Wykład 3
Wybór w sytuacji
niepewności
Wykład 3
Wybór w sytuacji
niepewności
Wybór w sytuacji
niepewności
• Podstawowy model wyboru w
sytuacji ryzykownej
• Przekształcenia psychologiczne
na wartościach
• Paradoksy Allaisa
PODSTAWOWY MODEL
WYBORU W WARUNKACH
RYZYKA
Racjonalne zachowanie
Maksymalizacja wartości oczekiwanej
(XVII wiek - Pascal)
Średni wynik w tescie IQ
Średnia: (0 * 0 + 10 * 1 + ....+ 100 * 1)/N
Maksymalizacja średniego
zysku (EV)
(decyzje wielokrotne, np. gry hazrdowe)
100 rzutów
Orzeł +1 zł
Reszka -1 zł
Średnia:[(-100 * 0.01) + (-80 * 0.05)... + ....+ ....(+ 100 *
0.01)]/N=100
Maksymalizacja średniego
zysku
(decyzje wielokrotne, np. gry hazrdowe)
Orzeł +1 zł
Reszka -1 zł
Średnia:[(-100 * 0.01) + (-80 * 0.05)... + .... +...
(+ 100 * 0.01)]
EV = (WARTOŚĆ WYNIKU * PRAWDOPODOBIEŃSTWO)
Maksymalizacja wartości
oczekiwanej (EV)
(wybór jednorazowy)
• Gra 1: [orzeł, +1pln; reszka, -1pln]
EV(G1) = [(1/2 * +1) + (1/2 * -1)] = 0
• Gra 2: [orzeł, +2pln; reszka, -2pln]
EV(G2) = [(1/2 * +2) + (1/2 * -2)] = 0
• Gra 3: [orzeł, +2pln; reszka, -1pln]
EV(G3) = [(1/2 * +2) + (1/2 * -1)] = +0.5
EV = (WARTOŚĆ WYNIKU * PRAWDOPODOBIEŃSTWO)
MODEL WARTOŚCI
OCZEKIWANEJ
WARTOŚĆ =
OCZEKIWANA
(WARTOŚĆ WYNIKU *
PRAWDOPODOBIEŃSTWO)
- Dla każdego możliwego wyniku obliczmy taki
iloczyn
- Iloczyny sumujemy
Wybór w sytuacji
niepewności
•
Podstawowy model wyboru w sytuacji
Podstawowy model wyboru w sytuacji
ryzykownej
ryzykownej
• Przekształcenia psychologiczne na
wartościach
• Paradoksy Allaisa
• Próba wyjaśnienia paradoksów Allaisa
Przekształcenia
psychologiczne na
wartościach
• Paradoks petersburski
• Wyjaśnienie Bernoulli’ego –
pojęcie użyteczności
• Użyteczność pieniędzy
Paradoks Petersburski
• Rzucamy monetą, aż do momentu
wypadnięcia orła
• Wypłata to 2
n
• n – liczba rzutów do momentu
wypadniecia orła
• Np. orzeł wypadł za pierwszym razem,
n=1,
wypłata 2
1
=2,
za drugim razem n=2, wypłata 2
2
=4, itd.
Paradoks Petersburski
• Suma (p
1
*2PLN + p
2
*4PLN + p
3
*8PLN + ... +
p
n
*2
ⁿ
PLN)
od 1 do nieskończonosci
• Każdy iloczyn jest równy 1
• Ilość iloczynów jest nieskończona
p
1
= 0.50, czyli 0.50*2 + 0.50*0 = 1
p
2
= 0.25, czyli 0.25*4 + 0.75*0 = 1 ... itd.
• EV tej gry jest wobec tego wartością nieskończoną
• Eksperymentalnie wykazano, że ludzie chcą płacić za
udział w tej grze około 2.50
Wyjaśnienie Bernoulliego –
przekształcenia psychologiczne na
wartości
•
Ludzie nie posługują się wartością obiektywną,
ale jej subiektywną oceną - użytecznością
•
Ocena subiektywna zależy od stanu posiadania
-
dla biednego 100PLN jest warte więcej niż dla
bogatego
-
apetyt rośnie w miarę jedzenia
•
Takie przekształcenia psychologiczne na
wartości opisuje funkcja logarytmiczna
Wyjaśnienie Bernoulliego (1738) –
przekształcenia psychologiczne na
wartości
Pojęcie użyteczności
WARTOŚĆ
= (
WARTOŚĆ
WYNIKU *
PRAWDOPODOBIEŃSTWO)
OCZEKIWANA
przekształcenia psychologiczne
UŻYTECZNOŚĆ
=
(
UŻYTECZNOŚĆ
WYNIKU*PRAWDOPODOBIEŃSTWO)
OCZEKIWANA
Bernoulli (1954)
Zastosowanie obserwacji
Bernoulliego do percepcji
• Zmniejszająca się wrażliwość na zmiany w
natężeniu bodźca:
- promyk światła w ciemności
- dodatkowa 100-watowa żarówka na sali
balowej
• Prawo Webera-Fechner (1860): odczuwana
zmiana w stosunku do rzeczywistej zmiany
jest opisywana przez funkcję logarytmiczną
• Prawo Stevensa
Malejąca użyteczność a
stosunek do ryzyka
Oczekiwana
użyteczność w
sytuacji pewnej
• +100, 100%
• EV = 100 * 1=100
• EU = u(100)*1
Oczekiwana
użyteczność zakładu
o tym samym EV
• +200, 50%, vs 0,50%
• EV = 200*½ + 0* ½
=
100
• EU = u(200)* ½
u(100)*1=a większe niż
u(200)*½= ½ b
a
b
Malejąca użyteczność a
stosunek do ryzyka
Oczekiwana
użyteczność w
sytuacji pewnej
EU = u(100)*1=a
Oczekiwana
użyteczność zakładu
o tym samym EV
EU = u(200)* ½= ½b
Zgodnie z ogólnym prawem – malejącej wrażliwości na zmianę bodżca
wraz ze wzrostem wartości:
użyteczność wyniku pewnego jest zawsze wyższa niż
użyteczność zakładu
Prawo zmniejszającej się
wrażliwości na zmianę bodzca
a ryzyko
Zgodnie z ogólnym prawem
malejącej wrażliwości na zmianę bodżca
wraz ze wzrostem wartości
użyteczność wyniku pewnego
jest zawsze wyższa niż
użyteczność zakładu
racjonalne
zachowanie
to maksymalizacja
oczekiwanej
użyteczności
wybór pewności
unikanie ryzyka
MODYFIKACJE MODELU
WARTOŚCI OCZEKIWANEJ
(1)
WARTOŚĆ
= (
WARTOŚĆ
WYNIKU *
PRAWDOPODOBIEŃSTWO)
OCZEKIWANA
przekształcenia psychologiczne
(prawo Fechnera-Webera)
UŻYTECZNOŚĆ
=
(
UŻYTECZNOŚĆ
WYNIKU*PRAWDOPODOBIEŃSTWO)
OCZEKIWANA
Bernoulli (1954); Stevens (1959)
Wybór w sytuacji
niepewności
•
Podstawowy model wyboru w sytuacji
Podstawowy model wyboru w sytuacji
ryzykownej
ryzykownej
•
Przekszta
Przekszta
łcenia psychologiczne na
łcenia psychologiczne na
wartściach
wartściach
• Paradoksy Allaisa
• Próba wyjaśnienia paradoksów Allaisa
Co byś wybrał?
A: +4000, 80%, B: +3000, 100%
0, 20%
Co byś wybrał?
C: +4000, 20%,
D: +3000, 25%
0, 80%
0, 75%
Paradoksy Allaisa (1953)-
ł
amanie zasady common ratio
A: +4000, 80%,
B: +3000, 100%
0, 20%
• Ludzie wybierają B
C: +4000, 20%,
D: +3000, 25%
0, 80%
0, 75%
• Ludzie wybierają C
Paradoksy Allaisa (1953)-
ł
amanie zasady common ratio
A: +4000, 80%
0, 20%
B: +3000,
100%
C: +4000, 20%
0, 80%
D: +3000, 25%
0, 75%
u(3000) * 1.00 większe niż u(4000) * 0.80
Wybór B
Wybór C
u(3000) * 0.25 mniejsze niż u(4000) * 0.20
Paradoksy Allaisa - ł
amanie
zasady common ratio
• Wybór B
u(3000) * 1.00 większe u(4000)
* 0.80
• Wybór C
u(3000) * 0.25 mniejsze u(4000)
* 0.20
obie strony mnożymy przez 4
Paradoksy Allaisa - ł
amanie
zasady common ratio
• Wybór B
u(3000) * 1.00 większe u(4000) *
0.80
• Wybór C
u(3000) * 0.25 mniejsze u(4000) *
0.20
obie strony mnożymy przez 4
u(3000) * 0.25 * 4 mniejsze u(4000) * 0.20 * 4
u (3000) * 1.00 mniejsze u(4000) * 0.80 !!!!
Paradoksy Allaisa - ł
amanie
zasady common ratio
•
Wybór B
u(3000) * 1.00 większe u(4000)
* 0.80
•
Wybór C
u(3000) * 0.25 mniejsze u(4000) *
0.20
obie strony mnożymy przez 4
u(3000) * 0.25 * 4 mniejsze u(4000) * 0.20 * 4
u (3000) * 1.00 mniejsze u(4000) * 0.80 !!!!
Uproszczony przykład - łamanie
zasady common ratio
u(Paryż, 6 dni) większa niż (Berlin, 6
dni)
• powinno być:
u(Paryż, 3 dni) większa niż (Berlin, 3 dni)
• pardoks Allaisa jest:
u(Paryż, 3 dni) mniejsza niż (Berlin, 3
dni)
Co byś wybrał?
A: +5000, 10%
B: +1000,
100%
+1000, 89%
0, 1%
Co byś wybrał?
C: +5000, 10%
D: +1000, 11%
0, 90%
0, 89%
Paradoksy Allaisa (1953) -
ł
amanie zasady wspólnych
konsekwencji
A: +5000, 10%
B: +1000, 100%
+1000, 89%
0, 1%
• Większość ludzi wybiera B, ze względu na 1%
na wynik 0 w przypadku A
C: +5000, 10%
D: +1000, 11%
0, 90% 0, 89%
• Większość ludzi wybiera C, lekceważąc fakt,
że prawdopodobieństwo wygrania jest
mniejsze o 1%, ponieważ tutaj kierują się
wielkością wygranej
Paradoksy Allaisa - ł
amanie
zasady wspólnych
konsekwencji
A: +5000, 10%
+1000, 89%
0, 1%
C: +5000, 10%
0, 89%
0, 1%
B: +1000, 10%
+1000, 89%
+1000, 1%
D: +1000, 10%
0, 89%
+1000, 1%
Paradoksy Allaisa - ł
amanie
zasady wspólnych
konsekwencji
A: +5000, 10%
+1000, 89%
0, 1%
C: +5000, 10%
0, 89%
0, 1%
B: +1000, 10%
+1000, 89%
+1000, 1%
D: +1000, 10%
0, 89%
+1000, 1%
Uproszczony przykład - ł
amanie
zasady wspólnych
konsekwencji
A:
Paryż, 10%
Berlin, 89%
0, 1%
C:
Paryż, 10%
0, 89%
0, 1%
B: Berlin, 10%
Berlin,
89%
Berlin, 1%
D: Berlin, 10%
0, 89%
Berlin, 1%
Pytania i ćwiczenia do
paradoksów Allaisa
Proszę uważnie przeczytać
przykład
VACATION PACKAGES
Which do you choose?
• A1: A lottery ticket
that gives you:
- a 50% chance of
winning a 3-week
trip to England,
France, and Italy
• 50% chance of
getting nothing
• A2: Simply a
guaranteed one-
week trip to England
Now which do you choose?
• B1: A lottery ticket that
gives you:
- a 5% chance of winning a
3-week trip to England,
France, and Italy
- a 95% chance of getting
nothing
• B2: A lottery ticket that
gives you:
- a 10% chance of winning
a one-week trip to
England
- a 90% chance of getting
nothing
Teraz proszę go zapisać
symbolicznie,
tj. zostawić tylko nagrody i
szanse
Proszę się uważnie przyjrzeć
temu zapisowi – co można
zaobserwować?
VACATION PACKAGES
• A1:
-
50%, 3 tyg. A, F,
W
- 50%, 0
• A2:
-
100%, 1 tydz. A
• B1:
- 5%, 3 tyg. A, F, W
- 95%, 0
• B2:
- 10%, 1 tydz. A
- 90%, 0
VACATION PACKAGES
Większość ludzi wybiera:
- 1-tygodniową wycieczkę do Anglii,
która jest pewna (A2) – pierwszy
wybór,
- ale 3-tygodnie w Anglii, Francji i
Włoszech (B1) – drugi wybór
Czy patrząc na swój symboliczny
zapis rozumiesz, gdzie jest
problem?
VACATION PACKAGES
• This choice pattern simply contradicts
any application of Decision Theory and
the Rational Expectations Principle
- see if you can find any numbers to
represent your desires for each
outcome (e.g., 0 for nothing, 1 for the
1-week tour, 3 for the 3-week tour) and
could explain these choices.
- You can't.
Independence Axiom
Kolejny slajd ilustruje znany
aksjomat (zasadę) – podaj na
podstawie wykładu jej polską
nazwę oraz przykład niezgodnych
z tym aksjomatem wyborów
Proszę podać przykład wyborów
niezgodnych z tym aksjomatem
Paradoks Allaisa i
Ellsberga
Dwa kolejne slajdy ilustrują
dwa słynne paradoksy
Dlaczego wybory badanych są
paradoksalne?
Paradoksy Allaisa - ł
amanie
zasady wspólnych
konsekwencji
A:
1 milion, 89%
1 milion, 11%
C:
0, 89%
1 milion, 11%
B:
1 milion, 89%
11%
_________________________
0 10%
2.5 mil. 90%
D:
0,
89%
11%
__________________________
0 10%
2.5 mil. 90%
Dlaczego wybór I i IV uznajmemy za
paradoks?
Jeśli odpowiedziałeś(aś) na
poprzednie pytania, to:
Zastanów się czy te dwa
paradoksy iluustrują łamanie
tej samej zasady, czy dwóch
różnych zasad?