalony 

(2).

W przypadkach:

 

•

 

 

(2) – procesu 

(2) – procesu 

nieustalonego w 

nieustalonego w 

czasie

czasie

;

;

•

 – 

 – 

zmiennej powierzchni procesu

zmiennej powierzchni procesu

 

(

powierzchnia procesu

 – 

powierzchnia izokoncentryczna

powierzchnia izokoncentryczna

 , 

to miejsce geometryczne punktów o 
jednakowym stężeniu w danej chwili 
czasu)

Model 

Model 

dynamiki procesu 

dynamiki procesu 

transportu masy

transportu masy

 to układ równań 

 to układ równań 

różniczkowych wyrażonych jako 

różniczkowych wyrażonych jako 

bilanse masy dla sześcianu 

bilanse masy dla sześcianu 

jednostkowego 

jednostkowego 

 

 























pedu

 

ia

przenoszen

 

równanie

procesu

 

mika)

(termodyna

 

statyka

masy

u 

 transport

kinetyka

masy

(bilanse)

bilans

Dynamika procesu – 

model procesu ruchu masy

Matematyczne zależności między 
istotnymi 
dla procesu 

ruchu masy

ruchu masy

 

wielkościami nazywa się 

modelem dynamiki wymiennika 

modelem dynamiki wymiennika 

masy

masy

Model dynamiki 

Model dynamiki 

procesu 

procesu 

transportu masy

transportu masy

 to układ równań 

 to układ równań 

różniczkowych wyrażonych jako 

różniczkowych wyrażonych jako 

bilanse masy

bilanse masy

 dla sześcianu 

 dla sześcianu 

jednostkowego.

jednostkowego.

 

 W przypadkach:

 

• – procesu ustalonego w czasie;
• – stałej powierzchni procesu

Model dynamiki może być 

Model dynamiki może być 

zapisany jako układ równań 

zapisany jako układ równań 

scałkowanych operujących 

scałkowanych operujących 

parametrami przekrojów wlotu i 

parametrami przekrojów wlotu i 

wylotu z aparatu

wylotu z aparatu

 

 

Ruch masy c.d.

Różniczkowy 

bilans 

masy

 c.d.

Założenie (Uproszczenie 1):

 

ponieważ bilansujemy 

wymiennik masy

wymiennik masy

 a nie reaktor, 

to przyjmujemy, że reakcja 
chemiczna nie zachodzi

  R

A

 = 

0.

 

0







B

B

N

t

C





dla skł. B

z

y

x

x

N

N

Ax

Ax

d

d

d





















dz

dy

N

Ax























































reakcji

 wyniku 

w

skl.

ubytek

 

skl.

 

akumulacja

skl.

odplywu 

   

natezenie

skl.

doplywu 

 

natezenie

A

A

A

A

UWAGA: stężeniem użytym w poniższym wyprowadzeniu jest 
koncentracja masowa 
–                              [kgA/m

3

] 

A

C

V

/

m

A



0









A

A

A

R

N

t

C





0



























A

Az

Ay

Ax

A

R

z

N

y

N

x

N

t

C

















dla skł. A

[kgA/m

3

s]



F

/

m

N

A

A



[kgA/m

2

s]

Dyfuzja masy

Dyfuzja masy

 nie będzie mieć 

miejsca jeśli nie będzie 
mieszaniny 

A+B

 

 

Ruch masy c.d.

Różniczkowy 

bilans 

masy

 c.d.

W tym miejscu powrót do 
czystej 

dyfuzji masy

dyfuzji masy

Uproszczenie  3: 

Jeżeli 

dyfuzja 

dyfuzja 

masy

masy

 odbywa się tylko w kierunku 

x

:

2

2

x

C

D

t

C

A

A











II prawo Fick’a

II prawo Fick’a

A

A

C

y 

dla:

 



 = const 

i

 D = const, 

oraz

     

             

/



  





A

A

A

C

D

C

u

t

C

2













0















z

N

N

y

N

N

x

N

N

t

Bz

Az

By

Ay

Bx

Ax



















)

(

)

(

)

(

Łącząc 
zależności:

 

gdzie
:

 

B

A

C

C 





W  tym  miejscu  wprowadza  się  równoczesny  ruch  masy    przez 

konwekcj

konwekcj

ę

ę

 oraz dyfuzj

 oraz dyfuzj

ę

ę

 masy

 masy





















x

y

D

C

u

N

x

y

D

C

u

N

B

B

B

A

A

A













Uproszczenie  2: 

Jeżeli  płyn  jest 

nieruchomy:

A

A

C

D

t

C

2









 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

Całkowanie 

równania Laplace’a

równania Laplace’a

 przy następujących warunkach brzegowych:

dla 

x = 0  C

A

 = C

A1

;

 

dla 

x = s  C

A

 = C

A2

 

(w wyprowadzeniu przejście na koncentrację 

      molową – to nic nie zmienia w rozumowaniu!)





2

1

A

A

A

C

C

s

D

N





[kmolA/m

2 

s]

Szybkość dyfuzji masy

Szybkość dyfuzji masy

Drugie całkowanie daje:

Pierwsze całkowanie daje:

x

C

D

N

A

A









I prawo Fick’a

I prawo Fick’a





2

1

A

A

A

C

C

A

s

D

m







[kmolA/s]

Strumień dyfundującej 

Strumień dyfundującej 

masy

masy

0

2

2



x

C

D

A





Uproszczenie  4: 

Jeżeli 

dyfuzja

dyfuzja

  jest  ruchem    masy 

ustalonym tylko w kierunku 

x

:

Równanie Laplace’a

Równanie Laplace’a

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

Szczegółowe  równanie  na

  gradient  dyfuzji

  gradient  dyfuzji

,  uważane  obecnie 

za podstawowe, brzmi:

                                                                   

gdzie:

 a - 

stała 

proporcjonalności

 





 

u

 

- 

u

C

C

p

 

-

B

A

'

B

'

A

A

a





Równanie 

Równanie 

Fick’a

Fick’a

  może  zostać  wyprowadzone  dla  fazy  gazowej  z 

kinetycznej  budowy  gazów  Maxwella  -  Stefana.  Opór 

dyfuzji

dyfuzji

  w 

gazowej,  dwuskładnikowej  mieszaninie  mierzony  spadkiem  ciśnienia 

sk

sk

ł

ł

adnika kluczowego

adnika kluczowego

 

A

 i jest proporcjonalny do:

- p

A

   z

A

 z

B

 (u

A

 - u

B

) 

gdzie:

  z

A

 

-  ilość    cząsteczek  składnika  dyfundującego;

  z

B

 

-  ilość   

cząsteczek  składnika,  przez  który  dyfunduje  składnik

  A

;

  (u

A

  -  u

B

) 

- 

różnica  wypadkowych  prędkości  cząsteczek  obu  gazów  w  kierunku 
dyfuzji – ogólnie;

                      [m/s]

 - prędkość molekularna składnika

 

i; 





i

'

i

C

N

u 

Posłużmy  się  sześcianem  elementarnym  i  obliczmy  ilość  cząsteczek 
składnika

 A 

znajdujących się w tym elemencie:

 z

A

 



A

 = c

A

 

- gdzie

 



A

 - 

masa  1  cząsteczki 

[g/cz];  c

A

  - 

łączna  masa  cząsteczek 

w 

1 cm

3

 

  koncentracja masowa cząsteczek 

[g/cm

3

].

Według prawa Avogadra masy cząsteczek mają się  do siebie jak masy 
molowe, w związku z czym:

 

'

A

z  

A

A

A

c

C

M

�

=

'

B

z  

B

B

B

c

C

M

�

=

a

[kmol/m

3

]

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

A

'

A

'

A

u

C

N 

Definicja 

g

g

ę

ę

sto

sto

ś

ś

ci  strumienia 

ci  strumienia 

masy

masy

 brzmi:

[kmolA/m

2

s] 

a 
stąd:

 

C

N

u

'

A

'

A

A



 

C

N

u

'

B

'

B

B



T

C

p

'

A

A

R

d





Podstawiając te związki oraz 
zależność:

 





'

A

'

B

'

B

'

A

'

A

C

N

C

N

T

C









R

a

Otrzyma się z:





 

u

 

- 

u

C

C

p

 

-

B

A

'

B

'

A

A

a





gdzie:                        -  koncentracja  całkowita  układu; 

D

AB

  - 

współczynnik  proporcjonalności  równania  – 

współczynnik 

współczynnik 

dyfuzji

dyfuzji

 - miara 

szybko

szybko

ś

ś

ci dyfuzji

ci dyfuzji

 dla danej pary składników

 







n

i

'

i

'

C

C

1

Definicja 

kinematycznego 

kinematycznego 

wspó

wspó

ł

ł

czynnika dyfuzji

czynnika dyfuzji

:

BA

'

AB

D

P

T

C

T

D







a

a

2

2

R

R

[m

2

/s]





'

A

'

B

'

B

'

A

'

AB

'

A

C

N

C

N

C

D

C









1

'

AB

'

AB

C

D





Definicja 

dynami

dynami

cznego 

cznego 

wspó

wspó

ł

ł

czynnika dyfuzji

czynnika dyfuzji

:

[kmolA/m s]

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

'

'

A

'

AB

B

'

A

'

AB

'

B

'

'

A

C

C

C

C

C

N















Szybkość dyfuzji

Szybkość dyfuzji

'

A

'

B

B

'

A

'

A

A

N

N

;

N

N











1

Definicja  stosunków  gęstości 
strumieni masy:





'

A

B

'

B

'

AB

'

A

C

C

C













1

'

'

A

A

C

C

y 

Przejdźmy do 
prostszej 
postaci równania 
przez 
wprowadzenie 
ułamka 
molowego

 

A

A

A

A

A

'

AB

B

A

'

AB

B

'

A

y

y

y

y

y

N

























1

1

1

f

A

A

y

y 





1









n

i

i

A

1





gdzie:

oraz:

f

A

'

AB

B

A

'

AB

B

A

A

'

A

y

y

y

y

y

N



















1

 

 

f

A

'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

A

'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

f

'

A

y

y

...

y

y

...

y

y

y

N



































































Poprzednie r-nie można przez analogię  rozszerzyć dla mieszaniny 

n-

składnikowej:

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

f

A

'

Am

'

A

y

y

N









O

O

góln

góln

a

a

 posta

 posta

ć

ć

 

 

I prawa Fick’a

I prawa Fick’a

 

 

w 

formie 

w 

formie 

ró

ró

ż

ż

niczkowej

niczkowej

:











































'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

A

'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

A

A

'

Am

...

y

y

...

y

y

y























1

Definicja 

zast

zast

ę

ę

pcz

pcz

ego

ego

, 

, 

dynamiczn

dynamiczn

ego

ego

 

 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

 dyfuzji

 dyfuzji

 

składnika 

A 

przez mieszaninę innych składników

 :

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

Przekształcenia upraszczające ogólnego 

I prawa

I prawa

 

 

Fick’a

Fick’a

 wedlug 

charakterystycznych przypadków - 

rodzajów dyfuzji

rodzajów dyfuzji

, w 

ustalonym ruchu masy przez 

dyfuzj

dyfuzj

ę

ę

:

1.

1.

D

D

yfuzja 

yfuzja 

składnika A przez drugi składnik inertny B  i   – 1-

wszy rodzaj 

dyfuzji

dyfuzji

: 

s

y

y

N

i

A

'

Ai

'

A

d

d







a po 
scałkowaniu:

 





im

A

A

'

Ai

i

i

'

Ai

'

A

y

y

y

s

y

y

s

N

2

1

2

1

ln

























 



y

y

y

im

A

A





 

1

1

2

1

2

gdzi
e:

 

;

N

N

'

A

'

A

A

1







;

N

N

'

A

'

B

B

0







y

f

  = 1 – y

A 

= y

B 

= 

y

i

;

N

'

B

0















n

i

i

A

1

1





'

Ai

A

'

Ai

i

i

'

Am

y

y

y





























0

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

2.

2.

D

D

yfuzja

yfuzja

 ekwimolarna przeciwkierunkowa – 2-gi rodzaj 

dyfuzji

dyfuzji

: 

Przekształcenia upraszczające ogólnego 

I prawa

I prawa

 

 

Fick’a

Fick’a

 wedlug 

charakterystycznych przypadków - 

rodzajów dyfuzji

rodzajów dyfuzji

, w 

ustalonym ruchu masy przez 

dyfuzj

dyfuzj

ę

ę

 c.d.

s

y

y

N

i

A

'

Am

'

A

d

d







a po 
scałkowaniu:

 





1

2

1

A

A

'

AB

'

A

y

y

s

N







;

N

N

'

A

'

A

A

1







;

N

N

'

A

'

i

i

1









y

f

  = 1

;

1





'

B

N

 







n

i

i

A

1

0





'

AB

'

AB

A

'

AB

B

'

Am

y

y





















 

















1

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

Przekształcenia upraszczające ogólnego 

I prawa

I prawa

 

 

Fick’a

Fick’a

 wedlug 

charakterystycznych przypadków - 

rodzajów dyfuzji

rodzajów dyfuzji

, w 

ustalonym ruchu masy przez 

dyfuzj

dyfuzj

ę

ę

 c.d.

3.

3.

D

D

yfuzja 

yfuzja 

składnika A przez mieszaninę inertów - 3-ci rodzaj 

dyfuzji

dyfuzji

: 

s

y

y

N

i

A

'

Ai

'

A

d

d







a po 
scałkowaniu:

 





im

A

A

'

Ai

i

i

'

Ai

'

A

y

y

y

s

y

y

s

N

2

1

2

1

ln

























 



y

y

y

im

A

A





 

1

1

2

1

2

gdzi
e:

 

;

N

N

'

A

'

A

A

1







;

N

N

'

A

'

i

i

0







y

f

  = 1 – y

A 

= 

y

i 

=

;

N

'

B

0















n

i

i

A

1

1















































'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

A

'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

A

A

'

Am

...

y

y

...

y

y

y























1

y

y

y

B

C

N

i

n



 





...

1

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

Hoblerowskie

Hoblerowskie

 ujęcie ruchu masy





im

A

A

'

Ai

i

i

'

Ai

'

A

x

x

x

s

x

x

s

N

2

1

2

1

ln

























 



x

x

x

im

A

A





 

1

1

2

1

2

gdzi
e

:

 

Dyfuzja 

Dyfuzja 

w fazie ciekłej





A

'

Ai

im

A

A

'

Ai

i

i

'

Ai

'

A

s

y

y

y

s

y

y

s

N





























2

1

2

1

ln

U

U

ogólniona si

ogólniona si

ł

ł

a nap

a nap

ę

ę

dowa 

dowa 

dyfuzji

dyfuzji

, z powodu swojej 

bezwymiarowości nazywana 

modu

modu

ł

ł

em nap

em nap

ę

ę

dowym. 

dowym. 



 

 



.

p

p

p

C

C

C

y

y

y

im

A

A

im

A

A

im

A

A

A

itd

2

1

2

1

2

1















gdzi
e

:

 

Wymiar  lewej  strony  równania  to                  [kmolA/m

2

s]  i  wymiar  ten 

winniśmy zachować także po prawej stronie równania. Oznacza to, że w 
ujęciu  Hoblerowskim  w  równaniu

  dyfuzji

  dyfuzji

  należy  zawsze  użyć 

dynamicznego wspó

dynamicznego wspó

ł

ł

czynnika dyfuzji

czynnika dyfuzji

 – w tym przykładzie:                

 

=

 

s

A

'

Am

d

d

















m

s

m

kmol 1

A

N

A

'

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

Wprowadźmy teraz definicję 

wspó

wspó

ł

ł

czynnika 

czynnika 

wnikania masy

wnikania masy

:

s

'

AB

'

A







[kmol/m

2

s]

 

A

'

A

'

A

N







I zapiszmy równanie 

dyfuzji masy

dyfuzji masy

 w nowej postaci:

W  podejściu  Hoblerowskim, 

W  podejściu  Hoblerowskim, 

mimo  tego,  że

mimo  tego,  że

  wyrazimy  modu

  wyrazimy  modu

ł

ł

 

 

nap

nap

ę

ę

dowy wybranym, dowolnym rodzajem st

dowy wybranym, dowolnym rodzajem st

ężenia

ężenia

,

,

 

 

modu

modu

ł

ł

 jest zawsze 

 jest zawsze 

bezwymiarowy, 

bezwymiarowy, 

a

a

  wymiar 

  wymiar 

wspó

wspó

ł

ł

czynnika  dyfuzji

czynnika  dyfuzji

                       

                       

= 

= 

[kmol/ms]

[kmol/ms]

 

 

oraz

oraz

 

 

wspó

wspó

ł

ł

czynnika wnikania masy

czynnika wnikania masy

        

        

= 

= 

[kmol/m

[kmol/m

2

2

s]

s]

 

 

 - 

 - 

JEST ZAWSZE 

JEST ZAWSZE 

STA

STA

Ł

Ł

Y.

Y.

 

 

'

Am





A

'

Ujęcie 

Ujęcie 

dyfuzji 

dyfuzji 

masy 

masy 

 jak 

 jak 

wnikania 

wnikania 

masy

masy

Zasadą  tego  podejścia  jest  operowanie  siłą  napędową  a  nie  modułem 
napędowym procesu. 
Wyjdźmy ze scałkowanego równania na szybkość dyfuzji, gdzie siła napędowa  
zapisana jest w koncentracjach molowych:

 





im

A

A

'

Ai

'

A

C

C

C

s

N

2

1







Wprowadźmy definicję 

współczynnika wnikania masy

 i otrzymamy:

 





2

1

A

A

im

'

A

C

C

C







Teraz zapiszmy stosunek 

współczynnika 

wnikania masy

 przez przeciwstężenie warstwy jako:

 

C

A

'

im

'

A

C







Wymiarem 

Wymiarem 

wspó

wspó

ł

ł

czynnika wnikania masy

czynnika wnikania masy

 

 





A

A

(

(

C

C

)

)

,

,

 jeśli siła napędowa jest 

wyrażona za pomocą koncentracji molowych, jest 

[m/s]

Wymiar lewej strony równania  to - 

[kmol A/m

2

s]

 i wymiar ten 

ma mieć także prawa strona równania:





2

1

)

(

A

A

C

A

C

C 





 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

Ujęcie 

Ujęcie 

dyfuzji 

dyfuzji 

masy 

masy 

 jak 

 jak 

wnikania 

wnikania 

masy c.d.

masy c.d.













2

1

2

1

2

1

A

A

y

A

A

C

A

A

p

'

A

y

y

C

C

p

p

N



















itd.

Jest  to  zapis 

I-szego  prawa  Fick’a

I-szego  prawa  Fick’a

  dla 

dyfuzji  masy

dyfuzji  masy

,  oparty  na 

zapisie szybkości 

wnikania masy

wnikania masy

.

Obliczanie wartości 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

 dyfuzji

 dyfuzji

Wartości 

współczynnika  dyfuzji

współczynnika  dyfuzji

  zostały  znalezione  i  określone  na 

drodze  eksperymentalnej  dla  wielu  par  gazów  i  cieczy  i 
stabelaryzowano  przy  w  określonych  warunkach  standardowych.  Są  to 
najczęściej:

•dla gazów - 

t = 0

o

C

 i 

p = 1 atm

,

•dla cieczy - 

t = 20

o

C

. 

W  przypadku  gdy  nie  da  się  znaleźć  tych  wartości  w  tablicach  należy 
wyznaczyć je z odpowiednich zależności matematycznych. 

'

BA

'

AB







A

'

AB

AB

M









[kg/m s] przy czym





AB

BA



Przypomnienie podstawowych zależności: 

D

AB

 = D

BA

,                       

tylko dla gazu

 

C

D

AB

'

AB





M

AB

'

AB

V

D





Ogólnie dla obu stanów skupienia

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

Obliczanie wartości 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

 dyfuzji

 dyfuzji

 c.d.

Obliczanie wartości 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

 dyfuzji

 dyfuzji

 w 

 w 

fazie gazowej

fazie gazowej

Korelacja 

Arnolda-Gillilanda

  na 

kinematyczny 

kinematyczny 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik dyfuzji

czynnik dyfuzji

:

[m

2

/s]





B

A

/

B

/

A

/

AB

M

M

v

v

p

T

.

D

1

1

044

0

2

3

1

3

1

2

3







gdzie:

 v

A

 

oraz

 v

B

 [cm

3

/mol] 

- objętości molowe odpowiednich składników 

w  postaci  cieczy  w  temperaturze  wrzenia  -  w  tablicach;

  p  -   

ciśnienie 

całkowite  układu  w

  Pa,  M  - 

masa  molowa  w

  [kg/kmol],  T 

w  skali 

Kelvina.

Korelacja 

Arnolda-Gillilanda

  na 

dynami

dynami

czny 

czny 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik dyfuzji

czynnik dyfuzji:





B

A

/

B

/

A

/

'

AB

M

M

v

v

T

.

1

1

R

044

0

2

3

1

3

1

2

1









[kmol/m s]

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

Obliczanie wartości 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

 dyfuzji

 dyfuzji

 c.d.

Obliczanie wartości 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

 dyfuzji

 dyfuzji

 w 

 w 

fazie ciekłej

fazie ciekłej

Korelacja 

Arnolda

 

na 

kinematyczny 

współczynnik dyfuzji:

gdzie:

  A  i  B

  -  to  tzw.,  czynniki  odchylenia  od  ideału  dla  substancji 

dyfundującej 

A

 w cieczy -rozpuszczalniku 

B 

- 

w tablicach

; 



B

 - lepkość 

dynamiczna rozpuszczalnika 

B

 w 

[cP]

. 

[m

2

/s]





D  

v

v

M

M

AB

B

A

B

A

B









10

1

1

1

6

1 3

1 3 2

A B



/

/

Zależność 

kinematycznego  współczynnika  dyfuzji

  w  cieczach  od 

temperatury wyrażona jest wzorem Nernsta:

 (D

AB

)

t

 = (D

AB

)

20

 [1 + b (t 

- 20)]; b - 

w tablicach

 

lub do obliczenia:

gdzie:

 



B

 - 

lepkość dynamiczna rozpuszczalnika

 B 

w

 [Pa s]; 



B

 - 

gęstość 

rozpuszczalnika

 B 

w

 [kg/m

3

] 

w

 20

o

C. 

b

0063

20

20

3

.





B

B

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

dyfuzję

 c.d.

Obliczanie wartości 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

 dyfuzji

 dyfuzji

 c.d.

Obliczanie wartości 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

 dyfuzji

 dyfuzji

 w 

 w 

fazie ciekłej

fazie ciekłej

 c.d.

Równanie 

Stokesa-Einsteina

Stokesa-Einsteina

  na 

kinematyczny  wspó

kinematyczny  wspó

ł

ł

czynnik 

czynnik 

dyfuzji

dyfuzji

 słuszne dla roztworów rozcieńczonych:

D  

T

N r

AB

B

A





531 10

7

.

R



gdzie:

 N - 

liczba Avogadro

; r

A

 - 

promień rozpuszczonych cząstek

 A; 

wszystkie parametry w wymiarach układu SI.
Z tego równania wynika, że dla pary składników tzw. 

grupa 

grupa 

dyfuzyjna

dyfuzyjna

:                      

 = const - 

jest wielko

jest wielko

ś

ś

ci

ci

ą

ą

 sta

 sta

łą

łą

.

.

AB

B

A

D

T

F













2

1

1

2

2

1





T

T

D

D

T

AB

T

AB



Zależność 

kinematycznego współczynnika dyfuzji

 w cieczach od 

temperatury z porównania tej grupy jest następująca:

Wilke

Wilke

 stwierdził, że 

grupa dyfuzyjna

grupa dyfuzyjna

 jest funkcją 

F

A

 = 

f(      )

 i 

stworzył wykres tej funkcji, na którym znajduje się wartość tej grupy 
dla szukanego układu, a następnie oblicza się szukaną wartość 

kinematycznego współczynnika dyfuzji

.

v

A

1 3

/

 

 

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez 

konwekcję masy

konwekcję masy

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Wnikanie  masy

Wnikanie  masy

  obejmuje  szeregowo  po 

sobie  następujące 

dyfuzj

dyfuzj

ę

ę

  masy

  masy

  w 

warstwie  granicznej  oraz 

konwekcj

konwekcj

ę

ę

 

 

masy

masy

 w rdzeniu płynu – ponieważ główny 

ruch 

masy 

następuje 

w 

wyniku 

makroskopowego 

przemieszczania 

się 

cząstek  –  ruchu  płynu,  a  jest  to 
spowodowane 

przez 

dostarczenie 

odpowiedniej 

energii 

(ciśnienia; 

kinetycznej)  z  zewnątrz  –  to  inna  nazwa 

wnikania 

masy

wnikania 

masy

 

brzmi 

konwekcja 

konwekcja 

wymuszona masy

wymuszona masy

. 

y

Ax

y

Az

y

A

rd

ze

ń

 f

a

zy

z

x

 

 

     

Wnikanie 

Wnikanie 

masy

masy

 

będzie  zależne  od  rodzaju  i  charakteru 

przepływu plynu. 
   
Systematyka ta przedstawia się następująco:
   

Wnikanie masy

 w przepływie:

   

A) 

wymuszonym:

•   uwarstwionym, przejściowym, burzliwym

w pustej rurze oraz przy przepływie przez wypełnienie.
   

B) 

niewymuszonym:   

•   grawitacyjnym (spływ cieczy po ścianie oraz po wypełnieniu), 

•   swobodnym (konwekcja naturalna),

•      przy  perleniu  się  gazu  lub  cieczy  przez  drugą  ciecz  (nie 
omawiane).
   

C) 

mieszanym (nie omawiane).

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

 

 

gdzie:

x

D

AB





[kmol A/m

2

s] 

- 

wspó

wspó

ł

ł

czynnik wnikania

czynnik wnikania

 

 

masy

masy

[kg A/m

2

s]

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

(

)

(

)

(

)

1

1

AB

A

Az

Ax

Az

Ax

Ax

A

przew

konw

D

N

Z

Z

Z

Z

Z

Z

x

O

O

=

-

=

-

=

-

(

) (

)

(

)

Az

Ax

Ax

A

Az

A

A

przew

A

konw

A

przew

konw

Z

Z

Z

Z

Z

Z

N O

N O

N O

O

-

+

-

=

-

=

+

=

+

Opór 

dyfuzji

dyfuzji























konw

AB

A

Az

A

O

D

x

Z

Z

N

jeśli

x

D

O

AB

konw



Szybkość 

wnikania masy

wnikania masy





A

Az

AB

A

Z

Z

x

D

N





[kmolA/m

2 

s] 

lub

[kgA/m

2 

s]

Równanie Newtona





A

Az

A

Z

Z

A

m









[kmolA/

 

s] 

lub

[kgA/

 

s]

POWTÓRZENIE - 

Siła

Siła

 nap

 nap

ę

ę

dow

dow

a

a

 

 

wnikania masy

wnikania masy

 to różnica 

stężenia 

składnika kluczowego

składnika kluczowego

 



Z

A

 

(lub 



S

.A.

) między rdzeniem 

fazy a powierzchnią międzyfazową. 

 

 

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Cytowane  poniżej  kryteria  bezwymiarowe  charakteryzujące  ruch 
masy przez

 

wnikanie masy

wnikanie masy

 

mogą być otrzymane na drodze analizy 

wymiarowej  danych  doświadczalnych,  na  podstawie  różniczkowych 
bilansów  ciągłości  przepływu  strugi  oraz  ruchu masy

, 

lub/oraz teorii 

podobieństwa

Funkcja ogólna opisująca wszystkie przypadki  ruchu masy przez

 

wnikanie

wnikanie

 

jest następująca

:



 (S; Re; Fo’; Sc; Sh) = 0 

(nie omawiane!)

. 

A dla procesów 

ustalonych

 



 (Re; Sc; Sh) = 0 . 

Bezwymiarowe moduły kryterialne mają następujące definicje:































'

AB

AB

A

l

'

D

l







1

1

Sh



















d

w

Re





























AB

AB

D

D







Sc

L

l

1











-liczba Sherwooda;

-liczba Reynoldsa;

-liczba Schmidta;

-moduł 

geometryczny

 

 

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Równanie  kryterialne  -  modułowe  opisujące  wszystkie  przypadki 

wnikania 

masy

wnikania 

masy

 

w 

przepływach

: 

A) - 

wymuszonym oraz

 B) - 

niewymuszonym jest równanie

: 

 = Re; l

1

 = d; 

wykładnik 

potęgowy

 D = 0  

A1) Ruch wymuszony burzliwy

Sh C

Sc

A

B

 Re

gdzi
e:

 































'

AB

'

A

AB

C

A

d

D

d







Sh

Sh

Sc;

Π;

1





























D

l

L

f

Równanie ogólne

gdzie:

  l

1

 

-  wymiar 

poprzeczny;

 

L - 

wymiar podłużny.

Sh 0.023

Sc

0.83

0.44



Re

Wzory szczegółowe

dla

  2  *  10

3

  <  Re  <  35  *  10

3

 

oraz  dla

 

0.6 < Sc < 2.5

Szczegółowe postaci równania kryterialnego dla przypadków  

wnikania masy

wnikania masy

 

według podziału na rodzaj i charakter przepływu

A11) Ruch wymuszony burzliwy przez 
wypełnienie

Re

z

m

F a

g

a







4

4

0





 





























'

AB

e

'

A

AB

e

C

A

d

D

d







Sh

d

a

e



4



 

 

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Szczegółowe postaci równania kryterialnego dla przypadków  

wnikania masy 

wnikania masy 

c.d.

A2) Ruch wymuszony laminarny

 = Re; l

1

 = d; 

wykładnik 

potęgowy

 D  0  

Sh C

Sc

A

B











Re

d

H

D

Wykładniki 

potęgowe 

tego 

równania:

  A;  B 

oraz

  D 

są  sobie 

równe:

  A  =  B  =  D 

i  podobnie  jak 

stala

  C 

równania  są  funkcją 

iloczynu:













H

d

Sc

Re

Wzór szczegółowy

Sh C

Sc

A

B











Re

d

H

D

13

Sc

Re















H

d

Sh 1.62

Sc

1/3

1/3











Re

/

d

H

1 3

dla:

Sh 0.5 Sc











Re

d

H

dla:

5

4

Sc

Re

.

H

d















 

 

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Sh

Sc;

Π;

1





























D

l

L

f

Równanie ogólne

gdzie:

  l

1

 

-  wymiar 

poprzeczny;

 

L - 

wymiar podłużny.

Szczegółowe postaci równania kryterialnego dla przypadków  

wnikania masy 

wnikania masy 

c.d.

B1) Spływ cieczy po ścianie pionowej

W  przypadku  pionowej  ściany  większość  spływów  cieczy  mieści  się  w 
zakresie przepływu laminarnego.

; l

1

 = 



z

; 

2100

4

Re

Π

z





































'

AB

z

'

A







z

Sh

[m]

333

0

2

2

.

z

g



























Sh C

Sc

z

B

D











Re

z

A

z

h



C = 0.725; A = 0.333; B = 
D = 0.5



a

g

Re

c

z

0



a

d

e

4



dla

B11) Spływ grawitacyjny cieczy po 
wypełnieniu

Sh

C

Sc

z

B

 Re

z

A

C; A; B – w lit.; D = 0

 

 

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

B2) wnikanie masy w konwekcji naturalnej

 = V = 



 



y

A

; l

1

 = 



z

;

 

z

A

B

M

M

M 





D

z

B

A

h

C

















Sc

V

Sh

z

A = B = i; D = 1 
- 3i

Stała C oraz wykładniki równania zależne 
od rzędu wartości iloczynu: X

-3

z

h

X

















Sc

V

 

 

Ruch masy c.d.

Przenikanie masy

Przenikanie masy









A

z

A

z

A

A

A

S

S

Z

Z

N









2

1









1



A

Az

A

N

Z

Z









2



A

A

Az

N

S

S





Rozważmy 

przenikanie masy

przenikanie masy

 między 

dwoma płynami przy założeniu, że 
przepływ masy jest ustalony. 
Przedstawmy oba stadia ruchu masy 
(oddawania i pobierania) przy pomocy 
równań (oba równania to równania 

Newtona

Newtona

 na 

wnikani

wnikani

e

e

 masy

 masy

):

Obliczając spadki stężenia w każdym z cząstkowych 
procesów otrzymamy:

Należy zsumować powyższe spadki 
stężenia aby otrzymać sumaryczną siłę 
napędową 

przenikania masy

przenikania masy

 i okazuje 

się, 

ż

ż

e nie mo

e nie mo

ż

ż

na tego zrobi

na tego zrobi

ć

ć

, 

ponieważ obliczone 

siły napędowe 

siły napędowe 

wnikania masy

wnikania masy

  po obu stronach 

powierzchni mi

powierzchni mi

ę

ę

dzyfazowej

dzyfazowej

są wyrażone inaczej (stężeniem dla fazy 

1

 oraz odpowiednio dla fazy 

2

). Korzystając natomiast z istoty 

równowagi mi

równowagi mi

ę

ę

dzyfazowej

dzyfazowej

, która 

wiąże ze sobą stężenia w obu fazach: 

2



Z

1



N

A

Z

A

Z

Az

Z*

A

S*

A

S*

Az

S

A

 

 

Ruch masy c.d.

Przenikanie masy

Przenikanie masy

A

*

A

const)

 

 

p

 

(T,

S

Z

 

K







 





































2

1

1





n

N

Z

Z

Z

Z

S

S

Z

Z

A

A

A

*

A

*

z

A

z

A

A

A

z

A

z

A

A

*

Z

Z





*

Az

A

Z

Z

k

N





















2

1

1

1





n

k

Az











































2

1

1

1





n

N

S

S

S

S

S

S

S

S

A

A

A

A

z

A

*

z

A

*

A

A

z

A

*

z

A

*

A

S

*

S





S

S

k

N

*

As

A





















2

1

1

1

1





n

k

As

Można zamienić stężenie fazy 

1

 na 

równowagowe st

równowagowe st

ęż

ęż

eni

eni

e

e

 fazy 

2

 lub odwrotnie. 

Wówczas dopiero  otrzymamy rzeczywistą siłę 
napędową przenikania masy w postaci:

lub

gdzie: 

n -

 

zamiennik st

zamiennik st

ężeń

ężeń

, który zostanie omówiony później. 

ponieważ przy zwierciadle stężenie musi być po przeliczeniu 
identyczne w obu fazach. 

*

Az

Az

S

S 

*

Az

Az

Z

Z 

lub

lub

gdzie:

lub

Po odwróceniu równania:

 

 

Ruch masy c.d.

Przenikanie masy

Przenikanie masy

Zamiennik 

Zamiennik 

st

st

ężeń

ężeń

 n:

Zamiennik st

Zamiennik st

ężeń

ężeń

 

n

 we wszystkich przypadkach (rodzajach 

przenikania masy

przenikania masy

) da się wyrazić wzorem ogólnym:

*

A

A

A

A

*

f

f

Z

S

m

Z

S

m

n













1

1

m

Z

S

A

A



d

d

*

gdzie:

-nachylenie linii równowagi 
w danym przekroju wymiennika masy.

POWTÓRZENIE - 

Siła

Siła

 nap

 nap

ę

ę

dow

dow

a

a

 

 

przenikania masy

przenikania masy

 to różnica 

stężenia 

składnika kluczowego

składnika kluczowego

  



Z

A

 

=                   

(lub 



S

A 

=

                  

          

) między rdzeniem 

fazy 1

 a rdzeniem 

fazy 2

. 

*

A

A

Z

Z 

A

*

A

S

S 

Dla przypadków 

przenikania masy (

przenikania masy (

dyfuzji

dyfuzji

)

)

 

- 1): 

oraz 3):

n m

S

Z

A

A







1

1

*

Dla przypadku 

przenikania masy (

przenikania masy (

dyfuzji

dyfuzji

)

)

 

- 2):

 

n = m

We wszystkich przypadkach, gdy stężenie jest niskie: 

n     m,

a gdy w równowadze obowiązuje prawo 

Henry’ego

Henry’ego

: 

n = H

 

 

Ruch masy c.d.

Przenikanie masy

Przenikanie masy

TOK OBLICZEŃ 

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

 

Strumień masy           wynika z ogólnego 

bilansu masowego wymiennika

bilansu masowego wymiennika

:

: 

m

A











2

1

2

2

1

1

A

A

A

A

A

S

S

Z

Z

m















gdzie: indeksy

 1 

i

 2 

określają skrajne punkty 

wymiennika -  wlot i wylot;

 



1

, 



2

 

- to 

pojemności masowe danej fazy.

pojemności masowe danej fazy.

Jeśli różnica stężenia 



Z

A

 po lewej stronie r-

nia jest dana jako 

dane technologiczne 

Przedyskutujmy wpływ 
poszczególnych parametrów 
występujących po prawej stronie 
tego równania na wielkość 

powierzchni

powierzchni

 przenikania masy

 przenikania masy

 

jaką należy rozwinąć w wymienniku 
aby założona ilość masy się 
wymieniła.

Zaprojektować  wymiennik  masy  to  obliczyć  jego 

powierzchni

powierzchni

ę

ę

 

 

wymiany  masy

wymiany  masy

 

A

  z  odwróconego  równania

  Newtona

  Newtona

  na 

strumień

strumień

 

 

przenika

przenika

jącej

jącej

 masy

 masy

:

A

m

k

A

A

A









im

A

im

A

A

S

S

Z

Z













Moduł napędowy 
przenikania masy 
zgodny z definicją

                                     to kształt nawiasu 
(kolejność stężenia w różnicy) po prawej 
stronie r-nia jest kwestią wzajemnego 
przepływu faz. 

przeciwprąd

(2)

(1)



2

 



1

 

Z

A2

S

A2

S

A1

Z

A1

x

współprąd

(1)

(2)



2

 



1

 

Z

A1

Z

A2

S

A2

S

A1

x

 

 

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ 

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

I wymiarowo

:





2

1

]

[kg

]

[kg

A

A

Z

Z

s

/

i

s

/

A





Przez 

jaki wymiar stężenia

 należy 

pomnożyć prawą stronę równania aby 
wymiary obu stron równania były 
zgodne?

 





]

[kg

]

[kg

s

/

i

s

/

A

]

[?









2

1

2

2

1

1

A

A

i

A

A

i

A

S

S

m

Z

Z

m

m















[kgA/s]

Dla

 

przenikania masy (

przenikania masy (

dyfuzji

dyfuzji

)

)

 

- 1): 

oraz

 3) - 

w tym przypadku 

jedynie 

przep

przep

ł

ł

yw masowy inertów

yw masowy inertów

 jest stały na drodze przez 

wymiennik i staje się dogodną wartością odniesienia. Ułóżmy 
następujące, szczegółowe równanie

 

bilans

bilans

u masy

u masy

:

Przez

  p

  p

ojemno

ojemno

ść

ść

  masow

  masow

ą

ą

 

należy  rozumieć  takie  natężenie 

przepływu: całości danej fazy lub takiej jej części - aby parametr ten 

był stały!

 na drodze przez wymiennik. 

Rozważmy  przypadki  szczególne,  zależne  od  rodzaju 

przenikania

przenikania

 

(dyfuzji)

(dyfuzji)

 

masy

masy

: