Model Bohra budowy atomu wodoru

Postulaty:

• W atomie wodoru elektron krąży wokół protonu jednostajnym ruchem
kołowym w wyniku działania siły kulombowskiej i zgodnie z prawami
Newtona.

• Jedynie te orbity są dozwolone, dla których moment pędu krążącego
elektronu jest całkowitą wielokrotnością stałej Plancka (h) podzielonej
przez 2π. Momenty pędu na dozwolonych orbitach określa wzór (158):

• Elektron znajdujący się na dozwolonej orbicie nie promieniuje energii.
• Podczas przejścia elektronu z orbity początkowej, na której elektron ma
energię E

p

, na orbitę końcową, na której elektron ma energię E

k

(E

k

>E

p

)

emitowany jest kwant promieniowania elektromagnetycznego o częstości:

(158).

...

1,2,3,

=

n

;

π

2

h

n

=

mvr

=

L

(159).

h

E

-

E

=

f

k

p

(160)

r

e

πε

4

1

=

F

2

2

0

(161)

r

mv

=

F

2

Elektron

Proton

Tor ruchu

elektronu

Promień orbity oraz prędkość elektronu

Skoro siły (160) i (161) są sobie równe i obowiązuje
kwantowanie momentu pędu (drugi postulat), to z
układu równań (obok) można wyliczyć zarówno (r) jak i
(v):

π

2

h

n

=

rmv

r

mv

=

r

e

πε

4

1

2

2

2

0

Z drugiego równania

wstawiamy do pierwszego równania otrzymując:

(162)

mr

π

2

h

n

=

v

.

r

m

π

4

h

n

r

m

=

r

πε

4

e

2

2

2

2

2

2

0

2

Rozwiązując powyższe równanie ze względu na (r), po przekształceniach
i uproszczeniach otrzymujemy:

(163),

n

me

π

h

ε

=

r

2

2

2

0

a podstawiając za (r) prawą stronę równania (163) do (162)
otrzymujemy:

(164).

n

1

h

ε

2

e

=

v

czyli

,

n

h

ε

me

π

m

π

2

h

n

=

v

0

2

2

2

0

2

Kwantowanie torów ruchu i prędkości elektronów

Rozwiązanie równań (163) i (164) dla n = 1,2,3 daje następujące wyniki:

n

1

2

3

r

(m)

0,52910

-10

2,116 10

-10

4,761 10

-10

v

(m/s)

2,19 10

6

1,095 10

6

0,73 10

6

Oznacza to, że tylko wybrane
orbity są dozwolone, a prędkość
na nich określona. Zatem
konsekwencją

kwantowania

momentu pędu elektronów jest
dyskretny zbiór promieni orbit
elektronów

i

prędkości

elektronów na tychże orbitach.

r

2

r

1

r

3

r

4

r

5

Orbita elektronu

Jądro (proton)

Przejściu elektronu z orbity

wyższej na niższą towarzyszy

emisja kwantu

promieniowania

elektromagnetycznego

Energia elektronu

Energia całkowita elektronu jest sumą jego energii kinetycznej (E

k

) i

energii potencjalnej (E

p

) liczbowo równej pracy jaką trzeba wykonać aby

elektron przenieść z n-tej orbity do nieskończoności.

(165),

n

h

ε

8

me

=

E

n

h

ε

4

e

2

m

=

2

mv

=

E

2

2

2
0

4

k

2

2

2
0

4

2

k

⇒

,

r

πε

4

e

-

=

dr

r

1

πε

4

e

-

=

dr

r

πε

4

e

-

=

dr

F

-

=

E

0

2

r

2

0

2

r

2

0

2

∞

r

p

∫

∫

∫

∞

∞

a po podstawieniu za (r) (163) otrzymujemy:

Zatem energia całkowita E wynosi

.

(166)

n

h

ε

4

e

-

=

E

2

2

2
0

4

p

.

(167)

n

h

ε

8

e

-

=

E

2

2

2
0

4

Ze wzoru (167) wynika, że energia całkowita elektronu może przybierać
pewne wartości zależne od liczby kwantowej (n). Ujemna wartość energii
całkowitej elektronu (E) jest uzasadniona stanem związanym elektronu.
Energia potrzebna do uwolnienia elektronu, gdy ten znajduje się w stanie
energetycznym określonym liczbą n=1 jest nazywana energią jonizacji.
Energia potrzebna do przeniesienia elektronu na wyższy poziom
energetyczny jest nazywana energią wzbudzenia.

Emisja promieniowania przez atomy wodoru

Jeżeli elektron przechodzi ze stanu początkowego (n

p

) do innego stanu (n

k

)

o niższej energii, to zgodnie z czwartym postulatem Bohra emitowany jest
kwant promieniowania o częstotliwości (f).

,

λ

c

=

n

1

-

n

1

h

ε

8

me

=

n

h

ε

8

me

-

-

n

h

ε

8

me

-

h

1

=

h

E

-

E

=

f

2

p

2

k

3

2
0

4

2

k

2

2
0

4

2

p

2

2
0

4

kon.

.

pocz

skąd

(168).

n

1

-

n

1

h

ε

8c

me

=

λ

1

2

p

2

k

3

2
0

4

Wyrażenie przed nawiasem w (168) jest stałą Rydberga (R) i wynosi
1,097∙10

7

1/m. Ze względu na to, że wyrażenie w nawiasie wzoru (168)

przyjmuje tylko pewne wartości, dla poszczególnych przejść między
poziomami energetycznymi, określone liczbami kwantowymi n

k

i n

p

,

również promieniowanie pochodzące z atomów wodoru nie może
przyjmować dowolnych wartości (λ) lecz tylko wybrane (zbiór dyskretny).
W konsekwencji widmo promieniowania atomów wodoru ma również
charakter dyskretny, a nie ciągły, tak jak np. światło słoneczne.