Wykład 4: Podstawy wnioskowania
statystycznego
Biometria i
Biostatystyka
Wykład 4: Podstawy wnioskowania
statystycznego
Biometria i
Biostatystyka
Wnioskowanie
statystyczne
Dwa fundamentalne pytania dotyczące
statystyki, na które badacze muszą
niejednokrotnie odpowiadać:
Jak wiarygodne są wyniki?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że
różnica między obserwowanymi
wynikami a spodziewanymi na podstawie
hipotezy jest dziełem przypadku?
Wnioskowanie
statystyczne
Na pytanie o wiarygodność
odpowiadamy wyznaczając przedziały
ufności dla statystyk obliczanych na
podstawie próby.
Udzielenie odpowiedzi na drugie pytanie
wymaga testowania hipotez.
Nasze wnioski są wspierane przez
rachunek prawdopodobieństwa.
Obydwa zagadnienia są elementami
wnioskowania statystycznego.
Wnioskowanie
statystyczne
Wnioskowanie odbywa się na podstawie
otrzymanej na drodze próbkowania funkcji
gęstości statystyki.
Funkcja gęstości pokazuje rozkład prawdopodobieństwa
statystyki powstały przy wielokrotnych powtórzeniach
wnioskowania na podstawie losowych próbek danych.
Wnioskowanie statystyczne zakłada, że dane
pochodziły z prostej próby losowej.
Jeśli to nieprawda, Twoje wnioski mogą zostać
zakwestionowane.
Próby losowe
Próbą (próbką) losową
nazywa się zbiór
elementów pobranych z populacji w taki
sposób, że przed jej pobraniem każdy
element populacji ma te same szanse (to
samo prawdopodobieństwo) dostania się do
próby.
Próbę losową nazywa się
prostą
, jeżeli w
trakcie losowania szanse dostania się do
próbki każdego elementu nie zmieniają się.
Próby losowe
Próbkę losową prostą otrzymuje się przez
zwracanie wylosowanych elementów do
populacji. Jako próbkę losową prostą uważa
się w praktyce próbkę, której liczność jest
znacznie mniejsza od liczby elementów w
populacji i można uważać, że wylosowane
elementy nie zmieniają składu populacji.
Estymator
Estymatorem
nazywa się statystykę służącą
za podstawę do oszacowania nieznanego
parametru.
Przykład. Nieznanym parametrem populacji jest
średnia μ, jako estymator tej średniej mogą
służyć statystyki: średnia z próbki, mediana
próbki, średnia z wartości skrajnych itp..
Estymator zgodny
Estymator U
n
parametru Q nazywa się
estymatorem zgodnym
, jeśli zachodzi
związek:
który oznacza stochastyczną zbieżność ciągu
U
n
do wartości parametru Q, gdy liczność
próbki n rośnie.
0
lim
Q
U
P
n
n
Estymator nieobciążony
Estymator U parametru Q nazywa się
estymatorem nieobciążonym
, jeśli wartość
oczekiwana E(U) jest równa wartości
parametru Q.
Q
U
E
)
(
Efektywność estymatora
Efektywnością
nieobciążonego estymatora U
parametru Q nazywa się stosunek minimalnej
wariancji w danej klasie estymatorów do
wariancji rozpatrywanego estymatora.
Efektywność wyraża się za pomocą liczby
zawartej między zerem a jednością.
Estymator najefektywniejszy to estymator U
parametru Q o wartości efektywności równej
jedności.
Rozkład i wariancja średniej
Dane: wzrost. Populacja: studenci AEI
Wartość średnia μ = 176.16 cm, σ =
9.86
Rozkład i wariancja średniej
Losowo wybrane próby 10 pomiarów:
x =[158 176 188 155 188
170 177 171 173 183];
średnia 173.9
y=[180 181 163 182 178
171 175 168 158 193];
średnia 174.90
Rozkład i wariancja średniej
Histogram 100 wartości średnich wzrostu,
każdorazowo wyliczanych dla losowo wybranych
dziesięciu osób.
Rozkład i wariancja średniej
Histogram 100 wartości średnich wzrostu,
każdorazowo wyliczanych dla losowo wybranych
pięćdziesięciu osób.
Rozkład i wariancja średniej
Średnie z próby z populacji o rozkładzie
normalnym są same z siebie normalne,
niezależnie od liczebności próby N.
Rozkład i wariancja średniej
Gdy liczebność próby wzrasta, rozkład
wartości średnich wyliczonych z prób
losowanych z populacji o dowolnym
rozkładzie zbliża się do normalnego.
Jest to
Centralne Twierdzenie Graniczne
(jedynie wtedy gdy mówimy o próbkowaniu z
populacji o skończonej wariancji)
.
Rozkład i wariancja średniej
Zakres średnich jest znacznie mniejszy niż
zakres oryginalnych danych.
Indywidualny wzrost waha się od 126 cm do
208 cm.
Średnie wzrostów wahają się od 168 cm do
183 cm w próbach N=10 i od 173 cm do 179
cm w próbach N=50.
Rozkład i wariancja średniej
Różnice w zakresach są odzwierciedlone
w różnicach w odchyleniu
standardowym tych rozkładów.
N=10
N=50
Populacja
Odchylenie
standardo
we
2.94
1.40
9.86
Rozkład i wariancja średniej
Średnie z dużych prób powinny być bliskie
parametrycznej średniej i nie będą się tak
wahały jak te z małych prób. W takim razie
wariancja średnich jest częściowo funkcją
liczności prób, z których są wyliczane.
Wariancja średniej jest także funkcją
wariancji samych danych.
Przedział ufności
Weźmy prostą próbę losową (PPL) o
liczebności n z dowolnej populacji ze
średnią
i skończonym odchyleniem
standardowym
.
Kiedy n jest duże, rozkład średniej z
próby jest w przybliżeniu normalny:
jest w przybliżeniu
x
x
n
N
/
,
Przedział ufności
Niech n=50, σ = 9.86.
Jaki rozkład ma średnia w
powtarzanych próbach o liczności
50?
N( , 1.39) gdyż 9.86/√50 = 1.39
Co mi mówi reguła trzech sigm? (68-
95-99.7)
μ – 2.78
μ +
2.78
Przedział ufności
Średnio 95% wszystkich ocen z
próby znajduje się wewnątrz
wyznaczonego przedziału.
Wnioskowanie statystyczne
wykorzystuje wiedzę o tym co się
dzieje przy wielokrotnym
powtarzaniu eksperymentu do oceny
ufności wyniku w pojedynczej próbie.
x
Przedziały ufności
Jest to przedział w postaci (a, b) gdzie a
i b to liczby wyliczone z danych.
Ma właściwość zwaną poziomem
ufności, która mówi o
prawdopodobieństwie, że przedział
zawiera w sobie nieznany parametr.
Najczęściej poziom ufności wynosi 90%
lub więcej, ponieważ chcemy być pewni
swoich wniosków.
Przedziały ufności, cd.
Do oznaczania poziomu ufności
stosować będziemy liczby dziesiętne C.
95%-owy poziom ufności odpowiada C=0.95
Formalna definicja
Przedział ufności na poziomie C jest
przedziałem obliczonym z danych metodą,
która z zadanym prawdopodobieństwem C
określa przedział zawierający rzeczywistą
wartość parametru.
Przedział ufności dla
średniej populacji
Przedział ufności na poziomie C dla
średniej populacji, gdy dane pochodzą z
PPL o liczności n, jest oparty na
rozkładzie próbkowania średniej próby.
Żeby zbudować przedział ufności na
poziomie C musimy najpierw znaleźć
centralne pole C pod krzywą normalną.
Musimy znaleźć takie z*, że rozkład normalny
ma prawdopodobieństwo C w zakresie ± z*
odchylenia standardowego od średniej.
x
Przedział ufności dla
średniej populacji, cd.
Z zadanym prawdopodobieństwem C
leży pomiędzy
To jest dokładnie to samo co to, że nieznana
średnia populacji leży pomiędzy
x
n
z
x
n
z
*
*
n
z
x
n
z
x
*
*
Przedział ufności dla
średniej populacji, cd.
Weźmy PPL liczności n z populacji o nieznanej
średniej i znanym odchyleniu standardowym.
Przedziałem ufności na poziomie C dla
jest
Ten przedział jest precyzyjny, kiedy rozkład
populacji jest normalny i jedynie przybliżony dla
dużych n w innych przypadkach.
n
z
x
n
z
x
*
*
,
Przedział ufności - wzrost
Niech n=50, σ = 9.86.
Estymator wartości średniej przy
próbce losowej o liczności 50 ma
rozkład
N( , 1.39) gdyż 9.86/√50 = 1.39
Przedziały ufności
Przedział liczbowy ( -2.78, +2.78) jest
nazywany 95%-owym przedziałem ufności
dla
Ma formę (estymacja – margines błędu,
estymacja + margines błędu)
Estymacja = szacowanie: odgadywanie
wartości nieznanego parametru
Margines błędu: mówi na ile oceniamy
dokładność naszego wyniku na podstawie
zmienności estymaty parametru.
x
x
Wnioskowanie
statystyczne
Jeśli jedna średnia próby jest równa 172.9,
wtedy jedno z dwóch:
Przedział między 172.9-2.78=170.12 i
172.9+2.78=175.68 zawiera rzeczywistą średnią.
ALBO
Nasza PPL była jedną z kilku prób dla której
średnia nie jest w przedziale ±2.78 od rzeczywistej
średniej. Tylko 5% wszystkich prób daje tak
nietrafiony wynik (dla CI 95%).
Nie wiemy, w której kategorii znajduje się
nasza próbka.
x
mniejsza liczność próby daje szerszy przedział
ufności
wyższy poziom ufności daje szerszy przedział
Jak się zachowują przedziały
ufności
Margines błędu
Ilustruje kilka ważnych właściwości,
które są wspólne dla wszystkich
przedziałów ufności.
Badacz wybiera poziom ufności, a
margines błędu jest efektem tego
wyboru.
n
z
*
Jeśli Twój margines błędu jest za
duży…
Zmniejsz poziom ufności (mniejsze C)
90% odpowiada z*=1.645
95% odpowiada z*=1.96
99% odpowiada z*=2.576
Zwiększ liczność próby (większe n)
Musimy pomnożyć liczbę obserwacji przez 4
żeby zmniejszyć margines błędu o połowę.
Zmniejsz σ.
Możemy czasem zmniejszyć σ przez
manipulowanie procesem pomiarów albo skupić
uwagę jedynie na części dużej populacji.
Przykład 1
Mamy próbę 35 długości skrzydełek
muchy z populacji o nieznanej średniej i
znanym odchyleniu standardowym ( =
3.90). Średnia z próby to 44.8.
Możemy się spodziewać, że odchylenie
standardowe średnich opartych na
próbkach 35 pomiarów będzie równe
6592
.
0
35
90
.
3
n
Y
Przykład 1
Granice liczymy następująco:
Z definicji
09
.
46
)
6592
.
0
(
)
960
.
1
(
8
.
44
L
51
.
43
)
6592
.
0
(
)
960
.
1
(
8
.
44
L
2
1
95
.
0
09
.
46
51
.
43
P
Przykład 1 - cd.
Przeprowadźmy eksperyment symulacyjny:
Wartość średnia w populacji wynosi =
45.5 a odchylenie standardowe = 3.90.
Rozkład długości skrzydełek można
opisać rozkładem normalnym.
Wykonujemy 200 powtórzeń losowań
prób, każda po 35 wartości długości
skrzydełek. Obliczamy przedziały ufności
dla wartości średniej w populacji poprzez
zastosowanie błędu standardowego,
6592
.
0
Y
Przykład 1 - cd.
Wykres pokazuje 200 wyliczonych
95% przedziałów ufności,
wykreślonych równolegle do osi
rzędnych.
Przykład 1 - cd.
Z tych 194 (97.0%) zawiera w
sobie średnią populacji.
Uwaga
Kiedy mamy ustalone dolne i górne granice CI dla
wartości średniej, wtedy prawdopodobieństwo, że
przedział zawiera średnią z populacji jest równe
0.95 lub, innymi słowy, przeciętnie 95 ze 100
obliczonych przedziałów ufności zawiera tą średnią
populacji.
Nie możemy twierdzić
że istnieje
prawdopodobieństwo równe 0.95 że rzeczywista
średnia zawiera się w dowolnym zaobserwowanym
przedziale ufności, choć na pierwszy rzut oka może
się tak wydawać. Ostatnie stwierdzenie jest
nieprawdziwe, ponieważ rzeczywista średnia jest
parametrem, wartością stałą i jest albo w
przedziale albo poza przedziałem. Nie może być w
jakimś przedziale na 95%.
Wybór liczebności próby
Żeby otrzymać wymagany
margines błędu m, przyrównaj to
wyrażenie do m, zamień wartość z*
na Twój żądany poziom ufności i
rozwiąż równanie dla liczebności
próby n.
Przykład 2
Zgodnie z informacją podaną przez producenta,
waga paczek kawy ma rozkład normalny o
wartości średniej 100 g i odchyleniu
standardowym 5g. Aby sprawdzić tę hipotezę
dział kontroli jakości musi dokonać pomiaru
losowo wybranej partii towaru.
Co najmniej ile paczek kawy powinno być
zważonych, by oceniony na podstawie
zebranych danych przedział ufności dla średniej
wagi miał szerokość mniejszą niż 0.2 g przy
poziomie ufności równym 0.98?
Przykład 2
Liczność próby ocenić możemy
wykorzystując:
przy czym konieczna jest znajomość σ
oraz z
*
.
2
*
*
n
z
m
z
n
m
Przykład 2
Dla zadanego poziomu ufności C=0.98
wartość krytyczną z
*
znajdujemy z
zależności
99
.
0
2
1
)
(
*
C
C
z
X
P
Przykład 2
Przykład 2
Dla zadanego poziomu ufności
C=0.98 wartość krytyczna z
*
wynosi 2.33.
Z danych wynika, iż σ=5g a
margines m ma być nie większy niż
0.2g
3394
06
.
3393
2
.
0
5
33
.
2
n
2
2
*
m
z
Przykład 3
Dokonano pomiaru wagi 7 torebek cukru
i uzyskano wyniki [g]:
[985, 1015, 990, 992, 1021, 925, 1058]
Na poziomie ufności 0.97 zweryfikować
hipotezę, że średnia waga torebki cukru
to 1000g.
Zgodnie z normą wariancja wagi nie
powinna być większa niż 100.
Przykład 3
Wartość średnia z próby wynosi
998.00g.
Z danych w zadaniu wynika, że
maksymalne odchylenie standardowe
to σ=√100=10g
Poziom ufności z założenia wynosi 0.97
?
985
.
0
2
03
.
0
97
.
0
)
(
*
*
z
z
X
P
Przykład 2
Przykład 3
Z tablic odczytujemy, że z
*
=2.17
Margines błędu dla oceny wartości
średniej w populacji wynosi:
Zatem 97% przedział ufności dla wartości
średniej μ to (998.00-0.98,998.00+0.98)
98
.
0
7
10
17
.
2
*
n
z
m
Przykład 3
Wyznaczony przedział ufności to
(997.02; 998.98).
Ponieważ interesująca nas wartość
średnia w populacji (równa 1000g) nie
należy do tego przedziału, to mamy
podstawy do odrzucenia hipotezy na
poziomie
α=1-0.97=0.03
Kilka ostrzeżeń
Dane muszą być prostą próbą losową z
populacji.
Wzór nie jest poprawny dla złożonych
projektów losowań innych niż PPL. (Ale są
odpowiednie metody dla tych złożonych
projektów.)
Nie ma dobrej metody wnioskowania na
podstawie danych zebranych nieuważnie z
nieznanym błędem.
Wielkości odstające mogą mieć duży wpływ
na przedział ufności.
Kilka ostrzeżeń, cd.
Jeśli liczność próby jest mała, a
rozkład populacji nie jest normalny,
prawdziwy poziom ufności będzie inny
od C używanego w obliczeniach.
Trzeba znać odchylenie standardowe
σ populacji
.
Margines błędu w przedziale ufności
uwzględnia jedynie losowość prób.
Wnioskowanie dla średniej
populacji
Weźmy prostą próbę losową o liczności
n z populacji o rozkładzie normalnym ze
średnią μ i odchyleniem standardowym
σ. Średnia próby
ma rozkład
.
Kiedy σ jest nieznane, oceniamy je na
podstawie odchylenia standardowego
próby s, po czym szacujemy odchylenie
standardowe przez
x
n
N
/
,
x
n
s/
Błąd standardowy
Kiedy odchylenie standardowe
statystyki jest szacowane z
danych, wynik jest nazywany
błędem standardowym statystyki.
Błąd standardowy średniej z próby
wynosi
n
s
SE
x
Rozkład t
Kiedy zastępczo stosujemy błąd
standardowy SE zamiast odchylenia
standardowego średniej próby, wtedy
statystyka wartości średniej
NIE
ma
rozkładu normalnego.
Ma rozkład t, zwany rozkładem t-
Studenta (W.Gosset, 1908).
Rozkład t, cd.
Weźmy prostą próbę losową o liczności
n z populacji . Wtedy statystyka
t dla jednej próby
ma rozkład t z n-1 stopniami swobody.
Dla każdej liczności próby istnieje inny
rozkład t.
Poszczególne rozkłady t są określone
przez podanie stopni swobody.
,
N
n
s
x
t
/
Rozkład t, cd.
Stosujemy t(k) do oznaczenia rozkładu t z k
stopniami swobody.
Krzywe gęstości rozkładów t(k) są w kształcie
podobne do standardowej krzywej normalnej.
Symetryczne względem 0
W kształcie dzwona
Rozrzut rozkładów t jest nieco większy niż
standardowego rozkładu normalnego.
Z powodu dodatkowej zmienności spowodowanej
zamianą stałego parametru σ na zmienną losową
s.
Rozkład t, cd.
Wraz ze wzrostem liczby stopni
swobody k, krzywa gęstości t(k)
dąży do rozkładu N(0,1).
Prawie w każdej książce do
statystyki można znaleźć tablice z
wartościami krytycznymi dla
rozkładów t.
Przedział ufności t dla
jednej próby
Weźmy PPL liczności n z populacji o nieznanej
średniej μ i nieznanej wariancji σ
2
.
Przedziałem ufności na poziomie C dla μ jest
gdzie t* jest wartością dla krzywej gęstości t(n-
1) z polem C między –t* i t*. Ten przedział jest
precyzyjny kiedy rozkład populacji jest
normalny i przybliżony w innych przypadkach
dla dużych n.
n
s
t
x
n
s
t
x
*
*
,
Stopnie swobody
Przedział ufności t dla
jednej próby - przykład
Niech PPL o liczności n=12 jest wzięta z
populacji o nieznanej średniej μ i nieznanej
wariancji σ
2
.
[114, 123.3, 116.7, 129.0, 118, 124.6, 123.1,
117.4, 111, 121.7, 124.5, 130.5]
średnia z próby = 121.15
odchylenie standardowe próby = 5.89
krytyczna t-wartość for 95% poziomu ufności
(11 stopni swobody) = 2.2010
89
.
124
;
41
.
117
12
89
.
5
*
2010
.
2
15
.
121
;
12
89
.
5
*
2010
.
2
15
.
121
n
s
t
x
,
n
s
t
x
*
*
95
%
2.5%
2.5%
stopień swobody
Przykład 3
25 długości nóżek mszyc
Pemphigus populitransversus.
Wyniki są w mm x 10
-1.
3.8
3.6
4.3
3.5
4.3
3.3
4.3
3.9
4.3
3.8
3.9
4.4
3.8
4.7
3.6
4.1
4.4
4.5
3.6
3.8
4.4
4.1
3.6
4.2
3.9
Przykład 4
Sprawdzić na poziomie istotności
0.02 czy prawdziwe jest stwierdzenie,
że średnia długość nóżek wynosi
4x10
-1
mm.
Obliczamy (pomijamy mnożnik 10
-1
)
a z tablic rozkładu t musimy znaleźć:
25
n
;
366
.
0
s
;
004
.
4
Y
?
02
.
0
1
25
,
02
.
0
t
stopień swobody
Przykład 4
Granice 98% przedziału ufności dla
średniej populacji są dane równaniami:
Ponieważ wartość 4.00 należy do
przedziału (L
1
,L
2
) to nie mamy podstaw
do odrzucenia hipotezy badawczej na
poziomie α=0.02
187
.
4
25
366
.
0
5
.
2
004
.
4
821
.
3
183
.
0
004
.
4
25
366
.
0
5
.
2
004
.
4
24
,
02
.
0
2
24
,
02
.
0
1
n
s
t
Y
L
n
s
t
Y
L
Granice ufności na
podstawie statystyk próby
Możemy zastosować tę samą
technikę do ustalenia granic
ufności dla dowolnej statystyki,
jeśli statystyka ma normalny
rozkład.
Ta technika dotyczy w zasadzie
wszystkich statystyk z tabeli z
następnego slajdu.
skośność
kurtoza
estymator obciążony
estymator nieobciążony
Przykład 5
W pewnym doświadczeniu
medycznym bada się czas snu
pacjentów leczonych na pewną
chorobę. Zmierzono u n=16
wylosowanych niezależnie pacjentów
czas snu i otrzymano następujące
wyniki [w minutach]: 435, 533, 393,
458, 525, 481, 324, 437, 348, 503,
383, 395, 416, 553, 500, 488.
Znaleźć 95% przedział ufności dla
mediany czasu snu.
Przykład 5
Posortowane dane są następujące:
[324 348 383 393 395 416
435 437 458 481 488 500
503 525 533 553]
Estymator punktowy mediany w
populacji wynosi 447.5
Do wyznaczenia przedziału ufności
potrzebna jest wartość błędu
standardowego dla wartości średniej
Przykład 5
Ponieważ odchylenie standardowe z
próby wynosi s=68.04 to błąd
standardowy dla oceny średniej
Błąd standardowy dla oceny mediany
to
01
.
17
16
04
.
68
n
s
s
Y
32
.
21
01
.
17
2533
.
1
2533
.
1
Y
M
s
s
Przykład 5
Wartość krytyczna t
*
dla C=0.95 i 15
stopni swobody wynosi
tinv(0.975,15)=2.1314
Zatem 95% przedział ufności dla
oceny mediany to (L
1
;L
2
) gdzie
94
.
492
32
.
21
1314
.
2
5
.
447
06
.
402
32
.
21
1314
.
2
5
.
447
2
1
L
L
Przykład 6
Strukturę zarobków w pewnej firmie przedstawia
tabela.
Na poziomie 0.96 oszacować przedziałowo
odchylenie standardowe zarobków w tej firmie.
Pensja
Liczba
osób
(1000;2000]
10
(2000; 4000]
25
(4000; 6000]
12
(6000;8000]
8
(8000;10000]
4
(10000;20000]
2
Przykład 6
Wyliczona już wcześniej wartość średnia z próby
to 4459. Odchylenie standardowe z próby
wyliczymy jako
6
.
2888
68
.
8344125
1
)
2
4
25
10
(
)
4459
15000
(
2
)
4459
3000
(
25
)
4459
1500
(
10
2
2
2
s
s
Przykład 6
Błąd standardowy średniej to
Zatem przybliżony błąd standardowy
odchylenia standardowego wynosi:
85
.
369
61
6
.
2888
n
s
s
X
52
.
261
85
.
369
7071068
.
0
7071068
.
0
n
s
s
s
Przykład 6
Wartość krytyczną t
*
dla C=0.96 znajdujemy
jako tinv(0.98,60) i wynosi ona 2.0994
Wobec tego granice 96% przedziału ufności
dla odchylenia standardowego to
odpowiednio:
6
.
3437
6
.
2339
52
.
261
0994
.
2
6
.
2888
2
1
L
L
Rozkład chi-kwadrat
Rozkład chi-kwadrat jest funkcją
prawdopodobieństwa gęstości, która
zwraca wartości od zera do plus
nieskończoności.
W ten sposób, w przeciwieństwie do
rozkładu normalnego lub t, funkcja
zbliża się do osi
2
asymptotycznie
tylko w prawym końcu krzywej.
Rozkład chi-kwadrat
Tak jak w przypadku t, nie ma
jedynie jednego rozkładu
2
, ale
wiele różnych funkcji gęstości dla
kolejnych wartości stopni swobody.
Funkcja opisująca rozkład
2
jest
skomplikowana i nie będzie tutaj
zamieszczona.
Rozkład chi-kwadrat
Możemy wygenerować rozkład
zbliżony do
2
z populacji
standardowych odchyleń
normalnych.
Standaryzujemy zmienną X
i
przez:
i
'
i
X
X
Rozkład chi-kwadrat
Wyobraźmy sobie powtarzane próby
losowe n zmiennych X
i
z populacji o
rozkładzie normalnym ze średnią i
odchyleniem standardowym .
Dla każdej próby standaryzujemy
zmienną X
i
do X
i’
.
Wartości obliczane są dla każdej
próby i będą w przybliżeniu miały
rozkład
2
z n stopniami swobody.
2
'
i
n
X
Rozkład chi-kwadrat
Możemy przepisać
Kiedy zastąpimy nieznaną średnią
w populacji średnią z próby,
wyrażenie przyjmuje postać:
2
i
n
n
2
2
2
i
n
2
'
i
)
X
(
1
)
X
(
X
2
2
2
i
n
2
s
)
1
n
(
)
X
X
(
1
Rozkład chi-kwadrat
Gdybyśmy wielokrotnie próbkowali
n pomiarów z populacji o rozkładzie
normalnym i wyliczali każdorazową
tę wartość to uzyskali byśmy z dużą
dokładnością rozkład
2
z
n-1
stopniami swobody.
Straciliśmy jeden poziom swobody,
ponieważ stosujemy średnią próby
zamiast średniej populacji.
Rozkład chi-kwadrat
Granice ufności dla
wariancji
Możemy stwierdzić, że
1
)
1
(
2
]
1
[
),
2
/
1
(
2
2
2
]
1
[
),
2
/
(
n
n
s
n
P
05
.
0
Granice ufności dla
wariancji
2
2
]
1
[
),
2
/
1
(
2
1
2
]
1
[
),
2
/
1
(
2
2
2
]
1
[
),
2
/
1
(
2
2
2
2
]
1
[
),
2
/
(
2
2
2
2
]
1
[
),
2
/
(
2
2
2
2
]
1
[
),
2
/
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
n
n
n
n
n
n
s
n
L
s
n
s
n
L
s
n
s
n
s
n
Granice ufności dla
wariancji
Możemy stwierdzić, że
Co daje w konsekwencji
1
)
1
(
2
]
1
[
),
2
/
1
(
2
2
2
]
1
[
),
2
/
(
n
n
s
n
P
1
)
1
(
)
1
(
2
]
1
[
),
2
/
(
2
2
2
]
1
[
),
2
/
1
(
2
n
n
s
n
s
n
P
Przykład 7
Weźmy próbę 15 długości
skrzydełek muchy z wariancją
próby s
2
=13.52
Jeśli chcemy ustalić 95% granice
ufności dla wariancji w populacji,
szukamy wartości
Wynoszą odpowiednio 5.63 i 26.12.
2
]
14
[
,
975
.
0
2
]
14
[
,
025
.
0
oraz
Przykład 7
Wtedy granice mają postać
A poszukiwany przedział ufności
68
.
33
5.62
189.28
52
.
13
14
25
.
7
26.12
189.28
52
.
13
14
2
]
14
[
,
025
.
0
2
2
]
14
[
,
975
.
0
1
L
L
95
.
0
68
.
33
25
.
7
2
P
Przykład 7
Czy prawdą jest, że odchylenie
standardowe wynosi 6?
Skoro hipotetyczne odchylenie
standardowe wynosi 6, to wariancja
36.
Ponieważ , gdzie L
1
=7.25
oraz L
2
=33.68, to odrzucamy hipotezę
na poziomie α=1-C=0.05
)
;
(
36
2
1
L
L
Przykład 8
By ocenić klasę dwóch urządzeń mierzących
średnicę rur, przeprowadzono eksperyment
i uzyskano następujące wyniki:
dla urządzenia A, 20 pomiarów, odchylenie
standardowe 2.65;
dla urządzenia B, 16 pomiarów, odchylenie
standardowe 4.80.
Przyjmując α=0.01 zweryfikować hipotezę,
że urządzenie A ma taką samą wariancję
pomiarów.
Przykład 8
Wyznaczamy przedział ufności dla
wariancji dla urządzenia A
99
.
0
50
.
19
46
.
3
99
.
0
8440
.
6
65
.
2
19
5823
.
38
65
.
2
19
2
2
2
2
P
P
Przykład 8
By zweryfikować hipotezę o braku
różnic
musimy
sprawdzić,
czy
estymata
punktowa
z
drugiego
eksperymentu mieści się we wnętrzu
przedziału ufności dla wariancji
pierwszej populacji.
)
,
(
80
.
4
)
50
.
19
;
46
.
3
(
)
,
(
2
1
2
2
1
L
L
L
L