Elementy wnioskowania 

statystycznego

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Zmienna losowa

Jeżeli każdemu zdarzeniu 

elementarnemu przyporządkujemy 

liczbę rzeczywistą, to mówimy,

 że została określona zmienna 

losowa jednowymiarowa. 

Zmienna losowa Y

• P(Y = -1) = P({: Y() = -1}) = P({

1

, 

2

, 

3

}) =

• P(Y = 0) = P({: Y() = 0}) = P({

4

}) = 

• P(Y = 1) = P({: Y() = 1}) = P({

5

, 

6

}) = 

 

2

1

6

3



6

1

3

1

6

2



Rozkład 

prawdopodobieństwa 

zmiennej losowej X

   jest funkcją, która każdemu 

podzbiorowi 

możliwych

 wartości 

tej zmiennej przypisuje liczbę

  z domkniętego przedziału [0,1]

   Najczęściej spotykanym 

rozkładem jest rozkład normalny. 
Według jego postaci kształtują 
się rozkłady większości zjawisk 
ekonomicznych, przyrodniczych i 
społecznych. Zadany jest on 
funkcją uzależnioną od dwóch 
parametrów: średniej

   i odchylenia standardowego.  

Pojęcia podstawowe

• Populacja

• Próba losowa (reprezentatywność 

próby)

• Błąd z próby (odchylenie 

charakterystyk z próby w stosunku do 
charakterystyk z populacji)

• Charakterystyki próby     ~    statystyki próby
• Charakterystyki populacji  ~  parametry 

populacji

Parametry populacji są stałe. Statystyki mają

charakter losowy i zmieniają się z próby na 

próbę.

Testy statystycznej 

istotności

• Badając różnice między 

statystykami jednej próby a 
parametrami populacji stosujemy 
test dla jednej próby 

• Badając statystyki z dwóch prób 

stosujemy test dla dwóch prób 
(test chi-kwadrat)

Przykład

•Kolokwium ze statystyki pisało 

17 osób. Można było uzyskać od 
0 do 30 punktów.Średnia 
arytmetyczna dla grupy 
wyniosła 20 punktów

  a odchylenie standardowe 3,5 

punktu   (µ = 20, σ = 3,5).

Próba

• Wylosowane do próby cztery osoby 

uzyskały następującą liczbę punktów 
z kolokwium:

18,  21,  22,  25

.

  

5

,

21



X

Hipotezy

• Hipoteza zerowa

H

0 

:

 

• Hipoteza alternatywna

H

1 

:

 





X





X

Weryfikacja hipotezy 

zerowej

•Błąd I rodzaju-błąd

 

   odrzucenie hipotezy zerowej chociaż jest 

prawdziwa

•Błąd II rodzaju-błąd

   

przyjęcie hipotezy zerowej chociaż jest fałszywa





Poziom istotności testu

• Prawdopodobieństwo popełnienia błędu 

   I rodzaju przyjmuje się arbitralnie 

przed przystąpieniem do badań. 

Ustalając ryzyko odrzucenia hipotezy 

zerowej

chociaż jest ona prawdziwa ustalamy

poziom istotności testu. 

Poziomy istotności testu

Poziom 

istotności 

Obszar 

krytyczny od z



0,05

1,96

0,01

2,58

0,001

3,29

Statystyka testu

N

X

z









Statystyka testu

N

X

z









4

5

,

3

20

5

,

21 



Statystyka testu

86

,

0



z

  
•  jeżeli          < z

α

, to nie ma podstaw do 

odrzucenia

 hipotezy zerowej

•  jeżeli                z

α

,   wówczas odrzucamy

 hipotezę zerową

z



z

Wniosek

•0,86 < 1,96

•Przyjmujemy, że różnica 

pomiędzy wielkością statystyki 
próby (21,5)

  a wielkością parametru (20) 

wynika z błędu próby.

Rozkład 

Normalny

Rozkład normalny jest charakterystyczny dla 
dowolnego zbioru wartości, na które działa wiele 
niezależnych i jednakowo ważnych czynników 
przypadkowych, z których żaden nie jest 
dominujący. 

Rozkład normalny

Rozkład zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a jest 
najczęściej spotykanym rozkładem zmiennej 
losowej ciągłej.

 

Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma 
rozkład normalny o wartości oczekiwanej 
μ i odchyleniu standardowym σ 









,

~N

X

Rozkład prawdopodobieństwa w przypadku 
zmiennej losowej ciągłej nosi nazwę rozkładu 
(funkcji) gęstości.























2

2

2

2

1

)

(









x

e

x

f

Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym  

postaci:

określona została dla wszystkich rzeczywistych 

wartości zmiennej X, gdzie e = 2,72…, π = 

3,14…

0

0,5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

N(0,1)
N(3,1)
N(0,2)
N(3,2)

Przykładowe rozkłady funkcji gęstości dla 
danych μ i σ 

Funkcja gęstości w rozkładzie 
normalnym:

- jest symetryczna względem prostej x 
= 



 

- w punkcie x = 



 osiąga wartość 

maksymalną
- kształt funkcji gęstości zależy od 

wartości
  parametrów: 



 i σ. Parametr 



 

decyduje o
  przesunięciu krzywej, natomiast 

parametr σ
 decyduje o „smukłości” krzywej.

Reguła „trzech sigm” - jeżeli zmienna losowa ma 
rozkład normalny to:

- 68,3 % populacji mieści się w przedziale (



 - σ; 



 

+ σ)

- 95,5 % populacji mieści się w przedziale (



 - 2σ; 



 + 2σ)

- 99,7 % populacji mieści się w przedziale (



 - 3σ; 



 + 3σ)

W celu obliczenia 

prawdopodobieństwa

 zmiennej X w rozkładzie 

normalnym

o dowolnej wartości oczekiwanej μ

i odchyleniu standardowym σ 

dokonuje się standaryzacji.

Zmienną losową X zastępujemy zmienną 

standaryzowaną Z, która ma rozkład N(0,1) 









x

z

Standaryzacja polega na sprowadzeniu 

dowolnego rozkładu normalnego o danych 

parametrach 



 i σ do rozkładu 

standaryzowanego (modelowego) o wartości 

oczekiwanej 



 = 0 i odchyleniu standardowym σ 

= 1.

Wartości dystrybuanty 

standaryzowanego rozkładu 

normalnego  zostały 

stablicowane

Przykład

Poziom inteligencji mierzony jako współczynnik
inteligencji IQ jest zmienną o rozkładzie normalnym.
Zmienna ta jest mierzona w skali od 0 do 200,
ze średnią równą 100 i odchyleniem standardowym
13 lub 14 w zależności od wieku.

Student A uzyskał 115 punktów, dla uproszczenia

przyjmujemy odchylenie standardowe równe 10 

punktów.

Ile osób ma szansę uzyskać lepszy wynik, a ile osób 

gorszy ?

Własności rozkładu 

normalnego

• Pole pod krzywą normalną jest równe 

1,0 (odpowiada wszystkim osobom o 

określonej charakterystyce)

• Rozkład normalny jest rozkładem 

symetrycznym (prawdopodobieństwo 

wylosowania osoby,
której IQ jest niższe od średniej wynosi 0,5,
tyle samo co prawdopodobieństwo 

wylosowania osoby o IQ wyższym od 

średniej).

Student A uzyskał 115 
punktów

•                       115 – 100 = 15

• Standaryzacja   

• Uzyskany wynik znajduje się na prawo 

od średniej arytmetycznej, w odległości 
1,5 odchylenia standardowego od tej 
średniej.                       







x

5

,

1

10

15











x

Student A wyniki

•0,5 + 0,4332 = 0,9332  

93,32 %

•0,0668

       6,68 

%

Student B uzyskał 80 
punktów

•                       80 – 100 = -20

• Standaryzacja   

• Uzyskany wynik znajduje się na lewo 

od średniej arytmetycznej, w odległości 
dwóch odchyleń standardowych od tej 
średniej.                       







x

0

,

2

10

20















x

Student B wyniki

•0,0223      2,23 %

•0,4772 + 0,5 = 0,9772       

97,72 %

Obszar krytyczny

- z





 z



Test dwustronny

•     - z

 

< z <  z



  

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

•    z < - z

 

lub  z >  z



  

                        
odrzucamy H

0



 z



Test prawostronny

•     

 

z <  z



  

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

•      z    z



       

odrzucamy H

0

                        



 -z



Test lewostronny

•     

 

z >  -z



  

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

•      z    -z



       

odrzucamy H

0

                        

Rozkład średnich z próby

Jeżeli jakaś zmienna (x) ma rozkład normalny w 

populacji,

 z której dobieramy szereg prób o tej samej 

liczebności (N), to:

• rozkład średnich z próby będzie rozkładem 

normalnym;

• średnia rozkładu średnich z próby, czyli 

średnia średnich        , będzie równa średniej z 

populacji ,

    z której te próby zostały dobrane;
• odchylenie standardowe rozkładu średnich z 

próby
 będzie równe   =         

(błąd standardowy średniej)

X

x

N



Centralne twierdzenie 

graniczne

Jeżeli dobieramy próby losowe o 
liczebności N z populacji o dowolnym 
rozkładzie o parametrach µ i , to 

wraz ze wzrostem N, rozkład średnich 
dąży
do rozkładu normalnego o średniej µ

   i odchyleniu standardowym             .

N



Jeżeli liczebność 

próby jest 

dostatecznie duża, 

możemy pominąć 

założenie o 

normalności rozkładu 

w populacji.

•N ≥ 100 –zawsze można znieść 

założenie normalności 

rozkładu

;

•50 ≤ N < 100 - prawie zawsze;

•30 ≤ N < 50 – z wielką 

ostrożnością;

• N < 30 - nigdy