Analiza matematyczna -
Analiza matematyczna -
Badanie przebiegu
Badanie przebiegu
zmienności funkcji
zmienności funkcji
wykład IV
wykład IV
Autor wykładu :
Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ
Autor slajdów:
Inż. Krzysztof Broczkowski
Analiza matematyczna -
Analiza matematyczna -
Badanie przebiegu
Badanie przebiegu
zmienności funkcji
zmienności funkcji
wykład IV
wykład IV
Autor wykładu :
Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ
Autor slajdów:
Inż. Krzysztof Broczkowski
Spis treści:
Spis treści:
Przykłady obliczania asymptoty funkcji
Wypukłość i wklęsłość wykresu, punkty przegięcia
Założenia
Założenia
wyczerpującej informacji o funkcji.
W celu badania przeprowadza się
Badanie przebiegu zmienności funkcji pozwala na uzyskanie
:
- analizę funkcji
- analizę pierwszej pochodnej
- analizę drugiej pochodnej
Na podstawie uzyskanych wyników sporządza się
tabelę zmienności funkcji i wykres funkcji
.
,
,
.
Analiza funkcji
Analiza funkcji
1). Znalezienie dziedziny
2). Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności
3). Obliczenie asymptot
4). Znalezienie punktów przecięcia z osiami
5). Określenie parzystości, okresowości, ciągłości
;
;
;
;
.
Analiza pierwszej
Analiza pierwszej
pochodnej
pochodnej
1). Znalezienie ekstremów
2). Określenie przedziałów monotoniczności
;
.
Analiza drugiej pochodnej
Analiza drugiej pochodnej
1). Znalezienie punktów przegięcia
2). Określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości
;
.
Asymptoty
Asymptoty
Pionowe
Poziome
Pochyłe (ukośne)
,
,
.
twierdze
nie
Asymptoty pionowe
Asymptoty pionowe
Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera pewne sąsiedztwo
prawostronne lub lewostronne punktu
.
Definicja:
Prostą o równaniu nazywa się asymptotą pionową
funkcji
wtedy i tylko wtedy
a
x
a
)
f(x
y
,
gdy istnieje granica niewłaściwa
x
a
x
f
lim
asymptota pionowa lewostronna
lub
x
a
x
f
lim
asymptota pionowa prawostronna
,
.
Jeżeli prosta jest jednocześnie asymptotą pionową lewo i prawostronną
a
x
-
-
mówi się, że jest asymptotą pionową obustronną
.
Asymptoty poziome
Asymptoty poziome
Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera przedział lub
Definicja:
Prostą o równaniu lub nazywa się
asymptotą poziomą funkcji
wtedy i tylko wtedy
c
y
)
f(x
y
,
gdy istnieje granica niewłaściwa
c
x
x
f
lim
asymptota pozioma lewostronna
lub
d
x
x
f
lim
asymptota pozioma prawostronna
,
.
Jeżeli to mówi się, że
d
c
-
-
jest asymptotą poziomą obustronną
.
.
a
,
,
b
d
y
c
y
Asymptoty pochyłe (ukośne)
Asymptoty pochyłe (ukośne)
Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera przedział lub
Definicja:
Prostą o równaniu dla nazywa się
asymptotą pochyłą funkcji
wtedy i tylko wtedy
k
x
m
y
)
f(x
y
,
gdy istnieje granica niewłaściwa
0
f
lim
k
x
m
x
x
asymptota pozioma lewostronna
lub
0
f
lim
k
x
m
x
x
asymptota pozioma prawostronna
,
.
-
-
.
a
,
,
b
0
m
Jeżeli asymptota pochyła jest jednocześnie asymptotą lewo i prawostronną
To prostą nazywa się asymptotą pochyłą obustronną
.
k
x
m
y
Asymptoty pochyłe
Asymptoty pochyłe
(ukośne)
(ukośne)
- twierdzenie
- twierdzenie
Jeżeli funkcja o równaniu ma asymptotę pochyłą
o równaniu
x
y f
,to
x
x
m
x
f
lim
oraz
x
m
x
k
x
f
lim
k
x
m
y
.
Przykłady obliczania asymptot
Przykłady obliczania asymptot
funkcji
funkcji
a)
b)
c)
d)
2
3
1
x
x
y
,
x
x
y
ln
1
,
3
2
x
y
,
1
1
2
x
x
y
.
Obliczanie asymptot funkcji -a
Obliczanie asymptot funkcji -a
3
2
x
y
R
D
,
x
Ponieważ asymptoty pionowej brak
.
R
D
3
lim
2
x
x
- lewostronnej asymptoty poziomej brak
.
3
lim
2
x
x
- prawostronnej asymptoty poziomej brak
.
Obliczanie asymptot funkcji -
Obliczanie asymptot funkcji -
a asymptota ukośna
a asymptota ukośna
Ponieważ nie ma asymptoty poziomej sprawdza się istnienie asymptoty
.
k
mx
y
x
x
m
x
3
lim
2
- asymptoty ukośnej brak
.
Wykres funkcji nie ma asymptot
.
3
2
x
y
Obliczanie asymptot funkcji -b
Obliczanie asymptot funkcji -b
x
x
y
ln
1
0
:
x
D
0
ln
1
x
e
x
x 0
,
,
0
e
e
x
x
x
x
ln
1
lim
0
0
0
0
1
0
0
- asymptoty pionowej prawostronnej brak.
Obliczanie asymptot funkcji -b
Obliczanie asymptot funkcji -b
asymptota pionowa
asymptota pionowa
x
x
e
x
ln
1
lim
0
1
1
e
e
x
ln
1
e
x
x
e
x
ln
1
lim
0
1
1
e
e
- prosta jest obustronną asymptotą pionową.
e
x
Obliczanie asymptot funkcji -b
Obliczanie asymptot funkcji -b
asymptota pozioma
asymptota pozioma
x
x
x
ln
1
lim
x
x
1
1
lim
- prawostronnej asymptoty poziomej brak
.
H
Obliczanie asymptot funkcji -b
Obliczanie asymptot funkcji -b
asymptota ukośna
asymptota ukośna
x
x
x
x
ln
1
lim
1
x
x
x
x
0
ln
1
lim
- prawostronnej asymptoty ukośnej brak.
k
mx
y
m
x
x
ln
1
1
lim
0
k
x
x
x
ln
1
lim
Obliczanie asymptot funkcji -c
Obliczanie asymptot funkcji -c
asymptota
asymptota
pionowa
pionowa
2
3
1
x
x
y
0
:
x
D
,
0
0
,
x
2
3
0
1
lim
x
x
x
0
1
x
0
- lewostronna
asymptota pionowa
2
3
0
1
lim
x
x
x
0
1
x
0
- prawostronna
asymptota pionowa
- prosta jest obustronną asymptotą pionową.
0
x
Obliczanie asymptot funkcji -c
Obliczanie asymptot funkcji -c
asymptota pozioma
asymptota pozioma
2
3
1
lim
x
x
x
x
x
x
2
1
3
lim
2
- lewostronnej
asymptoty poziomej brak
Łatwo sprawdzić, że prawostronnej asymptoty poziomej brak
.
2
1
6
lim
x
x
H
H
Obliczanie asymptot funkcji -c
Obliczanie asymptot funkcji -c
asymptota ukośna
asymptota ukośna
3
3
1
lim
x
x
x
x
x
x
x
2
3
1
lim
- lewostronna
asymptota ukośna
.
k
mx
y
m
1
k
2
3
2
3
1
3
3
lim
x
x
x
x
x
x
2
2
1
3
3
lim
x
x
x
x
3
3
x
y
Łatwo sprawdzić, że jest obustronną asymptotą ukośną
.
3
x
y
Obliczanie asymptot funkcji -d
Obliczanie asymptot funkcji -d
1
1
2
x
x
y
R
D:
,
x
Asymptoty pionowej brak
1
1
lim
2
x
x
x
0
Łatwo sprawdzić, że jest obustronną asymptotą poziomą
.
0
y
R
D
.
- lewostronna
asymptota pozioma
.
0
y
Monotoniczność funkcji
Monotoniczność funkcji
Na to, by funkcja była stała w przedziale
x
y f
b
a,
potrzeba i wystarcza, aby dla każdego
b
a
x
,
0
f
x
Jeżeli w każdym punkcie przedziału
0
f
x
b
a,
,
to funkcja jest na tym przedziale
rosnąca
x
f
.
Jeżeli w każdym punkcie przedziału
0
f
x
b
a,
,
to funkcja jest na tym przedziale
malejąca
x
f
.
.
Przykłady obliczania
Przykłady obliczania
monotoniczności funkcji
monotoniczności funkcji
a)
b)
c)
d)
4
3
2
3
8
6
x
x
x
y
x
x
y
2
5
3
x
x
y
ln
x
x
y
arctg
;
;
;
.
Przykłady obliczania
Przykłady obliczania
monotoniczności funkcji -
monotoniczności funkcji -
a
a
4
3
2
3
8
6
x
x
x
y
3
2
12
24
12
x
x
x
y
R
D
D
f
f
0
12
24
12
3
2
x
x
x
12
:
0
2
2
3
x
x
x
0
1
2
2
x
x
x
0
1
2
x
x
0
Funkcja jest malejąca w przedziale
0
,
.
Funkcja jest rosnąca w przedziałach oraz
1
,
0
.
,
1
1
Przykłady obliczania
Przykłady obliczania
monotoniczności funkcji -
monotoniczności funkcji -
b
b
x
x
y
2
5
3
2
15
2
x
y
R
D
D
f
f
0
2
15
2
x
R
x
Funkcja jest rosnąca w całym przedziale określoności
.
Przykłady obliczania
Przykłady obliczania
monotoniczności funkcji -
monotoniczności funkcji -
c
c
x
x
y
ln
x
x
y
ln
2
ln
1
x
x
x
x
R
D
D
f
f
2
ln
1
x
x
0
ln
1
2
x
x
0
ln
1
i
0
2
x
x
0
Funkcja jest rosnąca w przedziale
e
,
0
.
Funkcja jest malejąca w przedziale
,
e
.
e
2
ln
1
x
x
e
x
Przykłady obliczania
Przykłady obliczania
monotoniczności funkcji -
monotoniczności funkcji -
d
d
2
1
1
1
x
y
R
D
D
f
f
2
2
1 x
x
0
1
2
2
x
x
0
1
i
0
2
2
2
x
x
x
Funkcja jest rosnąca w przedziałach oraz
0
,
.
2
2
1
1
1
x
x
0
x
x
x
y
arctg
,
0
Ekstrema funkcji
Ekstrema funkcji
WKE - Warunek Konieczny Ekstremum
WWE - Warunek Wystarczający Ekstremum
,
,
Maksima i minima funkcji nazywa się ekstremami
.
WWE - Warunek Wystarczający Ekstremum
- druga pochodna
.
WKE
WKE
-
-
W
W
arunek
arunek
K
K
onieczny
onieczny
E
E
kstremum
kstremum
Warunek jest warunkiem koniecznym na to
0
f
0
x
0
x
,
aby funkcja różniczkowalna w punkcie
ekstremum
x
y f
.
miała w tym punkcie
0
Funkcja może mieć ekstremum jedynie
x
y f
w tych punktach, w których bądź pochodna nie istnieje,
.
bądź jest równa
WWE-W
WWE-W
arunek
arunek
W
W
ystarczający
ystarczający
E
E
kstremum
kstremum
zmienia znak z ujemnego na dodatni gdy
x
f
x
,
rosnąc przechodzi przez , to w punkcie funkcja ma
minimum
0
x
.
Jeżeli
, a ponadto
0
f
0
x
:
0
x
zmienia znak z dodatniego na ujemny, gdy
x
f
x
,
rosnąc przechodzi przez , to w punkcie funkcja ma
maksimum
0
x
.
0
x
WWE-W
WWE-W
arunek
arunek
W
W
ystarczający
ystarczający
E
E
kstremum
kstremum
za pomocą drugiej pochodnej
za pomocą drugiej pochodnej
drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie i
0
f
0
x
Jeżeli funkcja
, ma w pewnym otoczeniu punktu
0
f x
y
0
x
0
x
0
f
0
x
i
,to funkcja w punkcie ma
0
x
:
minimum
maksimum
,gdy
,gdy
0
f
0
x
0
f
0
x
Przykłady obliczania
Przykłady obliczania
ekstremum funkcji
ekstremum funkcji
a)
b)
c)
d)
10
2
3
5
x
x
x
y
3
1
x
y
x
x
y
arctg
2
1
1
ln
x
x
y
;
;
;
.
Przykłady obliczania
Przykłady obliczania
ekstremum funkcji - a
ekstremum funkcji - a
10
2
3
5
x
x
x
y
R
D
f
2
3
5
2
4
x
x
y
R
D
f
WKE:
0
2
3
5
2
4
x
x
0
2
3
5
2
2
t
t
t
x
40
9
31
Nie ma spełniającego WKE.
R
x
Funkcja nie ma ekstremum
.
Przykłady obliczania
Przykłady obliczania
ekstremum funkcji - b
ekstremum funkcji - b
3
1
x
y
R
D
f
3
1
1 x
y
0
\
R
D
f
WKE:
0
y
- należy do dziedziny funkcji
0
x
ale nie należy do dziedziny pochodnej.
3
2
3
1
x
3
2
1
x
- nie ma takiego x w R.
,
WWE:
Zarówno dla x > 0 jak i x < 0 nie zmienia się znak pochodnej.
Funkcja w punkcie x = 0 nie ma ekstremum.
Wypukłość i wklęsłość
Wypukłość i wklęsłość
wykresu,
wykresu,
punkty przegięcia
punkty przegięcia
Wypukłość
Wklęsłość
Punkty przegięcia
,
,
.
Wypukłość wykresu
Wypukłość wykresu
funkcji
funkcji
Krzywa jest wypukła w pewnym przedziale,
jeśli we wszystkich punktach tego przedziału
leży ona poniżej swych stycznych.
y
x
Jeśli w pewnym przedziale , to krzywa jest w tym przedziale
0
y
wypukła.
Wklęsłość wykresu funkcji
Wklęsłość wykresu funkcji
Krzywa jest wklęsła w pewnym przedziale,
jeśli we wszystkich punktach tego przedziału
leży ona powyżej swych stycznych.
y
x
Jeśli w pewnym przedziale , to krzywa jest w tym przedziale
0
y
wklęsła .
Punkty przegięcia
Punkty przegięcia
WKPP
- Warunek Konieczny Punktu Przegięcia
0
y
y
albo nie istnieje w dziedzinie funkcji
.
:
WWPP
- Warunek Wystarczający Punktu Przegięcia
Zmiana krzywej z wypukłej na wklęsłą lub odwrotnie
wokół punktu z WKPP
.
:
Przykład obliczania
Przykład obliczania
punktu przegięcia
punktu przegięcia
2
1
ln
x
y
R
D
f
x
x
y
2
1
1
2
2
1
2
x
x
R
D
f
2
1
2
x
x
y
2
2
2
1
2
2
1
2
x
x
x
x
2
2
2
2
1
4
2
2
x
x
x
2
2
2
1
2
2
x
x
R
D
f
Przykład obliczania PP -cd
Przykład obliczania PP -cd
0
y
0
0
1
2
2
x
1
,
1
0
1
1
2
1
x
x
x
x
0
1
2
2
x
WKPP:
2
2
2
x
WWPP:
f
D
x
i nie wpływa na znak pochodnej
1
1
Funkcja ma w punktach x = -1 oraz x = 1 punkty przegięcia
.
Badanie funkcji
Badanie funkcji
x
x
x
y
ln
1). Znalezienie dziedziny
2). Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności
3). Obliczenie asymptot
4). Znalezienie punktów przecięcia z osiami
5). Określenie parzystości, okresowości
.
.
.
.
.
6). Znalezienie ekstremów
.
7). Znalezienie punktów przegięcia
.
8). Tabela.
9). Wykres funkcji.
Badanie funkcji - przykład
Badanie funkcji - przykład
Znalezienie dziedziny
Znalezienie dziedziny
x
x
x
y
ln
D
0
x
0
x
,
0
x
:
i
Obliczenie granic na
Obliczenie granic na
końcach przedziałów
końcach przedziałów
określoności
określoności
x
x
x
y
ln
x
x
x
x
ln
lim
0
0
0
0
1
x
x
x
x
ln
lim
x
x
x
x
ln
lim
2
1
1
2
lim
x
x
x
0
H
Obliczenie asymptot
Obliczenie asymptot
x
x
x
y
ln
m
kx
y
1
x
x
x
x
2
1
2
lim
x
x
x
x
x
ln
lim
1
1
lim x
x
0
0
H
x = 0 - asymptota pionowa prawostronna
2
2
ln
lim
x
x
x
k
x
H
0
m
y = x - asymptota ukośna prawostronna.
Znalezienie punktów
Znalezienie punktów
przecięcia z osiami
przecięcia z osiami
x
x
x
y
ln
0
0
y
D
x
0
ln
2
x
x
x
0
ln
2
x
x
0
ln
0
x
x
x
y
x
x
ln
2
2
x
y
1
0
x
x
y
ln
0
,
0
x
wartość przybliżona
Określenie parzystości,
Określenie parzystości,
okresowości
okresowości
x
x
x
y
ln
Funkcja jest nieokresowa.
Funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta,
gdyż D: x > 0.
Znalezienie ekstremów
Znalezienie ekstremów
x
x
x
x
x
x
y
ln
ln
2
2
2
1
ln
1
2
x
x
x
x
x
x
y
1
2
2
2
ln
1
2
x
x
x
x
2
2
ln
1
x
x
x
0
y
x
x
ln
1
2
funkcja
stale rosnąca
.
Nie ma ekstremum
.
0
y
WKE:
Znalezienie punktów
Znalezienie punktów
przegięcia
przegięcia
x
x
x
y
ln
4
2
2
2
ln
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
y
4
3
3
ln
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
4
ln
2
3
x
x
x
0
y
0
ln
2
3
x
WKPP:
0
i
x
2
3
ln
x
2
3
e
x
2
3
e
Tabela
Tabela
x
x
x
y
ln
x
0
7
,
0
x
y
y
y
0
1
1
2
3
48
,
4
e
0
8
,
4
0
,
0 x
1
,
0
x
2
3
,
1 e
,
2
3
e
0
0
x
1
2
3
e
8
,
4
2
3
f
2
3
2
3
2
3
e
e
e
Wykres funkcji
Wykres funkcji
x
x
x
y
ln
8
,
4
y
x
x
x
y
ln
1
x
1
2
3
48
,
4
e
PP
0
x
x
y