Zmienne losowe i ich rozkłady 

teoretyczne

• Zmienne i ich rodzaje
• Rozkład empiryczny a teoretyczny
• Zmienne losowe
• Funkcje opisujące rozkład zmiennej 

losowej

• Parametry rozkładu zmiennej losowej

 

 

Zmienne  to  wielkości  (parametry,  cechy),  które 

mierzymy, 

kontrolujemy 

lub 

którymi 

manipulujemy w trakcie badań. 

Ogólnie  zmienne  zaliczamy  do  jednej  z  dwóch 

kategorii:

1.      zmienne zależne (dependent variable)
2.      zmienne niezależne (independent variable)

Niezależnymi  nazywamy  takie  zmienne,  których 

wartości  możemy  dobierać  i  zmieniać  w 

doświadczeniu  (są  to  zmienne  manipulowane 

przez badacza). 

Zmienne  zależne  mogą  być  jedynie  mierzone  lub 

rejestrowane przez badacza, nie ma on wpływu na 

to jakie wartości przyjmują. 

 

 

Rozkład empiryczny a 

teoretyczny

Jednym z podstawowych pojęć statystyki jest pojęcie 

rozkładu. 

Mówimy o rozkładzie pewnej cechy w określonej populacji, to znaczy
  sposobie  przypisywania  wartości  cechy  poszczególnym  elementom 

populacji.

Przykłady
Intuicyjnie możemy wytłumaczyć pojęcie rozkładu dość jasno. Jeśli wśród
  ludzi  połowę  stanowią  mężczyźni,  a  połowę  kobiety,  liczby  te 

przedstawiają

 właśnie rozkład cechy „płci” w populacji. Jeśli zawałowi serca ulega 20% 
dorosłych Polaków, to cecha „zapadalność na zawał” ma rozkład 20%:80%. 

Jeśli  z  kolei  rozpatrujemy  cechę  „wykształcenie”  i  przyjmiemy  trzy 

kategorie:

 wyższe, średnie, mniej niż niższe, to cecha ta ma w populacji dorosłych
 Polaków rozkład 9%:23%:68%.

 

 

Rozkład  otrzymany  na  podstawie  badania 

populacji  lub  jej  części  nazywamy  rozkładem 

empirycznym (z populacji lub próby). 

Oczywiście  istnieją  też  rozkłady  teoretyczne  – 

przykłady  to  rozkłady  normalne,  dwumianowy 

czy Poissona.

Podstawową  cechą  rozkładów  teoretycznych 

jest to, że wyrażają się one przez ściśle określone 

formuły  matematyczne.  Formuły  te  pozwalają 

badać  własności  rozkładów  oraz  wypisywać 

tablice odpowiednich prawdopodobieństw. 

Dla  nas  najważniejszą  właściwością  rozkładów 

teoretycznych jest zgodność rozkładu wielu cech 

w rzeczywistych populacjach z owymi rozkładami 

teoretycznymi.

 

 

Rozkłady  teoretyczne  są  dobrze  przebadane  i 

w  pewnym  sensie  wiemy  o  nich  wszystko,  a  w 

każdym razie wszystko, co nas interesuje. 

Ustalenie  zatem,  że  dana  cecha  ma  rozkład 

zbliżony  do  rozkładu  teoretycznego,  pozwala 

zastosować  do  niej  naszą  wiedzę  o  tymże 

rozkładzie.

Mówiąc  o  rozkładach,  dotykamy  jeszcze  jednej 

ważnej 

kwestii, 

mianowicie 

porównania 

populacji. 

Ogólną 

ideą 

wielu 

testów 

statystycznych  jest  sprawdzanie,  czy  dwa  dane 

rozkłady tej samej cechy w różnych grupach są 

tożsame.  Na  ogół  interesująca  jest  odpowiedź 

negatywna  (rozkłady  są  różne),  co  świadczy  o 

zróżnicowaniu zjawiska. 

 

 

Pojęcie zmiennej losowej i jej rodzaje

Zmienna losowa jest to funkcja przyporządkowująca 
wartości liczbowe wynikom doświadczenia losowego 
(zdarzeniom elementarnym). 
Z wartościami zmiennej losowej związane są 
określone prawdopodobieństwa, stąd mówi się 
również, że zmienna losowa jest to taka zmienna, 
która przybiera różne wartości z różnymi 
prawdopodobieństwami.

Wyróżniamy zmienne losowe:
- skokowa (dyskretna),
- ciągła.

 

 

W celu wyjaśnienia pojęcia zmiennej losowej 

rozważmy przykład doświadczenia polegającego 

na rzucie kostką sześcienną. 
Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór 

ścianek 

E={e

1

, e

2

, e

3

, e

4

, e

5

, e

6

}

Każdemu zdarzeniu elementarnemu 

przyporządkowujemy liczbę oczek na ściance. 
Otrzymamy wtedy zbiór 

X={1, 2, 3, 4, 5, 6}

 

przyporządkowany zbiorowi E.

Zmienne losowe mogą mieć jednakowe zbiory 

możliwych wartości, ale prawdopodobieństwa 

tych wartości mogą być różne. Każdej możliwej 

wartości zmiennej losowej X przyporządkowane 

jest określone prawdopodobieństwo (P), tak 

P(x

i

) = p

i

 

 

Zmienna  losowa  skokowa  (dyskretna)

  -  jest  to  zmienna 

przyjmująca  skończoną  lub  co  najwyżej  przeliczalną 
liczbę  wartości.  Zmienna  taką  jest  na  przykład  rzut 
monetą,  rzut  kostką,  dobowa  liczba  urodzeń,  liczba 
małżeństw  w  Polsce,  wydajność  pracy  robotnika 
mierzona w sztukach wyrobów na godzinę.

P

i

 = P(X=x

i

)

, co oznacza prawdopodobieństwo, że zmienna 

losowa X przyjmie konkretną wartość x

i

,

 

np.. P(x=5)

Zmienna losowa ciągła

 - jest to zmienna, której zbiór 

możliwych do realizacji jest nieskończony i 
nieprzeliczalny, czyli może przyjmować wartości z 
pewnego przedziału liczbowego. Zmienną taką jest na 
przykład wzrost, waga, wiek poszczególnych osób, 
grubość arkuszy blachy.

P

i

 = P(X=x

i

)=0, ale p

i

=0<P(x

1

<X<x

2

)<1

, co oznacza, że 

wartości zmiennej losowej X znajdują się w przedziale 
od x

1

 do x

2

 

 

Funkcje opisujące rozkład zmiennej losowej

Do funkcji opisujących rozkład zmiennej losowej należą:
- funkcja rozkładu prawdopodobieństwa, 
- dystrybuanta dla zmiennej losowej,
- funkcja gęstości.

Niezależnie od typu, każdą zmienną losową X można 
jednoznacznie określić za pomocą teoretycznej 
dystrybuanty.

Dystrybuanta zmiennej losowej X nazywamy funkcje 

F(x),  zmiennej rzeczywistej x, określonej jako

F(x)=P(X<x)

 

 

Tak 

zdefiniowana 

dystrybuanta 

ma 

następujące 

własności:



0≤F(x)≤1

 F(x) jest funkcją niemalejącą

 F(x) jest funkcją przynajmniej lewostronnie ciągłą

oraz

W wielu praktycznych przypadkach dystrybuanta F(x) 

jest  różniczkowalna  i  istnieje  funkcja  f(x)=dF(x)/dx, 

zwana  gęstością  prawdopodobieństwa  zmiennej 

losowej X.

0

)

(

lim









x

F

x

0

)

(

lim







x

F

x

 

 

Parametry rozkładu zmiennej losowej

Rozkład zmiennej losowe, podobnie jak empiryczny 

rozkład cechy można scharakteryzować za pomocą 

parametrów rozkładu:

-

moment zwykły rzędu k zmiennej losowej,

-

moment zwykły rzędu pierwszego (wartość 

oczekiwana),

-

moment centralny rzędu k zmiennej losowej,

-

moment centralny rzędu pierwszego  i drugiego 

(wariancja),

-

współczynnik asymetrii,

-

współczynnik skupienia,

-

mediana zmiennej losowej X to wartość Me spełniająca 

nierównośći 

P(X≤Me)≥0,5 i P(X ≥Me) ≥0,5

-

kwantyl rzędu p zmiennej losowej X to wartość K

p 

spełniajaca nierówność 

P(X≤ K

p

)≥p i P(X ≥ K

p

) ≥1-p, 

0<p<1